專題11 三角形綜合問題（精講）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

【課標(biāo)解讀】 三角形綜合問題是指針對三角形的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性的考查，特別是等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形的性質(zhì)應(yīng)用，及其與三角形相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合考查?！窘忸}策略】從具體問題入手→探索三角形知識(shí)點(diǎn)→綜合各點(diǎn)聯(lián)系→綜合把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系→綜合應(yīng)用并解決問題【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一關(guān)于圖形全等的綜合問題本類題大都含有基本圖形“燕子圖”，在條件給足的背景下，兩個(gè)三角形是全等的，從圖形變換條件，兩個(gè)三角形關(guān)于過公共頂點(diǎn)的一條豎直直線對稱．歸納幾何基本圖形，然后對基本圖形進(jìn)行變式與拓展，是學(xué)習(xí)幾何圖形相關(guān)知識(shí)的重要手段．如：①旋轉(zhuǎn)模型②三垂直模型,,③一線三等角模型,,易錯(cuò)提示)已知兩邊及一邊對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，不全等，即“SSA”得不到兩個(gè)三角形全等．【典例1】如圖1所示，A、E、F、C在同一直線上，AF=CE，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．（1）試說明ME=MF；（2）若將E、F兩點(diǎn)移至如圖2中的位置，其余條件不變，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【分析】（1）由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠AFB=90°，∠DEC=90°，可根據(jù)“HL”證明Rt△ABF≌Rt△CDE，則BF=DE，然后根據(jù)“ASA”可證明△BFM≌△DEM，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到ME=MF；（2）上述結(jié)論仍然成立．證明的方法與（1）一樣．∵在△BFM和△DEM中，，∴△BFM≌△DEM（AAS），∴ME=MF；（2）解：上述結(jié)論仍然成立．理由如下：與（1）一樣可證得Rt△ABF≌Rt△CDE得到BF=DE，與（2）一樣可證得△BFM≌△DEM，所以ME=MF．★考點(diǎn)二關(guān)于圖形變換的綜合問題【典例2】（2018·湖北江漢·10分）問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為BC=DC+EC；探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的長．【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：連接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．學(xué)科&網(wǎng)★考點(diǎn)三關(guān)于條件探究的綜合問題【典例3】如圖22－2，下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是()A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC★考點(diǎn)四關(guān)于結(jié)論探究的綜合條件思維定式是條件改變，結(jié)論必須改變，但有些條件改變了，但全等的關(guān)系仍然存在，導(dǎo)致結(jié)論不變.1．全等三角形是證明兩條線段相等或垂直常用的方法．2．變化題目中某些條件，結(jié)論是否成立，關(guān)鍵是得到結(jié)論的核心是否仍然存在，比如：兩個(gè)三角形是否仍然全等或相似．【典例4】(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論；(2)如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論．(2)AB＝AC＋CF.證明：延長AE交DF的延長線于點(diǎn)G.∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC.∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠FAG.∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G.∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.∴AB＝CG＝AF＋CF.★考點(diǎn)五關(guān)于圖形相似的綜合問題【典例5】（2018?岳陽）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD為∠ACB的平分線，將∠ACB沿CD所在的直線對折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，連結(jié)AB'，BB'，延長CD交BB'于點(diǎn)E，設(shè)∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如圖1，若AB=AC，求證：CD=2BE；（2）如圖2，若AB≠AC，試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）；（3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（α+45°），得到線段FC，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O，設(shè)△COE的面積為S1，△COF的面積為S2，求（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如圖1中，∵B、B′關(guān)于EC對稱，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如圖2中，結(jié)論：CD=2?BE?tan2α．（3）如圖3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．學(xué)科&網(wǎng)【講透練活】變式1：(2018·河北T23·9分)如圖，∠A＝∠B＝50°，P為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn)，連接AP，并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N，設(shè)∠BPN＝α.(1)求證：△APM≌△BPN；(2)當(dāng)MN＝2BN時(shí)，求α的度數(shù)；(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出α的取值范圍．變式2：已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分別為D，E.(1)如圖1，①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是CD＝BE；②請寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)如圖2，上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請直接寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．(2)②中的結(jié)論不成立．結(jié)論：DE＝AD＋BE.理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠B＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴AD＝CE，CD＝BE.∵DE＝CD＋CE＝BE＋AD，∴DE＝AD＋BE.變式3：（2018?萊蕪?9分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D.E分別是AB.AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，連接BD′、CE′，如圖1．（1）求證：BD′=CE'；（2）如圖2，當(dāng)α=60°時(shí)，設(shè)AB與D′E′交于點(diǎn)F，求的值．【解答】解：（1）證明：∵AB=AC，D.E分別是AB.AC的中點(diǎn)，∴AD=BD=AE=EC．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．∴AD′=AE′，∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′=CE′．（2）連接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′，∴△ADD′是等邊三角形．∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．∴∠DBD′=∠DD′B=30°，∴∠BD′A=90°．∵∠D′AE′=90°，∴∠BAE′=30°，∴∠BAE′=∠ABD′，又∵∠BFD′=∠AFE′，∴△BFD′∽△AFE′，∴．∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′==，∴=．學(xué)科&網(wǎng)變式4：（2017?樂山）在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）如圖3，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴，同理．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E，（3）結(jié)論：．理由如下：過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，變式5：（2018?廣東）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如題圖1，連接BC．（1）填空：∠OBC=°；（2）如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度；（3）如圖2，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=60°．故答案為60．（2）如圖1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2，∴S△AOC=?OA?AB=×2×2=2，∵△BOC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC==2，∴OP===．（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．則NE=ON?sin60°=x，②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)．作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BM?sin60°=（8﹣1.5x），∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，y＜，③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=?MN?OG=12﹣x，當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值=2，綜上所述，y有最大值，最大值為．學(xué)科&網(wǎng)變式6：（2017浙江義烏）已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AD=AE，設(shè)∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如圖，若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°，②求α，β之間的關(guān)系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之間的關(guān)系式？若存在，求出這個(gè)關(guān)系式（求出一個(gè)即