海南省東方市2023年高考數學一模試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

已知函數〃*=（=）ax

1.有三個不同的零點》,士心（其中勺<X]<X3）,則的值為（)

e

A.1B.-JC.aD.-a

2.已知復數二滿足罟與=2-『（其中三為z的共軌復數），則目的值為（）

1-I

A.1B.2C.73D.6

f\7C71

3.已知函數/(X)=2COS[GX—耳)3>0)在一孑,上單調遞增，則①的取值范圍()

-21(21「2一

A.—,2B.I0,—C.—JD.(0,2]

,-------1

f(x)=\2x-3+---

4.函數。3的定義域為()

3

A.[2,3)U(3,+oo)B.(-00,3)U(3,+oo)

C.[2,4w)D.(3,+oo)

2

5.若AA8C的內角A滿足sin2A=-§,則sinA-cosA的值為()

AV15RV15y/5n5

A.------B.-------Cr.-----D.--

3333

6.設等差數列{4}的前〃項和為S“，若％=2,4+4=5,則S$=()

A.10B.9C.8D.7

7.設集合A={1,2,3},8={x|f—2x+〃?=o},若AcB={3},則8=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

8.“角谷猜想”的內容是：對于任意一個大于1的整數〃，如果〃為偶數就除以2,如果"是奇數，就將其乘3再加1,

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=10,則輸出i的（）

（開始）

I/=1I

ZEL

/輸入”

/輸出//

A.6B.7C.8D.9

9.已知數列｛4｝滿足4=2,且4，%，包成等比數列?若｛凡｝的前〃項和為5〃，則S〃的最小值為（）

A.一10B.-14C.-18D.-20

10.甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績（百分制）的莖葉圖如圖所示.

甲乙

69

6278

620878

0926

①甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；

②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；

③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；

④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.

以上說法正確的是（）

A.③④B.①②C.②④D.①③④

11.已知等差數列｛%｝中，4=7,%=15,則數列｛%｝的前10項和品,=（）

A.100B.210C.380D.400

12.3本不同的語文書，2本不同的數學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數學書的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.—

24510

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知橢圓rq+v\=l的左、右焦點分別為大、F?，過橢圓的右焦點鳥作一條直線/交橢圓于點。.則△耳尸Q

內切圓面積的最大值是.

14.已知實數。。0,對任意X￡R,有。一公丫=%+4%+〃2工2+…+々515，且4%+。2=。，貝!I

%+4+%-----%_

15.已知多項式(1+0X)5(1-2x)4的各項系數之和為32,則展開式中含X項的系數為.

16.已知函數〃%)=加+bx2+%,若關于x的不等式/(x)〈0的解集是(-8,-l)u(0,2),則7的值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知拋物線C：：/=4%的焦點為~,準線/與x軸交于點/，點尸在拋物線上，直線PE與拋物線C交

于另一點A.

(D設直線"P,M4的斜率分別為勺，k2,求證：勺+k2常數；

(2)①設MMA的內切圓圓心為G(a,6)的半徑為r,試用廠表示點G的橫坐標。；

②當APMA的內切圓的面積為1萬時，求直線期的方程.

18.(12分)已知函數/(x)=gcos2x-sin2x,將/(x)的圖象向左移a(a>0)個單位，得到函數y=g(x)的圖

象.

TT

(1)若a="求y=g(x)的單調區(qū)間；

(2)若y=8(力的一條對稱軸是％="，求y=g(x)在xe0,y的值域.

19.（12分）如圖，在AABC中，AB>BC,ZABC=120°,AB=3,NABC的角平分線與AC交于點。，BD=1.

(I)求sinA；

(n)求ABCD的面積.

20.(12分)如圖，在棱長為2力的正方形ABC。中，E,尸分別為CO,3c邊上的中點，現以成為折痕將點C

旋轉至點尸的位置，使得尸―E/—A為直二面角.

(1)證明：EF±PA；

(2)求P。與面AB尸所成角的正弦值.

21.(12分)已知數列的前〃項和為S“，且滿足a“=gs“+l(/eN*).

