帶電粒子在有界磁場中運動講義

帶電粒子在磁場中的運動問題分析一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法1．圓心確實定因為洛倫茲力F指向圓心，根據(jù)F⊥v，畫出粒子運動軌跡中任意兩點〔一般是射入和射出磁場兩點〕，先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。2．半徑確實定和計算利用平面幾何關系，求出該圓的可能半徑〔或圓心角〕，并注意以下兩個重要的幾何特點：eq\o\ac(○,1)粒子速度的偏向角φ等于轉過的圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角〔弦切角〕θ的2倍，如圖2所示，即φ=α=2θ。②相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補，即θ+θ′=180°。3．粒子在磁場中運動時間確實定假設要計算轉過任一段圓弧所用的時間，那么必須確定粒子轉過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角α與弦切角的關系，或者利用四邊形內角和等于360°，計算出圓心角α的大小，并由表達式t=α4．帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析①穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線〔半徑、速度及延長線〕。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sinθ=L/R求出；〔θ、L和R見圖標〕b、帶電粒子的側移由R2=L2+c、帶電粒子在磁場中經歷的時間由t=mθ②穿過圓形磁場區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線〔半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線〕。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由tanθ2=rb、帶電粒子在磁場中經歷的時間由t=mθqB二、帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析1．給定直線邊界磁場中的運動【例1】

一個負離子，質量為m，電量大小為q，以速率V垂直于屏S經過小孔O射入存在著勻強磁場的真空室中(如圖1).磁感應強度B的方向與離子的運動方向垂直,并垂直于圖1中紙面向里.(1)求離子進入磁場后到達屏S上時的位置與O點的距離.OBSVθP圖1(2)如果離子進入磁場后經過時間t到達位置P,證明:直線OPOBSVθP圖1圖２２練習１：如圖２所示，在y<0的區(qū)域內存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內，與x軸正向的夾角為θ。假設粒子射出磁場時的位置與O點的距離為l，求該粒子的電量和質量之比q/m。圖２２2．帶電粒子在雙直線邊界磁場中的運動【例2】如圖３所示，矩形勻強磁場區(qū)域的長為L，寬為L/2。磁感應強度為B，質量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v的取值范圍？練習２長為L的水平極板間，有垂直紙面向內的勻強磁場，如圖４所示，磁感強度為B，板間距離也為L，板不帶電，現(xiàn)有質量為m，電量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度V水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的方法是：A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4圖５【例3】.如圖〔５〕所示，一正離子,電量為q,以速度v垂直射入磁感應強度為B、寬度為d的勻強磁場中，穿越磁場時速度方向與其原來入射方向的夾角是30°，求〔１〕該離子的質量是多少？穿越磁場的時間又是多少？〔２〕假設要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度V最小值是多大？圖５3.帶電粒子在給定的圓形磁場中運動【例4】.在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內,存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,如圖６所示.一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x方向射入磁場,它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出.〔1〕請判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷.〔2〕假設磁場的方向和所在空間范圍不變,而磁感應強度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角,求磁感應強度B′多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？圖６圖６【例5】如圖７所示，一個質量為m、電量為q的正離子，從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內壁碰撞屢次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的時間t.設粒子與圓筒內壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力。OOAv0B圖７O【例6】如圖８，圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個磁感強度為B、方向為垂直于紙面向里的勻強磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為L的O＇處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質量為m的電子以速率v從左側沿OO＇方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏上之P點，如下圖，求O＇P的長度和電子通過磁場所用的時間。OMMNO,LAO圖８P４、帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運動圖９【例7】、核聚變反響需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內〔否那么不可能發(fā)生核反響〕，通常采用磁約束的方法〔托卡馬克裝置〕。如圖９所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內。設環(huán)狀磁場的內半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感強度B=1.0T，假設被束縛帶電粒子的荷質比為q/m=4×C/圖９試計算〔1〕粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度?！?〕所有粒子不能穿越磁場的最大速度。5、帶電粒子在有“圓孔〞的磁場中運動abcdSo圖10【例8】如圖10所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內有沿半徑向外的電場。一質量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內筒且正對狹縫a的S點出發(fā)，初速為零。如果該粒子經過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點SabcdSo圖106、帶電粒子在相反方向的兩個有界磁場中的運動BBELdO圖11【例9】如圖11所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場。左側勻強電場的場強大小為E、方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。一個質量為mBBELdO圖11求：〔1〕中間磁場區(qū)域的寬度d。〔2〕帶電粒子從O點開始運動到第一次回到O點所用時間t.OOO3O1O2圖11.1600帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題一、確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法1、對稱法帶電粒子如果從一直線邊界進入又從該邊界射出，那么其軌跡關于入射點和出射點線段的中垂線對稱，入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等，利用這一結論可以輕松畫出粒子的軌跡?！纠?】如圖1所示，在y小于0的區(qū)域內存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應強度為B，一帶正電的粒子以速度從O點射入磁場，入射速度方向為xy平面內，與x軸正向的夾角為，假設粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子電量與質量之比。2、動態(tài)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射粒子時，粒子的運動軌跡是圍繞發(fā)射點旋轉的動態(tài)圓，用這一規(guī)律可確定粒子的運動軌跡?！纠?】如下圖，S為電子源，它在紙面360度范圍內發(fā)射速度大小為，質量為m，電量為q的電子〔q<0〕，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L，擋板左側充滿垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為mvo練習1如圖14所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。以下圖中陰影局部表示帶電粒子可能經過的區(qū)域，其中R=mvAA．

