上海市南模中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

上海市南模中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．函數(shù)，x∈R在（）A.上是增函數(shù)B.上是減函數(shù)C.上是減函數(shù)D.上是減函數(shù)2．設(shè)全集，集合，，則=（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)（，且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是A. B.[，]C.[，]{} D.[，）{}4．“是鈍角”是“是第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，且，則A.3 B.C.9 D.6．若兩個(gè)非零向量，滿足，則與的夾角為（）A. B.C. D.7．已知集合，，有以下結(jié)論：①；②；③．其中錯(cuò)誤的是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③8．角終邊經(jīng)過點(diǎn)，那么（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，，其函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)的圖像如圖所示，，則f(0)=（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知函數(shù)=，若對(duì)任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______12．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于－1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________13．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限14．已知一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，方差，則另外一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為______，方差為______15．是第___________象限角.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．現(xiàn)有三個(gè)條件：①對(duì)任意的都有；②不等式的解集為；③函數(shù)的圖象過點(diǎn).請(qǐng)你在上述三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中，并求解(請(qǐng)將所選條件的序號(hào)填寫在答題紙指定位置)已知二次函數(shù)，且滿足________(填所選條件的序號(hào)).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3，求實(shí)數(shù)m的值.17．已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值18．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，點(diǎn)E在側(cè)棱上，點(diǎn)F在側(cè)棱上，且（1）求證：；（2）求二面角的大小19．如圖，在四棱錐中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，，，且.（1）證明：平面平面.（2）若四棱錐的高為3，求該四棱錐的體積.20．如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)(1)求證：EF∥平面A1B1BA；(2)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大?。?1．為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（1）求出圖中a的值；（2）求該班學(xué)生這個(gè)周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)；（3）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？說明理由

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】，所以在上遞增，在上遞減.B正確，ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B2、B【解析】根據(jù)題意和補(bǔ)集的運(yùn)算可得，利用交集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，所以.故選：B3、C【解析】由在上單調(diào)遞減可知，由方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知，，又時(shí)，拋物線與直線相切，也符合題意，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解4、A【解析】根據(jù)鈍角和第二象限角的定義，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槭氢g角，所以，因此是第二象限角，當(dāng)是第二象限角時(shí)，例如是第二象限角，但是顯然不成立，所以“是鈍角”是“是第二象限角”的充分不必要條件，故選：A5、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性以及已知條件轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】函數(shù)g（x）＝ax3+btanx是奇函數(shù)，且,因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得＝﹣3，則＝﹣g（）+6＝3+6＝9故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，可以直接將變量直接代入解析式從而得到函數(shù)值，直接代入較為繁瑣的題目，可以考慮函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用部分具有奇偶性的特點(diǎn)進(jìn)行求解，就如這個(gè)題目.6、C【解析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可得解；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，即，所以，即與的夾角為；故選：C7、C【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判斷即可.【詳解】由可得所以，故①錯(cuò)；，②錯(cuò)；，③對(duì)，故選：C8、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，可得的值【詳解】解：角終邊上一點(diǎn)，，，則，故選：9、D【解析】由正切函數(shù)的對(duì)稱中心得，得到，令可解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱中心，所以，解得因?yàn)?，所以，，令，解得，?dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】根據(jù)所給圖象求出函數(shù)的解析式，即可求出.【詳解】設(shè)函數(shù)的周期為，由圖像可知，則,故ω=3，將代入解析式得，則，所以，令，代入解析式得，又因?yàn)?，解得，?