(1)求數列｛qJ的通項公式；

(2)若a=log2。,,，?！?定一，且數列｛%｝前〃項和為7；,求7.的取值范圍.

22.(10分)已知函數F(x)=—2x3+x2+2q,G(x)=alnx,設/(x)=F(x)-G(x).

6

(1)當。=一3時，求函數“X)的單調區(qū)間；

(2)設方程r(x)=c(其中c為常數)的兩根分別為明尸(a<0,證明：尸(2￥]<0?

(注：廣(x)是/'(X)的導函數)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

KX（X\2QX

令構造要使函數〃+三一0有三個不同的零點勺42，七（其中勺<丫2<》3）,則方程/+3_°=0

ee\e/e

需要有兩個不同的根，“2，貝U/=a2+4a>0>解得“>。或。<-4,結合g（x）=工的圖象，并分a>0,a<-4兩個情況分

e

Xj]2/X2\[叫

類討論，可求出'-胃的值.

【詳解】

XX<1-X,,

令｝=。構造的）=—?求導得g（X）=—7，當X</時，g（x）>Oi當X>/時，g（X）<0>

eee

故gO在（?00,1）上單調遞增，在Q,+8）上單調遞減，且x<0時，g㈤<0,》>0時，g（x）>0,gfx；niax=g（l）=可畫

（x\2ax

出函數8㈤的圖象（見下圖），要使函數1+匚-。有三個不同的零點為，》?七（其中,<七<為），則方程

（/,+、=-a

「+af-a=0需要有兩個不同的根//,，2（其中。<則/=a~+4a>0,解得a>?；騋<?4,且,_,

■,-1*2a

若°>0,即]j.；=_q<0,則//<0<，2<5貝㈣<0<七</<》3，且g&2）=g&3）=，2，

2

'x.\tx7\lx.\

故/-?71=（1—JO-，2）~=t7-（0+f）+v?]'=0+=A

、e/\e，八e\

+t2=-a>4i2

若a<-4,即由于g附阿=g（〃=-,故o+f,<-<4，故a<-4不符合題意，舍去.

【點睛】

解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.

2.D

【解析】

按照復數的運算法則先求出I，再寫出匚，進而求出同.

【詳解】

1+z(1+Z)22i.

'T^7-(i-z)(i+z)-T-/,

：.---z=2—z=>z-z=2—/=>￡-=----=—z'(2—z)=—1—2z,

1-zi

z=-1+2in|z|=7(-l)2+22=舊.

故選：D

【點睛】

本題考查復數的四則運算、共朝復數及復數的模，考查基本運算能力，屬于基礎題.

3.B

【解析】

由——<X《一,可得——CO——<(DX——<—(0——，結合y=cosx在［-兀,0］上單調遞增，易得

3233323

兀7C兀兀

一3"-0一31［―兀，°］，即可求出口的范圍,

【詳解】

,71717171717171

由——<X<一,可得——CD——<CDX——<—69——

3233323

(ITA「冗兀

x=0^/(0)=2cos--,WOG,

I"L3，一

71

又y=8sx在L-n,O］上單調遞增，且一§e［-71,0］,

7171

---CD-2--—兀f/c

33a)<2

兀7T兀兀「er717122

所以一可刃一￡'3G一￡c［一兀,則<5。一.<)，即vG?一，故0<69<—.

DDNrD33

(y>0a)>0

故選:B.

【點睛】

本題考查了三角函數的單調性的應用，考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.

4.A

【解析】

根據塞函數的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.

【詳解】

5—；1.（2X-3>0

因為函數‘一八7+口聲0,

3

x>-

解得2且“3；

____/[5\

f（x）=q2x-3+----U（3,+oo）

,:函數x-3的定義域為12/，故選A.

【點睛】

定義域的三種類型及求法：（1）已知函數的解析式，則構造使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）對實際問題：由實際

意義及使解析式有意義構成的不等式（組）求解；（3）若已知函數介）的定義域為匕口則函數念G））的定義域由不等式

求出.

5.A

【解析】

21TT

由sin2A=2sinAcosA=——,得到sinAcosA=—上<0,得出Ae（2,i）,再結合三角函數的基本關系式，即可

332

求解.

