1.1 銳角三角函數(shù) 北師大版九年級數(shù)學下冊導學課件

1銳角三角函數(shù)第一章直角三角形的邊角關系逐點學練本節(jié)小結作業(yè)提升學習目標本節(jié)要點1學習流程2正切正切與梯子的傾斜程度的關系坡度與坡角正弦、余弦銳角三角函數(shù)知識點感悟新知1正切正切的概念如圖1-1-1，在Rt△ABC

中，如果銳角A

確定，那么∠A

的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做∠A

的正切，記作tanA，即tanA=

.如果用a，b分別表示∠

A的對邊與鄰邊，那么tan

A=.特別提醒●tanA不表示“tan”乘“A”.tanA是一個完整的符號，它表示∠

A的正切.●tanA＞0且沒有單位，它表示一個比值，tanA的大小只與∠A

的大小有關.感悟新知[中考·桂林]如圖1-1-2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD=__________.例1感悟新知解題秘方：緊扣正切的定義，找出該銳角所在的直角三角形的兩直角邊的比值，或與之相等的銳角所在直角三角形的兩直角邊的比值.解：∵∠BCD+∠ACD=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠CAB，∴tan∠BCD=tan∠CAB感悟新知1-1.在Rt△ABC

中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則tanA

的值是()B知識點正切與梯子的傾斜程度的關系感悟新知2正切與梯子的傾斜程度的關系(1)當梯子與地面所成的角為銳角A

時，tanA的值越大，梯子越陡.因此，可用梯子的傾斜角的正切值來描述梯子的傾斜程度.特別提醒●在很多實際問題中，人們無法測量傾斜角(如梯子與地面的夾角)，這時通常采用傾斜角的正切值來刻畫傾斜程度.●一個銳角的正切值隨角度的增大(減小)而增大(減小).感悟新知(2)當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊的比值隨之確定，這一比值只與傾斜角的大小有關，而與物體的長度無關.(3)對“傾斜程度”的理解：①傾斜程度，其本意指傾斜角的大小，一般來說，傾斜角越大的物體，就說它放得越“陡”.②通過計算物體與地面夾角的正切值來判斷物體的傾斜程度，夾角的正切值越大，物體放置得越“陡”.感悟新知如圖1-1-3，李佳怡和王慧珍將兩根木棒分別斜靠在墻上，其中AB=10cm，CD=6cm，BE=6cm，DE=2cm，你能判斷出哪根木棒更陡嗎？說明理由.例2感悟新知解題秘方：緊扣傾斜程度與正切值的關系以及正切值的求法解決問題.方法點撥：比較物體傾斜程度的兩種方法.1.通過測量物體與地面夾角的大小來判斷物體的傾斜程度，夾角越大，物體放置得越陡.2.通過計算物體與地面夾角的正切值來判斷物體的傾斜程度，夾角的正切值越大，物體放置得越陡.感悟新知解：木棒CD更陡.理由如下：在Rt△ABE中，AE=∴tan∠ABE=在Rt△CDE

中，CE=∴tan∠CDE=∵tan∠CDE＞tan∠ABE，∴木棒CD更陡.感悟新知2-1.如圖，梯子AB和EF中，更陡的是()A.一樣陡B.梯子ABC.梯子EFD.不能確定C知識點坡度與坡角感悟新知3名稱定義表示方法關系舉例坡度坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比稱為坡度(或坡比)，記作i坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡當h=1，l=

時，坡度i=1∶，坡角α為30°坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角(或傾斜角)，記作∠α感悟新知特別提醒●坡度是一個比；坡角是一個角.●坡度一般寫成1∶m的形式，比的前項為1，后項m可以是小數(shù)，也可以是帶根號的數(shù).感悟新知如圖1-1-4，攔水壩的橫截面為梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度為1∶3，壩頂寬BC=3m，壩高為4m，斜坡CD=5m.(1)試比較斜坡AB

和CD

哪個更陡；(2)求壩底AD的長.例3解題秘方：緊扣坡度與坡面的傾斜程度之間的關系解決問題.感悟新知解：(1)如圖1-1-4，過點C

作CF⊥AD，垂足為F，則CF=4m.在Rt△CFD中，根據(jù)勾股定理，得FD=，∴tanD=∵tanA=，∴tanD＞tanA，∴斜坡CD

更陡.感悟新知(2)如圖1-1-4，過點B作BE⊥AD，垂足為E，易知BE=4m，EF=BC=3m.在Rt△AEB中，∵tanA=∴AE=3BE=3×4=12(m).∴AD=AE+EF+FD=12+3+3=18(m)，即壩底AD的長為18m.感悟新知3-1.[2021·山西]太原地鐵2號線是山西省第一條開通運營的地鐵線路，于2020年12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯AB

