-真值表及其作用

第六節(jié)真值表及其作用

一、真值表及其畫法真值表是以表格的直觀形式表示與判定判斷真值和推理有效性的一種邏輯方法。

【真值表：能顯示一個復(fù)合判斷在它的支判斷的各種組合下的真假情況的圖表?！?/p>

.

注意問題：

在二值邏輯中，判斷的真值只限于判斷取值為真、為假兩種情況。

推理有效性即推理形式的正確性，包括推理有效和無效兩種情況。

真值表的簡單與復(fù)雜，主要取決于支判斷和邏輯聯(lián)結(jié)詞的多少。

.1.列出各種真值組合:運用給定判斷形式中的所有變項,列出這些判斷的各種真值組合運用真值表方法的步驟.2.分解判斷形式：根據(jù)判斷形式的構(gòu)成過程，從左至右由簡而繁的列出所給定判斷形式的各個組成部分（子公式）；被判定的公式（原公式）列在最后。.3.計算每個組成部分真值：根據(jù)已學(xué)過的聯(lián)言判斷、選言判斷、假言判斷、負(fù)判斷的真值表，計算出每個組成部分的真值，依次給出表中所有公式的真值。4.得出需要判定的復(fù)合判斷的真值并作出判定..

二、真值表的作用（一）定義復(fù)合判斷邏輯聯(lián)結(jié)詞.（二）判定判斷之間的邏輯關(guān)系

pq?(p∨q)?p∧?q

TTFF

FTFFFFTT

TFFF

（p∨q）←→

p∧

q

.（二）判定判斷之間的邏輯關(guān)系

pqp∨q?p∧?q

TTT

F

FTT

FFFF

T

TFT

F

（p∨q）與

p∧

q是矛盾關(guān)系.（三）判定推理形式是否為有效式若某推理形式的真值是恒真的，則它是有效的，否則它是無效的。推理有效式的真值總是真的(永真式).例1：下列ABC三個判斷不同真，可否斷言小金是否當(dāng)選班長，小趙是否當(dāng)選學(xué)習(xí)委員？

A:小金不當(dāng)選班長或者小趙當(dāng)選學(xué)習(xí)委員

B:小趙當(dāng)選學(xué)習(xí)委員

C:小金當(dāng)選班長或者小趙當(dāng)選學(xué)習(xí)委員解：①令p表示“小金當(dāng)選班長”，q表示“小趙當(dāng)選學(xué)習(xí)委員”②把ABC符號化為：A:(┓p∨q)B:qC:(p∨q)③列真值表如下：.④由表第3、5行得知，ABC不同真⑤由此可斷定p真或假，q假,即：能斷定小趙沒當(dāng)選學(xué)習(xí)委員不能斷定小金是否當(dāng)選班長

A

C

BP:小金當(dāng)選班長小趙當(dāng)選學(xué)習(xí)委員q:.例2：甲、乙、丙三人爭奪象棋比賽的前三名。小林預(yù)測，“只有甲第一，丙才第二”。小劉預(yù)測，“丙不是第二”。

事實證明兩人中只有一人的預(yù)測為真，請回答甲、乙、丙三人的名次。解：①令p表示“甲第一”，q表示“丙第二”

②小林的預(yù)測:(p←q)

小劉的預(yù)測:┓q

③列真值表如下:.④由真值表第2行可得，當(dāng)p、q均真時，判斷┓q與(p←q)不同真。⑤由此可得：甲第一、丙第二、乙第三。P：甲第一，q：丙第二。小林預(yù)測小劉預(yù)測.

例3：用真值表判定下列推理是否有效。

或者邏輯難學(xué)，或者沒有多少學(xué)生喜歡它。如果數(shù)學(xué)容易學(xué)，那么邏輯不難學(xué)。因此，如果許多學(xué)生喜歡邏輯，那么學(xué)數(shù)學(xué)并不太容易。

解：令p表示“邏輯難學(xué)”，q表示“許多學(xué)生喜歡邏輯”，r表示“數(shù)學(xué)容易學(xué)”。則該推理的真值形式是：

((p∨┓q)∧(r→┓p))→(q→┓r).（（p∨┓q）∧（r→┓p））→（q→┓r）的真值由上述真值表可得該推理是有效的。.【練習(xí)題】一、填空題1.若p←q取值為假，則p∧q取值為（

）。2.由“p∧q”真能推出“p∨q”（）。3.已知p∧(q→r)與非r均真，則q取值為（）。4.若p為任意值，要使p←q為真，q應(yīng)取（）值。5.“（p∧q）→p”這個推理是聯(lián)言推理的（）式。答案：1.假；2.真；3.假；4.假；5.分解.6.與“并非做壞事而不受懲罰”這個判斷等值的充分條件假言判斷是（）。7.“只有通過考試，才能錄取”轉(zhuǎn)換為等值的充分條件的假言判斷是（）；轉(zhuǎn)換為等值的聯(lián)言判斷的負(fù)判斷是（）。8.“并非小王既是大學(xué)生又是運動員”等值于選言判斷（）；也等值于充分條件假言判斷（）。答案：6.如果做壞事，那么要受懲罰。

7.如果要被錄取，那么要通過考試；并非不通過考試而能被錄取。

8.小王或者不是大學(xué)生，或者不是運動員；如果小王是大學(xué)生，那么他不是運動員。.9.負(fù)判斷的支判斷與負(fù)判斷的等值判斷之間是（

）關(guān)系。10.“并不是除非你讓步，他才能簽字”這一負(fù)判斷的的等值判斷是（）。11.以“如果p那么q”和“如果r那么s”為假言前提進行二難推理，則推出的結(jié)論可以是（）、（）。答案：9.矛盾。10.你不讓步他也簽字。