【詳解】

21

由題意，角A滿足sin2A=2sinAcosA=——,則sinAcosA=--<0,

33

又由角A是三角形的內角，所以?㈤，所以sinA>cosA,

因為（sinA-cosA）-=l-2sinAcosA=l-（--1）=^,

所以sinA-cosA=

3

故選：4

【點睛】

本題主要考查了正弦函數的性質，以及三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理

與計算能力.

6.B

【解析】

根據題意外="1+2d=2,q+%=2q+3d—5,解得％=4,d=—1?得到答案.

【詳解】

%=q+2d=2,a1+&=2q+3"=5,解得q=4,d=—1,故§6=6q+15d=9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數列的求和，意在考查學生的計算能力.

7.A

【解析】

根據交集的結果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，從而可求8.

【詳解】

依題意可知3是集合B的元素，即32-2x3+m=0,解得機=-3,由_?一2%一3=0,解得x=T,3.

【點睛】

本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.

8.B

【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結論.

【詳解】

循環(huán)前i=l,〃=10,循環(huán)時：〃=5,i=2,不滿足條件〃=1；n=16,i=3,不滿足條件〃=1；”=8,i=4,不滿

足條件〃=1；〃=4,i=5,不滿足條件〃=1；〃=2,i=6,不滿足條件〃=1；〃=l,i=7,滿足條件〃=1,退出

循環(huán)，輸出i=7.

故選:B.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結論.

9.D

【解析】

利用等比中項性質可得等差數列的首項，進而求得S“，再利用二次函數的性質，可得當〃=4或5時，S“取到最小值.

【詳解】

根據題意，可知｛4｝為等差數列，公差d=2,

由4，%,4成等比數列，可得姆=4%，

，(q+4)2=卬(4+6),解得q=-8.

.0on(n-l)c2c/9.281

?.S——8〃H-------x2=〃-9〃=("—)---.

"224

根據單調性，可知當“=4或5時，S,,取到最小值，最小值為-20.

故選：D.

【點睛】

本題考查等差數列通項公式、等比中項性質、等差數列前八項和的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考

查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當〃=4或5時同時取到最值.

10.A

【解析】

由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數，即可判斷①②③，再根據數據集中程度判斷④.

【詳解】

由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為氣絲=81,乙同學成績的中位數為2黃=87.5，故①錯誤；

1

察=-x(72+76+80+82+86+90)=81,石6-X(69+78+87+88+92+96)=85,則/〈和做②錯誤，③正確;

6

顯然甲同學的成績更集中，即波動性更小,所以方差更小，故④正確，

故選:A

【點睛】

本題考查由莖葉圖分析數據特征，考查由莖葉圖求中位數、平均數.

11.B

【解析】

設｛/｝公差為d,由已知可得%，進而求出｛4｝的通項公式，即可求解.

【詳解】

設｛《,｝公差為d,々=7,%=15,

。2+。4=11,d=%%=4,

2

4,c10x（3+39）…

an—4〃—1,Si。=-----------=210.

故選：B.

【點睛】

本題考查等差數列的基本量計算以及前〃項和，屬于基礎題.

12.D

【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件.計數后可求得概率.

【詳解】

3本不同的語文書編號為ARC,2本不同的數學書編號為。力，從中任意取出2本，所有的可能為：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10個，恰好都是數學書的只有"一種，.?.所求概率為尸=、.

故選：D.

【點睛】

本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數計算概率.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.巴

16

【解析】

令直線/：x=my+},與橢圓方程聯立消去x得（3〉+4廳+6陽—9=0,可設尸（4%）,0（孫必），則

6m?可知S.F、PQ=；忻段E-引=J(X+%)2-4y%=12廠々+1

凹+乂=一

3/n2+43m~+42\(3m~+4

m2+l11

又/2△―1―：-16>故邑*Q<3.三角形周長與三角形內切圓的半徑的積是三角

（3〃?+4）9（m+1）+—+6

形面積的二倍,則內切圓半徑其面積最大值為意.故本題應填答.