B．C．Ｄ．3、放縮法帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，探索出臨界點的軌跡，使問題得解?！纠?】如圖5所示，勻強磁場中磁感應強度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強磁場射入，入射方向與邊界的夾角為，電子的質量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側射出，求電子速度大小的范圍。4、臨界法圖１【例4】如圖１所示，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0．60T，磁場內有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3×106m/s，α粒子的電荷與質量之比q/m=5．0×107C/kg圖１【例5】如右圖所示，在邊界為AA‘、DD'狹長區(qū)域內，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域寬為d,電子槍S發(fā)射質量為m,電量為e的電子。當電子槍水平發(fā)射時，在DD'右側發(fā)現(xiàn)了電子。當電子槍在豎直平面內運動到某一位置時，剛好在左側發(fā)現(xiàn)了電子。試畫出電子在磁場中運動的軌跡并計算該電子在邊界AA'的射入點和射出點間的距離?！搽娮尤肷渌俾示鶠関0〕【例6】在xOy平面內有許多電子〔質量為m、電量為e〕，從坐標O不斷以相同速率vo沿不同方向射入第一象限，如圖8所示?，F(xiàn)加一個垂直于xOy平面向內、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于x軸向x軸正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。圖8

圖9

圖10

圖11【例題7】如圖半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標原點O處相切；磁場B＝0．33T垂直于紙面向內，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子；α粒子質量為m=6.6×10-27kg，電量q=3.2×10-19c，那么α粒子通過磁場空間的最大偏轉角θ及在磁場中運動的最長時間t各多少？帶電粒子在復合場中運動的應用一、速度選擇器原理速度選擇器是近代物理學研究中常用的一種實驗工具，其功能是為了選擇某種速度的帶電粒子1．結構：如下圖〔1〕平行金屬板M、N，將M接電源正極，N板接電源負極，M、N間形成勻強電場，設場強為E；〔2〕在兩板之間的空間加上垂直紙面向里的勻強磁場，設磁感應強度為B；〔3〕在極板兩端加垂直極板的檔板，檔板中心開孔S1、S2，孔S1、S2水平正對。2．原理工作原理：設一束質量、電性、帶電量、速度均不同的粒子束〔重力不計〕，從S1孔垂直磁場和電場方向進入兩板間，當帶電粒子進入電場和磁場共存空間時，同時受到電場力和洛倫茲力作用假設即：當粒子的速度時，粒子勻速運動，不發(fā)生偏轉，可以從S2孔飛出。由此可見，盡管有一束速度不同的粒子從S1孔進入，但能從S2孔飛出的粒子只有一種速度，而與粒子的質量、電性、電量無關3．幾個問題〔1〕粒子受力特點——電場力F與洛侖茲力f方向相反〔2〕粒子勻速通過速度選擇器的條件——帶電粒子從小孔S1水平射入，勻速通過疊加場，并從小孔S2水平射出，電場力與洛侖茲力平衡，即;即;〔3〕使粒子勻速通過選擇器的兩種途徑:當一定時——調節(jié)E和B的大小;當E和B一定時——調節(jié)加速電壓U的大小;根據(jù)勻速運動的條件和功能關系，有，所以，加速電壓應為。〔4〕如何保證F和f的方向始終相反——將、E、B三者中任意兩個量的方向同時改變，但不能同時改變三個或者其中任意一個的方向，否那么將破壞速度選擇器的功能?！?