高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第九章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考試要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)變量間的關(guān)系，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性；2.了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；3.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析知

識(shí)

梳

理回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：_______；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).(1)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到_______的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).散點(diǎn)圖左下角右上角左上角右下角2.線性回歸方程(3)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在__________附近，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.一條直線(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的________________最小的方法叫做最小二乘法.距離的平方和斜率3.回歸分析(1)定義：對(duì)具有___________的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中_______稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量_______；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量_______.r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性_____.相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負(fù)相關(guān)越強(qiáng)0.754.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量________”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為有關(guān)系

y1y2總計(jì)x1ab_______x2cdc＋d總計(jì)a＋c______a＋b＋c＋da＋bb＋da＋b＋c＋d診

斷

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)答案(1)√

(2)√

(3)√

(4)√2.(老教材選修2－3P91探究改編)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校在150名男生中有80名近視，在140名女生中有70名近視.在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說(shuō)服力(

) A.回歸分析 B.均值與方差 C.獨(dú)立性檢驗(yàn) D.概率

解析“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷.

答案C3.(老教材選修2－3P85講解改編)兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

) A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80 C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25

解析在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1，模擬效果越好，在四個(gè)選項(xiàng)中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.

答案

AA.2 B.1 C.0 D.－1x45678y54321答案D5.(2020·臨沂月考)隨著國(guó)家二孩政策的全面放開(kāi)，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.

非一線一線總計(jì)愿生452065不愿生132235總計(jì)5842100P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.823正確的結(jié)論是(

)A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”C.有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”D.有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”解析∵K2≈9.616＞6.635.∴有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”.答案C考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是(

)解析(1)觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系.故選D.(2)完全的線性關(guān)系，且為負(fù)相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為－1，故選A.答案(1)D

(2)A規(guī)律方法判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，|r|越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng).【訓(xùn)練1】

在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的人體脂肪含量與年齡的關(guān)系的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào)).①人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%；②人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%；③人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%；④人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.解析觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.答案②角度1線性回歸方程及應(yīng)用【例2－1】

(2020·長(zhǎng)沙統(tǒng)考)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集了近6個(gè)月廣告投入量x(單位：萬(wàn)元)和收益y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表：考點(diǎn)二回歸分析多維探究月份123456廣告投入量/萬(wàn)元24681012收益/萬(wàn)元14.2120.3131.831.1837.8344.67(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由.(2)殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回歸方程；(ⅱ)廣告投入量x＝18時(shí)，(1)中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少？解(1)應(yīng)該選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷俚臍埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度高.(2)(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得故預(yù)報(bào)值為62.04萬(wàn)元.角度2非線性回歸方程及應(yīng)用【例2－2】

某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.規(guī)律方法1.對(duì)于非線性回歸分析問(wèn)題，應(yīng)先進(jìn)行變量代換，

求出代換后的回歸直線方程，再求非線性回歸方程.2.回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).【訓(xùn)練2】

(2020·廣州模擬)某班的健康調(diào)查小組從所在學(xué)校共選取15名男同學(xué)，其年齡、身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表所示(本題中身高單位：cm，體重單位：kg).年齡(身高，體重)

年齡(身高，體重)15(154，48)，(161，65)，(168，64)

18(166，64)，(168，72)，(182，74)16(158，50)，(162，59)，(175，80)

19(160，51)，(172，68)，(178，90)17(161，60)，(167，62)，(173，68)

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)了兩種方案預(yù)測(cè)學(xué)生身高.方案①：建立平均體重與年齡的線性回歸模型，表中各年齡的體重按三名同學(xué)的平均體重計(jì)算，數(shù)據(jù)整理如下表：i12345年齡ti1516171819平均體重si596363.37069.7方案②：建立平均體重與平均身高的線性回歸模型，將所有數(shù)據(jù)按身高重新分成6組：[153，158)，[158，163)，[163，168)，[168，173)，[173，178)，[178，183]，并將每組的平均身高依次折算為155，160，165，170，175，180，各組的體重按平均體重計(jì)算，數(shù)據(jù)整理如下表.i123456平均身高xi155160165170175180平均體重yi485763687482故平均體重y與平均身高x的線性回歸方程為解(1)對(duì)比兩種方案，用方案②預(yù)測(cè)身高168cm的男同學(xué)的平均體重更合理.因?yàn)樯砀吆腕w重的相關(guān)關(guān)系強(qiáng)于年齡與體重的相關(guān)關(guān)系.考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】

(2020·日照模擬)某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測(cè)出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問(wèn)題.該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在(195，210]內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.甲流水線樣本的頻數(shù)分布表和乙流水線樣本的頻數(shù)分布直方圖如下：甲流水線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)(190，195]9(195，200]10(200，205]17(205，210]8(210，215]6乙流水線樣本頻率分布直方圖(1)根據(jù)乙流水線樣本頻率分布直方圖，估計(jì)乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)；(2)若將頻率視為概率，某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？(3)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”？

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品

不合格品

合計(jì)

附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010