點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮

利用圖形性質來解決，這就是幾何法.（2）代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數，則可首先建立起目

標函數，再求這個函數的最值，求函數最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數的單調性法等.

14.-1

【解析】

由二項式定理及展開式系數的求法得4c(-4+C；(-4=0,又。工0,所以a=2,令X=1得：

(l-2xl)s=%+q+/+/+4+%，所以%+q+見+4+q+4=T，得解.

【詳解】

525

由(1-ax)=an+OyX+a2x+...+a5x,且4q+?2=0,

則4c(-4+C；(-a)2=0,

又a。0,

所以a=2,

令x=1得：

(1一2x1)'=%+q+%+/+q+外,

所以“o+4+外+4+%+%=—1，

故答案為：一1.

【點睛】

本題考查了二項式定理及展開式系數的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

15.-3

【解析】

令x=1可得各項系數和為(1+4)5(1-2)4=32,得出。=1，根據第一個因式展開式的常數項與第二個因式的展開式含

x一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數項的積的和即為展開式中含x項，可得解.

【詳解】

令X=1,

則得(1+0)5(1-2)4=32,

解得a=l,

所以(1+x)5(1-2x)4展開式中含x項為：1xC：(—2x)+(C；x)x1=—8x+5x=-3x,

故答案為：-3

【點睛】

本題主要考查了二項展開式的系數和，二項展開式特定項，賦值法，屬于中檔題.

16.-3

【解析】

根據題意可知依2+版+c=。的兩根為-1,2,再根據解集的區(qū)間端點得出參數的關系，再求解”工即可.

a

【詳解】

解：因為函數/(工)=公3+法2+B=X(OT2+/zr+c),

:關于x的不等式〃司v()的解集是(-1)u(0,2)

ox?+Zzx+c=O的兩根為：T和2；

所以有：(-1)+2=-2且(-1)x2二一；

aa

。且c=~2a；

b+c-a-2a

----=--------=-3o；

aa

故答案為：-3

【點睛】

本題主要考查了不等式的解集與參數之間的關系，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)?a=—；②x士叵y-l=0.

48

【解析】

(1)設過尸的直線％=沖+1交拋物線于P(M，X),4%,%)，聯立y2=4x,利用直線的斜率公式和韋達定理表

示出4+左2,化簡即可；

(2)由(1)知點G在X軸上，故G(a,o),設出直線P4,PM方程，求出交點P坐標，因為內心到三角形各邊的距

離相等且均為內切圓半徑，列出方程組求解即可.

【詳解】

⑴設過尸的直線％=沖+1交拋物線于P(M，X),A(x2,y2),M(-l,0)

2

聯立方程組12-，得：y-4my-4=Q.

工n七卜|+必=4相

于是，有：＜,

l九小二-4

...k]+k2=+%=*2++M+%

XX

-Xj+1x2+1玉+尤2+l2+]’

又+%內+y+%=；?%%（,+%）+（、+%）=；?（-4）?4/"+4〃7=0，

「?&]+氏2=0；

/、fx=my+]

（2）①由⑴知點G在X軸上，故G（a,o）,聯立PAPM的直線方程：\

x=ny—l

（〃2+〃2、

■-P\-----，又點P在拋物線V=4X上，得/一加2=1,

\n-mn-m）

（〃，）=（葉=

|a-l||?+1|/?2l+a—2

又==f"=4Q,

VI+mVl+?’（l+“2）=（a+l）2

.二Cl——；

4

②由題得，S=7rr2=-^r2=-^a=-

228

（解法一）

司（"加2

nm=±叵

8

所以直線Q4的方程為x士華y-l=O

（解法二）

設內切圓半徑為，則廠=變.設直線9的斜率為3貝U：

2

直線的方程為：y=Hx+D代入直線B4的直線方程,

可得咤祟合

2k,.1+mk

于是有:------Y2=4---------

1—mk1-mk

得二（1+m2）=],

'上L交

2

又由(1)可設內切圓的圓心為90).則〈

k?+i)l=近，

j+/一三

1

t=-

1+m2=2(/-1)28

即：〈

W)*+仁解得:上用

m=±-----

8

所以，直線Q4的方程為：x±Y34y-l=O.

