16　三角函數(shù)模型的簡單應用

1.6

三角函數(shù)模型的簡單應用1.能正確分析收集到的數(shù)據(jù),選擇恰當?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊含的規(guī)律.2.能根據(jù)實際問題的意義,利用三角函數(shù)模型解決有關問題,為決策提供依據(jù).121212A.12π,7 B.12π,5C.12,7 D.12,5答案:C答案:B12122.三角函數(shù)模型的應用(1)三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化的規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著重要作用.實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù),因此往往需要用到計算器或計算機.(2)實際問題的背景往往比較復雜,而且需要綜合應用多門學科的知識才能完成,因此在應用數(shù)學知識解決實際問題時,不僅要注意從復雜的實際背景中抽取基本的數(shù)學關系,而且還要調(diào)動相關學科知識來解決問題.12(3)建立三角函數(shù)模型的步驟如下:12答案:5

解三角函數(shù)型實際問題的步驟剖析:(1)審清題意,讀懂題.三角函數(shù)型實際問題的語言形式多為文字語言和圖形語言并用,閱讀材料時要讀懂題目所反映的實際問題的背景,領悟其中的數(shù)學本質,在此基礎上分析出已知什么、求什么,從中提煉出相應的數(shù)學問題.(2)搜集整理數(shù)據(jù),建立數(shù)學模型.根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù),找出變化規(guī)律,并運用已經(jīng)掌握的三角知識、物理知識及其他相關知識建立關系式,將實際問題轉化為一個三角函數(shù)問題,實現(xiàn)問題的數(shù)學化,即建立三角函數(shù)模型.其中要充分利用數(shù)形結合的思想以及圖形語言和符號語言并用的思維方式.(3)討論變量關系.根據(jù)上一步中建立起來的變量關系,結合題目的要求,與已知數(shù)學模型的性質對照,轉化為討論y=Asin(ωx+φ)+b的性質,從而得到所求問題的理論參考值.(4)作出結論.根據(jù)上一步得出的理論參考數(shù)值按題目要求作出相應的結論.題型一題型二題型三【例1】

如圖,某動物種群數(shù)量(單位:只),去年12月1日低至700只,今年6月1日高至900只,其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化.(1)求出種群數(shù)量y關于月份t的函數(shù)表達式;(2)估計今年3月1日動物的種群數(shù)量.分析:(1)根據(jù)曲線求出函數(shù)表達式;(2)由表達式求出今年3月1日即t=3時對應的函數(shù)值.題型一題型二題型三解:(1)設種群數(shù)量y關于t的解析式為y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),題型一題型二題型三即今年3月1日動物的種群數(shù)量約是800只.反思在生活中,呈周期變化的現(xiàn)象,常用三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)來描述,通過討論其圖象和性質來解決實際問題.題型一題型二題型三【變式訓練1】

已知某地一天從4時到16時的溫度變化曲線近(1)求該地這一段時間內(nèi)溫度的最大溫差;(2)若有一種細菌在15℃到25℃之間可以生存,則在這段時間內(nèi),該細菌最多能生存多長時間?解:(1)當x=14時,函數(shù)取最大值,此時最高溫度為30

℃;當x=6時,函數(shù)取最小值,此時最低溫度為10

℃,所以最大溫差為30-10=20(℃).題型一題型二題型三

【例2】

一個懸掛在彈簧上的小球,靜止時如圖.現(xiàn)從它的靜止位置向下拉0.2m的距離,在t=0時小球被放開并開始振動,1s后又再次回到這一位置.(1)求出描述此小球運動的一個函數(shù)解析式;(2)求當t=6.5s時小球所在的位置.分析:(1)設函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ),由題意可知最低點距離平衡位置0.2

m,在t=0和t=1時小球都在最低點的位置,由此可確定A,ω,φ.(2)代入計算即可.題型一題型二題型三解:(1)取向上的位移為正,設在t

s時小球相對于靜止位置的位移為s,s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).(2)令t=6.5,則s=-0.2cos

13π=0.2(m).故當t=6.5

s時,小球在靜止位置的上方0.2

m處.反思由于物理學中的單擺、光波、機械波、電流等都具有周期性,且基本符合三角函數(shù)的相關知識,因此借助于三角函數(shù)模型來研究物理學中的相關現(xiàn)象是解答此類問題的關鍵.題型一題型二題型三求:(1)開始時的電壓;(2)電壓值重復出現(xiàn)一次的時間間隔;(3)電壓的最大值和第一次獲得這個最大值的時間.分析:(1)開始時的電壓,即當t=0

時電壓E的值;(2)電壓值每周期重復出現(xiàn)一次;(3)電壓的最大值可由關系式求出.題型一題型二題型三題型一題型二題型三【例3】

游樂場中的摩天輪勻速旋轉,其中心O距地面是40.5m,半徑是40m.若從最低點處登上摩天輪,則你與地面的距離將隨時間變化,5min后到達最高點.在你登上摩天輪時開始計時,請解答下列問題.(1)能求出你與地面的距離y與時間t的函數(shù)解析式嗎?(2)當你登上摩天輪8min后,你與地面的距離是多少?(3)當你第1次距地面30.5m時,用了多少時間?(4)當你第4次距地面30.5m時,用了多少時間?分析:因為從最低點到最高點的變換具有周期性,所以可以用y=Asin(ωt+φ)+b作為函數(shù)模型.題型一題型二題型三解:(1)如圖,O是摩天輪輪心,作ON垂直地面于點N,交摩天輪于點P,ON=40.5

m,OP=40

m.由題意可知,當t=0時,你登上摩天輪,位于點P,經(jīng)過t

min,旋轉到P1處,P1到地面的距離為P1M=y.作P1Q⊥OP于點Q.因為人從最低點旋轉到最高點需5

min,題型一題型二題型三即你第1次距地面30.5

m時,用了約2.1

min.(4)你第4次距地面30.5

m時,用了20-2.1=17.9(min).反思對于實際問題,只需把問題中提供的條件逐條地翻譯成數(shù)學語言,就能建立數(shù)學模型.題型一題型二題型三【變式訓練3】

如圖所示,一個摩天輪的半徑為10m,輪子的底部在距離地面2m處,如果此摩天輪按逆時針方向轉動,每300s轉一圈,且當摩天輪上某人經(jīng)過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時.(1)求此人相對于地面