〕如果粒子從S2孔進入時，粒子受電場力和洛倫茲力的方向相同，所以無論粒子多大的速度，所有粒子都將發(fā)生偏轉〔6〕兩個重要的功能關系——當粒子進入速度選擇器時速度，粒子將因側移而不能通過選擇器。如圖，設在電場方向側移后粒子速度為v，當時:粒子向f方向側移，F(xiàn)做負功——粒子動能減少，電勢能增加，有當時:粒子向F方向側移，F(xiàn)做正功——粒子動能增加，電勢能減少，有;二．質譜儀質譜儀主要用于分析同位素，測定其質量，荷質比和含量比，如下圖為一種常用的質譜儀1．質譜儀的結構原理〔1〕離子發(fā)生器O〔O中發(fā)射出電量q、質量m的粒子，粒子從A中小孔S飄出時速度大小不計；〕〔2〕靜電加速器C：靜電加速器兩極板M和N的中心分別開有小孔S1、S2，粒子從S1進入后，經電壓為U的電場加速后，從S2孔以速度v飛出；〔3〕速度選擇器D：由正交的勻強電場E0和勻強磁場B0構成，調整E0和B0的大小可以選擇度為v0＝E0/B0的粒子通過速度選擇器，從S3孔射出；〔4〕偏轉磁場B：粒子從速度選擇器小孔S3射出后，從偏轉磁場邊界擋板上的小孔S4進入，做半徑為r的勻速圓周運動；〔5〕感光片F(xiàn)：粒子在偏轉磁場中做半圓運動后，打在感光膠片的P點被記錄，可以測得PS4間的距離L。裝置中S、S1、S2、S3、S4五個小孔在同一條直線上2．問題討論：設粒子的質量為m、帶電量為q〔重力不計〕，粒子經電場加速由動能定理有：①；粒子在偏轉磁場中作圓周運動有：②；聯(lián)立①②解得：另一種表達形式同位素荷質比和質量的測定:粒子通過加速電場，通過速度選擇器，根據(jù)勻速運動的條件:。假設測出粒子在偏轉磁場的軌道直徑為L，那么，所以同位素的荷質比和質量分別為。三．磁流體發(fā)電機磁流體發(fā)電就是利用等離子體來發(fā)電。1．等離子體的產生：在高溫條件下〔例如2000K〕氣體發(fā)生電離，電離后的氣體中含有離子、電子和局部未電離的中性粒子，因為正負電荷的密度幾乎相等，從整體看呈電中性，這種高度電離的氣體就稱為等離子體，也有人稱它為“物質的第四態(tài)〞。2．工作原理:磁流體發(fā)電機結構原理如圖〔1〕所示，其平面圖如圖〔2〕所示。M、N為平行板電極，極板間有垂直于紙面向里的勻強磁場，讓等離子體平行于極板從左向右高速射入極板間，由于洛倫茲力的作用，正離子將向M板偏轉，負離子將向N板偏轉，于是在M板上積累正電荷，在N板上積累負電荷。這樣在兩極板間就產生電勢差，形成了電場，場強方向從M指向N，以后進入極板間的帶電粒子除受到洛倫茲力之外，還受到電場力的作用，只要，帶電粒子就繼續(xù)偏轉，極板上就繼續(xù)積累電荷，使極板間的場強增加，直到帶電粒子所受的電場力與洛倫茲力大小相等為止。此后帶電粒子進入極板間不再偏轉，極板上也就不再積累電荷而形成穩(wěn)定的電勢差3．電動勢的計算:設兩極板間距為d，根據(jù)兩極電勢差到達最大值的條件，即，那么磁流體發(fā)電機的電動勢。四．盤旋加速器1932年美國物理學家勞倫斯創(chuàng)造的盤旋加速器，是磁場和電場對運動電荷的作用規(guī)律在科學技術中的應用典例，也是高中物理教材中的一個難點，其中有幾個問題值得我們進一步探討盤旋加速器是用來加速帶電粒子使之獲得高能量的裝置。1．盤旋加速器的結構：盤旋加速器的核心局部是兩個D形金屬扁盒〔如下圖〕，在兩盒之間留有一條窄縫，在窄縫中心附近放有粒子源O。D形盒裝在真空容器中，整個裝置放在巨大的電磁鐵的兩極之間，勻強磁場方向垂直于D形盒的底面。把兩個D形盒分別接到高頻電源的兩極上。2．盤旋加速器的工作原理：如下圖，從粒子源O放射出的帶電粒子，經兩D形盒間的電場加速后，垂直磁場方向進入某一D形盒內，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，經磁場偏轉半個周期后又回到窄縫。此時窄縫間的電場方向恰好改變，帶電粒子在窄縫中再一次被加速，以更大的速度進入另一D形盒做勻速圓周運動……，這樣，帶電粒子不斷被加速，直至它在D形盒內沿螺線軌道運動逐漸趨于盒的邊緣，當粒子到達預期