的坡度i=5∶12(i

為鉛直高度與水平寬度的比).王老師乘扶梯從扶梯底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達扶梯頂端B，則王老師上升的鉛直高度BC為________米.知識點正弦、余弦感悟新知41.正弦、余弦的定義名稱定義數(shù)學語言圖示正弦在Rt△ABC中，銳角A

的對邊與斜邊的比叫做∠A

的正弦，記作sinA，即sinA=在Rt△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AB=c

，則sinA=感悟新知名稱定義數(shù)學語言圖示余弦在Rt△ABC

中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A

的余弦，記作cosA，即cosA=在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=b，AB=c

，則cosA=感悟新知2.正弦、余弦與梯子的傾斜程度的關系(1)sinA的值越大，梯子越陡；(2)cosA的值越小，梯子越陡.感悟新知特別提醒1.sinA，cosA都是一個完整的符號，注意事項與正切類似.2.sinA，cosA沒有單位，其值與銳角A的大小有關，與所在直角三角形的邊長無關.感悟新知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

的對邊分別用a，b，c

表示，其中a=5，b=12，求∠A

的正弦值和∠

B的余弦值.解題秘方：緊扣正弦、余弦的定義結合直角三角形的邊長解決問題.例4感悟新知解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得感悟新知4-1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，求∠B

的正弦、余弦和正切值.感悟新知知識點銳角三角函數(shù)感悟新知51.銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦、余弦和正切都是∠

A

的三角函數(shù).銳角三角函數(shù)sinA(或cosA

或tanA)是以銳角A

為自變量的函數(shù).對于銳角A

的每一個確定的值，sinA(或cosA

或tanA)都有唯一確定的值與其對應.∠ABC的正弦表示為sin∠ABC，∠1的余弦表示為cos∠1，其中“∠”不能省略.感悟新知深度理解1.銳角三角函數(shù)之間的關系都可用定義推導得出.2.三角函數(shù)定義速記口訣：正弦等于對比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對比鄰，函數(shù)特點要牢記.感悟新知2.銳角三角函數(shù)之間的關系(1)同一銳角的三角函數(shù)之間的關系①平方關系：sin2A+cos2A=1；②商除關系：=tanA.(2)互余兩角的三角函數(shù)之間的關系sinA=cos(90°－∠A)；cosA=sin(90°－∠A).感悟新知在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

的對邊分別為a，b，c.已知a=6，b=8，求出∠A

的三個三角函數(shù)值.例5解題秘方：緊扣“銳角三角函數(shù)的定義”求解.感悟新知方法點撥：已知直角三角形的任意兩邊長求某個銳角的三角函數(shù)值時，運用數(shù)形結合思想，首先畫出符合題意的直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出未知邊長，最后結合銳角三角函數(shù)的定義求銳角的三角函數(shù)值.感悟新知解：如圖1-1-5，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a=6，b=8，感悟新知5-1.[中考·濱州]在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=5，BC=12，則sinA的值為__________.5-2.[中考·揚州]在△ABC

中，∠C=90°，a，b，c

分別為∠A，∠B，∠C

的對邊，若b2=ac，則sinA

的值為_________.感悟新知在△

ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB=()例6B感悟新知解題秘方：當三角形出現(xiàn)邊與邊的比時，可引入?yún)?shù)，用這個參數(shù)表示出三角形的三邊長，再用定義求解.技巧點撥：在直角三角形中，給出某一銳角的三角函數(shù)值，求另一個銳角的三角函數(shù)值時，可以用設輔助元即引入“參數(shù)”的方法來解決，注意在最后計算時約去輔助元.感悟新知解：由sinA=，可設BC=4k(k>0)，則AB=5k，根據(jù)勾股定理，得AC=3k，∴tanB=.感悟新知6-1.已知sinα=，α

為銳角，求cosα

和tanα的值.感悟新知如圖1-1-6，在等腰三角形ABC

中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠B

的三個三角函數(shù)值.例7解題秘方：緊扣“求銳角三角函數(shù)值的前提是在直角三角形中”這一特征，用“構造直角三角形法”求解.感悟新知解：過點A作AD

⊥BC

于點D，如圖1-1-6，∵AB=AC，∴BD=DC.又∵2AB=3BC，∴設AB=AC=3k(k>0)，則BC=2k.∴BD=CD=k，∴AD=2k.感悟新知7-1.[中考·連云港]如圖，在6×6正方形網格中，△ABC的頂點A，B，C

都在網格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA=________.感悟新知如圖1-1-7，在△

ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，將△ABC

折疊，使點A落在BC

邊上的點D

處，EF

是折痕，若AE=3，則sin∠BFD的值為()例8A感悟新知解題秘方：緊扣“角相等則其三角函數(shù)值也相等”這一特征，用“等角轉換法”將所要求的角的三角函數(shù)值轉化為直角三角形中與該角相等的角的三角函數(shù)值.感悟新知解：∵在△

ABC中，AC=BC=4，∴∠A=∠B.由折