8

【點睛】

本題主要考查了拋物線的性質，直線與拋物線相關的綜合問題的求解，考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.

18.⑴增區(qū)間為.萬一附，匕,減區(qū)間為，乃左乃+*)(&eZ)；(2)

36

【解析】

(1)由題意利用三角函數圖象變換規(guī)律求得y=g(x)的解析式，然后利用余弦函數的單調性，得出結論;

(2)由題意利用余弦函數的圖象的對稱性求得a,再根據余弦函數的定義域和值域，得出結論.

【詳解】

由題意得/(x)=2cos2x+,

I。

(1)y=/(x)向左平移4個單位得到g(x)=2cos2x+—+—=2cos2x+—,

4LV6J\3J

27r5nrr

增區(qū)間：解不等式一萬+2左乃＜2*+：＜2匕1(左eZ),解得女萬一葺—；(keZ),

2萬jrjr

減區(qū)間：解不等式2%萬＜2%+號＜2左乃+萬(2€2),解得左左一\+左萬(ZeZ).

I57rTCI

綜上可得，＞=8(制的單調增區(qū)間為卜乃一泊?萬一3_)(我2),

減區(qū)間為(左萬一2,后萬+.J(keZ)；

(2)由題易知，g(x)=2cosI2.x+—+2aI,

因為y=g(%)的一條對稱軸是*=。，

所以弓+乙+2。=女乃，keZ,解得。=紅一X,攵eZ.

6626

又因為ae[o,1,所以a=即g(x)=2cos(2x+5%

T

E、rc冗c、兀>7111；貝！1cos伍+包卜-1,—

因為xe0,-'所以"+小，-

TI6；2

所以>=g(x)在xe0,1的值域是卜2,6].

【點睛】

本題主要考查三角函數圖象變換規(guī)律，余弦函數圖象的對稱性，余弦函數的單調性和值域，屬于中檔題.

⑼⑴答(II)孚.

【解析】

試題分析：(I)在ZVLBO中，由余弦定理得A￡>=J7,由正弦定理得些=―些一，可得解;

sinAsin/ABD

(n)由(I)可知cosA,進而得sinC,在ABCD中，由正弦定理得BC,所以兇8的面積

S=-xBDxBCxsinNCBD即可得解.

2

試題解析：

(I)在AARD中，由余弦定理得

AD2=AB2+BD2-2ABxBDxcosZABD=9+l-2x3xlx-=7,

2

,由正弦定理得絲ADBOxsinZABD6

所以AD=J7所以sinA=

sinAsinZABDAD―2幣-14

(U)由(I)可知cosA=Jl-sin2A=宗.

在AABC中,sgsiMg小爭片;嚼考

qABBCbyABxsiM3

在MCE)中，由正弦定理得.二二^~7,所以3C=-；—=—.

smCSIIL4sinC2

所以AfiCD的面積S=』xBDxBCxsinNCB￡>=Lxlx3x^=^.

22228

20.（1）證明見詳解；（2）逅

6

【解析】

（1）在折疊前的正方形ABC。中，作出對角線AC,BD,由正方形性質知AC,30,又EFHBD,則AC_L￡F于

點”，則由直二面角可知面ABEFD,故PH_LEF.又AH工EF，則所_L面Q4H，故命題得證；

（2）作出線面角/也月，在直角三角形中求解該角的正弦值.

【詳解】

解：（1）證明：在正方形ABC。中，連結AC交所于H.

因為ACA.BD,EF〃BD,故可得AC_LEE,

即所_LAH,EE_LC〃

又旋轉不改變上述垂直關系，

且A〃,C”u平面PAH,

.?.￡7」面24”,

又?.?Q4u面Q4H，所以所_LB4

<2）因為尸一所一A為直二面角，故平面。石尸，平面AEE,

又其交線為EF，且PH±EF,PHu平面PEF,

故可得PH_L底面A3產，

連結￡>〃，則NBC歸即為與面A8/所成角，連結8D交AH于。,

在RtAODH中,

DH