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都有，再分類討論求出最值，代入解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以等價(jià)于，等價(jià)于，所以對(duì)任意的都有成立，等價(jià)于，（1）當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，所以，解得，結(jié)合可得.（2）當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，或，所以且，解得.（3）當(dāng)，即時(shí)，，在上為減函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，所以，解得，結(jié)合可知，不合題意.（4）當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，此時(shí)不成立.（5）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，所以，解得，結(jié)合可知，不合題意.綜上所述：.故答案為：12、(0,1)【解析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得得到，在-1和1處的函數(shù)值均小于0即可.【詳解】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得得到，在-1和1處的函數(shù)值均小于0即可，實(shí)數(shù)m滿足不等式組解得0<m<1.故答案為(0,1)【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了二次函數(shù)根的分布的問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)即可得到結(jié)果,題型較為基礎(chǔ).13、二【解析】由點(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，從而得到α所在的象限【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，則角α的終邊在第二象限，故答案為二點(diǎn)評(píng)：本題考查第三象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)14、①.11②.54【解析】由平均數(shù)與方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為故答案：11，54.15、三【解析】根據(jù)給定的范圍確定其象限即可.【詳解】由，故在第三象限.故答案為：三.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）.【解析】（1）條件①，求出代入根據(jù)恒成立可得；條件②由一元二次不等式解的性質(zhì)可得；條件③代入可得；分別根據(jù)選擇①②，①③，②③，均可通過聯(lián)立方程組可得結(jié)果；（2）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，將對(duì)稱軸和區(qū)間的端點(diǎn)進(jìn)行比較，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于的方程解出即可.【詳解】（1）條件①：因?yàn)?，所以，即?duì)任意的x恒成立，所以，解得.條件②：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，?條件③：函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以.選擇條件①②：，，，此時(shí)；選擇條件①③：，則，，，此時(shí)；選擇條件②③：，則，，，此時(shí).（2）由（1）知，其對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，，解得；②當(dāng)，即時(shí)，，解得(舍)；③當(dāng)，即時(shí)，，無解.綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的值為.【點(diǎn)睛】二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析.17、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式化簡(jiǎn)即得；（2）根據(jù)可知，從而求得結(jié)果.【小問1詳解】由誘導(dǎo)公式可得：；【小問2詳解】由于，有，得，，可得故值為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).（1）證明即即可；（2）分別求出平面的一個(gè)法向量為和側(cè)面的一個(gè)法向量為，根據(jù)求出的法向量的夾角來求二面角的大小.試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得（1）證明：，所以.（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，即，解得，可取設(shè)側(cè)面的一個(gè)法向量為，由，及可取.設(shè)二面角的大小為，于是由為銳角可得所以.即所求二面角的大小為.考點(diǎn)：空間向量證明直線與直線垂直及求解二面角.19、（1）見解析（2）9【解析】（1）根據(jù),可知,由可證明,又根據(jù)中位線可證明即可由平面與平面平行的判定定理證明平面平面.（2）利用勾股定理,求得.底面為直角梯形,求得底面積后即可由四棱錐的體積公式求得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),且,所以.因?yàn)?所以,所以四邊形為平行四邊形,所以.在中,因?yàn)?分別為,的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以平面平面.（2）因?yàn)?所以,又,所以.所以四邊形的面積為,故四棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了平面與平面平行的判定,四棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.20、（1）詳見解析（2）30°【解析】（1）連接A1B，結(jié)合三角形中位線定理，得到平行，結(jié)合直線與平面平行，的判定定理，即可．（2）取的中點(diǎn)N，連接，利用直線與平面垂直判定定理，得到平面，找出即為所求的角，解三角形，計(jì)算該角的大小，即可【詳解】解：(1)證明：如圖，連接A1B.在△A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn)，所以EF∥BA1.又EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA(2)解：因?yàn)锳B＝AC，E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，從而BB1⊥AE.又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，NE.因?yàn)镹和E分別為B1C和BC的中點(diǎn)，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因?yàn)锳E⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，從而∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因?yàn)锽M∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝，因此∠A1B1N＝30°.所以直線A1B1與平面BCB1所成的角為30°【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直、平行判定定理和直線與平面所成角的找法，證明直線與平面平行關(guān)鍵找出一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，直線與平面所成角的找法關(guān)鍵找出直線垂