《數(shù)值分析法》課件

《數(shù)值分析法》ppt課件contents目錄引言數(shù)值分析基礎(chǔ)線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法插值與擬合數(shù)值積分與微分常微分方程的數(shù)值解法非線性方程的數(shù)值解法引言01數(shù)值分析法是一門研究數(shù)值計(jì)算方法的學(xué)科，旨在解決各種數(shù)學(xué)問題的近似解。數(shù)值分析的應(yīng)用領(lǐng)域科學(xué)計(jì)算、工程、金融、數(shù)據(jù)分析等。數(shù)值分析的重要性在實(shí)際問題中，許多數(shù)學(xué)問題難以得到精確解，而數(shù)值分析提供了有效的近似解方法。課程簡介030201課程目標(biāo)010203能夠運(yùn)用數(shù)值分析方法解決實(shí)際問題。培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的洞察力和解決能力。掌握數(shù)值計(jì)算的基本原理和方法。數(shù)值分析基礎(chǔ)02舍入誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差的傳播誤差的來源絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字誤差的表示偶然誤差、系統(tǒng)誤差、計(jì)算誤差誤差的分類數(shù)值計(jì)算中的誤差03減小系統(tǒng)誤差提高計(jì)算精度、采用合適的計(jì)算方法01減少舍入誤差選擇合適的舍入方式、增加有效數(shù)字位數(shù)02控制舍入誤差的傳播選擇合適的算法、減少中間結(jié)果的舍入次數(shù)誤差的來源與控制數(shù)值穩(wěn)定性算法對舍入誤差的敏感性病態(tài)問題輸入數(shù)據(jù)的小變化導(dǎo)致輸出結(jié)果的大變化提高數(shù)值穩(wěn)定性選擇穩(wěn)定的算法、采用合適的計(jì)算方法數(shù)值穩(wěn)定性和病態(tài)問題線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法03總結(jié)詞高斯消元法是一種求解線性代數(shù)方程組的直接解法，通過消元和回代過程求解未知數(shù)。詳細(xì)描述高斯消元法的基本思想是將系數(shù)矩陣通過行變換化為上三角矩陣，然后通過回代過程求解未知數(shù)。該方法適用于系數(shù)矩陣非奇異的線性方程組，具有計(jì)算過程簡單、直觀的優(yōu)點(diǎn)。高斯消元法總結(jié)詞迭代法是一種求解線性代數(shù)方程組的間接解法，通過迭代過程逐步逼近方程的解。詳細(xì)描述迭代法的基本思想是構(gòu)造一個(gè)迭代公式，通過迭代公式逐步逼近方程的解。常見的迭代法包括雅可比迭代法和賽德爾迭代法等。迭代法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要對系數(shù)矩陣進(jìn)行復(fù)雜的行變換，適用于大規(guī)模線性方程組的求解。迭代法雅可比迭代法和賽德爾迭代法雅可比迭代法和賽德爾迭代法是兩種常用的迭代法，通過迭代過程逐步逼近線性方程組的解?？偨Y(jié)詞雅可比迭代法的基本思想是利用前一次迭代的近似解作為下一次迭代的初值，通過迭代公式逐步逼近方程的解。賽德爾迭代法則是利用前一次迭代的近似解和前兩次迭代的近似解之間的關(guān)系進(jìn)行迭代，同樣可以逐步逼近方程的解。這兩種迭代法的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算過程相對簡單，適用于大規(guī)模線性方程組的求解。詳細(xì)描述插值與擬合04123基于拉格朗日多項(xiàng)式的插值方法，通過構(gòu)造n+1個(gè)基點(diǎn)上的拉格朗日多項(xiàng)式來逼近給定的函數(shù)。拉格朗日插值法基于牛頓多項(xiàng)式的插值方法，通過構(gòu)造n+1個(gè)基點(diǎn)上的牛頓多項(xiàng)式來逼近給定的函數(shù)。牛頓插值法通過構(gòu)造樣條函數(shù)來逼近給定的函數(shù)，樣條函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上都是多項(xiàng)式，且在節(jié)點(diǎn)處滿足一定的連續(xù)性條件。樣條插值法多項(xiàng)式插值

樣條插值線性樣條插值在每個(gè)子區(qū)間上使用線性樣條函數(shù)進(jìn)行插值。二次樣條插值在每個(gè)子區(qū)間上使用二次樣條函數(shù)進(jìn)行插值。三次樣條插值在每個(gè)子區(qū)間上使用三次樣條函數(shù)進(jìn)行插值。多項(xiàng)式最小二乘法擬合通過最小化誤差的平方和來擬合一組數(shù)據(jù)，得到最佳的多項(xiàng)式擬合曲線或曲面。非線性最小二乘法擬合通過最小化誤差的平方和來擬合一組數(shù)據(jù)，得到最佳的非線性擬合曲線或曲面。線性最小二乘法擬合通過最小化誤差的平方和來擬合一組數(shù)據(jù)，得到最佳的線性擬合直線或平面。最小二乘法擬合數(shù)值積分與微分05該公式是計(jì)算定積分的常用方法，通過將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，用矩形面積近似代替曲線下的面積，從而得到定積分的近似值。