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北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)第四章圖形的相似4.6利用相似三角形測高怎樣測量這些非常高大物體的高度?情景引入胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔,被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”,古希臘數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測量金字塔的高度,你能根據(jù)圖示說出他測量金字塔的原理嗎?一、運(yùn)用相似三角形解決高度(長度)測量問題例1:如下圖,如果木桿EF長2m,它的影長FD為3m,測得OA為201m,求金字塔的高度BO.解:∵BF∥ED,∴∠BAO=∠EDF,又∵∠AOB=∠DFE=90°,∴△ABO∽△DEF,∴=,∴=,∴BO=134.因此金字塔高134m.物1高:物2高=影1長:影2長測高方法一:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,可以用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決.例2:如圖,小明為了測量一棵樹CD的高度,他在距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF,然后小明前后調(diào)整自己的位置,當(dāng)他與樹相距27m的時(shí)候,他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹的頂端在同一條直線上.已知小明的眼高1.6m,求樹的高度.解析:人、樹、標(biāo)桿是相互平行的,添加輔助線,過點(diǎn)A作AN∥BD交ID于N,交EF于M,則可得△AEM∽△ACN.AECDFBNAECDFBN解:過點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N,交EF于M,因?yàn)槿恕?biāo)桿、樹都垂直于地面,∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴ .∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,∴ ,∴CN=3.6(m),∴CD=3.6+1.6=5.2(m).故樹的高度為5.2m.M測高方法二:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,也可以用“利用標(biāo)桿測量高度”的原理解決.例3:為了測量一棵大樹的高度,某同學(xué)利用手邊的工具(鏡子、皮尺)設(shè)計(jì)了如下測量方案:如圖,①在距離樹AB底部15m的E處放下鏡子;②該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處,目高CD為1.5m;③觀察鏡面,恰好看到樹的頂端.你能幫助他計(jì)算出大樹的大約高度嗎?解:∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.∴ ,得BA=18.75m.因此,樹高約為18.75m.DBACE21測高方法三:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.例4:如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P,在近岸取點(diǎn)Q和S,使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直,接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的寬度PQ.45m90m60m解:∵QR∥ST∴△PQR∽△PSTPQ=90m.(1)根據(jù)題意畫出___________;(2)將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的_____________________;(3)利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系,求出__________;(4)寫出___________.示意圖已知線段、已知角未知量答案利用三角形相似解決實(shí)際問題的一般步驟:歸納總結(jié)1.如圖,小李打網(wǎng)球時(shí),球恰好打過網(wǎng),且落在離網(wǎng)4m的位置上,則球拍擊球的高度h為()A.0.6m B.1.2m C.1.3m D.1.4mD課堂練習(xí)2.一個(gè)鋼筋三角形框架三邊長分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角形框架,而只有長是30cm和50cm的兩根鋼筋,要求以其中一根為一邊,從另一根上截下兩段(允許有余料)作為兩邊,則不同的截法有()A.1種 B.2種 C.3種 D.4種B3.如圖,小華在地面上放置一個(gè)平面鏡E來測量鐵塔AB的高度,當(dāng)鏡子與鐵塔的距離EB=20m,鏡子與小華的距離ED=2m時(shí),小華剛好從鏡子中看到鐵塔頂端點(diǎn)A.已知小華的眼睛距地面的高度CD=1.5m,則鐵塔AB的高度是.
15m4.如圖,矩形ABCD為臺(tái)球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前在點(diǎn)E位置,AE=60cm.如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過去,經(jīng)過反彈后,球剛好彈到點(diǎn)D位置.(1)求證:△BEF∽△CDF;(2)求CF的長.5.如圖,小明想測量電線桿AB的高度,他發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上,已知CD和地面成30°角,CD=4m,BC=10m,且此時(shí)測得1m高的標(biāo)桿在地面上的影長為2m,求電線桿AB的高.通過本課時(shí)的學(xué)
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