總結(jié)詞牛頓-萊布尼茲公式是微積分學(xué)中的基本公式之一，它提供了一種計(jì)算定積分的方法。該公式由牛頓和萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn)，其基本思想是將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，用矩形面積近似代替曲線下的面積，從而得到定積分的近似值。詳細(xì)描述牛頓-萊布尼茲公式該方法是通過將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，并對每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)進(jìn)行積分，然后將這些積分值相加得到定積分的近似值?？偨Y(jié)詞復(fù)化求積法是一種數(shù)值積分的方法，其基本思想是將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，并對每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)進(jìn)行積分，然后將這些積分值相加得到定積分的近似值。這種方法適用于被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的情況。詳細(xì)描述復(fù)化求積法總結(jié)詞該公式是計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的近似值的方法，通過將函數(shù)在附近的點(diǎn)進(jìn)行線性插值來逼近導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述數(shù)值微分公式是一種計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的近似值的方法。該方法的基本思想是通過將函數(shù)在附近的點(diǎn)進(jìn)行線性插值來逼近導(dǎo)數(shù)。常用的數(shù)值微分公式有中點(diǎn)公式、兩點(diǎn)公式和三點(diǎn)公式等。這些公式在不同的精度要求和函數(shù)特性下有各自的應(yīng)用范圍。數(shù)值微分公式常微分方程的數(shù)值解法06總結(jié)詞：簡單直觀詳細(xì)描述：歐拉方法是一種簡單的數(shù)值解法，適用于求解初值問題。它基于函數(shù)的差分近似，通過迭代的方式逐步逼近真實(shí)解。由于其簡單直觀，歐拉方法在數(shù)值分析中是最基礎(chǔ)的方法之一。歐拉方法VS中點(diǎn)法的精度較高詳細(xì)描述中點(diǎn)方法是一種改進(jìn)的數(shù)值解法，其基本思想是在已知的離散點(diǎn)之間采用線性插值的方法，以獲得更高精度的近似解。與歐拉方法相比，中點(diǎn)方法在精度方面具有優(yōu)勢，尤其適用于求解精度要求較高的常微分方程?？偨Y(jié)詞中點(diǎn)方法適用范圍廣、精度高龍格-庫塔方法是數(shù)值分析中一種經(jīng)典的常微分方程數(shù)值解法。它采用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法，通過迭代的方式逐步逼近真實(shí)解。龍格-庫塔方法具有適用范圍廣、精度高等優(yōu)點(diǎn)，因此在科學(xué)計(jì)算和工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述龍格-庫塔方法非線性方程的數(shù)值解法07總結(jié)詞二分法是一種求解非線性方程根的迭代算法。要點(diǎn)一要點(diǎn)二詳細(xì)描述二分法的基本思想是將方程的根所在的區(qū)間一分為二，然后選取其中一個(gè)子區(qū)間，在子區(qū)間上構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得該函數(shù)在子區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)取值異號(hào)。接著，在子區(qū)間內(nèi)選擇一個(gè)點(diǎn)作為新的近似根，并計(jì)算該點(diǎn)處的函數(shù)值。如果函數(shù)值與零同號(hào)，則將該點(diǎn)作為新的近似根；否則，將該點(diǎn)舍去。重復(fù)上述過程，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的精度要求。二分法總結(jié)詞迭代法是一種求解非線性方程根的算法。詳細(xì)描述迭代法的基本思想是通過不斷迭代來逼近方程的根。首先，選取一個(gè)初始近似根，然后根據(jù)該近似根計(jì)算方程的下一個(gè)近似根。重復(fù)上述過程，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的精度要求。迭代法的收斂性和收斂速度取決于初始近似根的選擇和迭代公式的設(shè)計(jì)。迭代法求解非線性方程總結(jié)詞非線性方程組的迭代法是一種求解多個(gè)非線性方程根的算法。詳細(xì)描述非線性方程組的迭代法的基本思想是將多個(gè)