11.q或s，非p或非r。.二、下列判斷是何種判斷？寫出它們的結(jié)構(gòu)式。1.在掌握好專業(yè)知識的同時，還必須學(xué)好邏輯。

聯(lián)言判斷；p∧q2.只要改正了錯誤，就表明已經(jīng)認(rèn)識了錯誤。

充分條件假言判斷；p→q3.并非旅游團明天去紐約，或者去舊金山。

相容選言判斷的負(fù)判斷；

(p∨q)4.如果事故不是機械故障，那么就一定有人破壞，這種說法不對。

充分條件假言判斷的負(fù)判斷；

(p→q)5.除非有效地治理污染，否則不能保護環(huán)境。

必要條件假言判斷；p←q.三、指出下列判斷中哪些具有等值關(guān)系，并寫出它們的等值式。1.如果甲公司不中標(biāo)，則乙公司一定中標(biāo)。2.并非甲公司中標(biāo)并且乙公司中標(biāo)。3.或者甲公司不能中標(biāo)，或者乙公司不能中標(biāo)。4.或者甲公司中標(biāo)，或者乙公司中標(biāo)。1與4等值;“如果非p,那么q”等值于“或者p,或者q”2與3等值;“并非(p并且q)”等值于“或者非p,或者非q”.四、寫出下列判斷的等值判斷和矛盾判斷。1.如果某化合物具有很強的毒性，那么就要嚴(yán)格限制生產(chǎn)。

等值判斷：“只有嚴(yán)格限制它生產(chǎn)，某化合物才具有很強的毒性?！?/p>

矛盾判斷：“某化合物具有很強的毒性，但并非嚴(yán)格限制生產(chǎn)它”。2.只有不喜歡吃川菜的人，才喜歡吃粵菜。

等值判斷:“如果是喜歡吃粵菜的人,那么他不喜歡吃川菜?！?/p>

矛盾判斷:“喜歡吃川菜的人,并且也喜歡吃粵菜”。.3.旗桿上飄揚的是一面紅旗,并且是五星紅旗。

等值判斷：“并非旗桿上飄揚的或者不是紅旗，或者不是五星紅旗?！?/p>

矛盾判斷：“如果旗桿上飄揚的是紅旗，那么它不是五星紅旗?！?.并非小王是特種兵，或者是專業(yè)運動員。

等值判斷:“小王不是特種兵,并且不是運動員?！?/p>

矛盾判斷:“小王或者是特種兵,或者不是運動員?！?

五、寫出下列符號公式的真值表(p∨

p)→∧(

q∧q).

六、指出下列推理的種類，寫出結(jié)構(gòu)式，并分析是否正確。

1.如果李楠去參加辯論賽，她就不能來上課；李楠沒來上課；所以，他準(zhǔn)備去參加辯論比賽了。

充分條件假言推理肯定后件式；推理不正確。

2.票房收益好的新影片，或者由于藝術(shù)性高，或者不是由于藝術(shù)性高而有其他原因；上周新片排行榜第一的影片是由于藝術(shù)性高；可見，不是因為別的原因。

不相容選言推理的肯定否定式；推理正確。.3.只有海平面明顯地加速上漲，才說明極地冰山融化將會給人類的生存帶來威脅；海平面近十年來并未明顯上漲；因此，極地冰山融化短期內(nèi)不會給人類的生存帶來威脅。

必要條件假言推理的否定前件式；推理正確。4.和平而安寧地生存是絕大多數(shù)人的愿望，所以，絕大多數(shù)人渴望和平或者反對恐怖主義和戰(zhàn)爭。

相容選言推理的肯定肯定式；推理正確。

.七、以下列各組判斷作前提能否必然推出結(jié)論？如果能，可推出什么結(jié)論？

1.只有經(jīng)過嚴(yán)格考試和體驗,才能成為飛行員;飛行學(xué)校的畢業(yè)生都經(jīng)過了嚴(yán)格的考試和體驗;所以:

不能。必要條件假言推理，由肯定前件不能必然推出結(jié)論。

2.大學(xué)生樂于上互聯(lián)網(wǎng),或者是喜歡聊天,或者是迷戀游戲,或者是查找資料;小陳整天泡在網(wǎng)上既不聊天,也不查資料;所以:

能。結(jié)論為：小陳樂于上網(wǎng)是迷戀游戲。

(相容選言推理的否定肯定式).3.如果李剛?cè)⒓勇?lián)歡會，則王亮、孫凱和黃平都會去；王亮沒去參加聯(lián)歡會；所以：

能。結(jié)論為：李剛沒去參加聯(lián)歡會。

(充分條件假言判斷的否定后件式)4.并非午夜天上最亮的星星，或者是牛郎星，或者是織女星；所以：

能。結(jié)論為：午夜天上最亮的星不是牛郎星，也不是織女星。(相容選言判斷負(fù)判斷的等值判斷)5.如果所有的鳥都會飛，并且鴕鳥是鳥，則鴕鳥會飛；鴕鳥是鳥，但鴕鳥不會飛；因此：

能。結(jié)論為：并非所有的鳥都會飛(或者:有些鳥不會飛)(反三段論).八、選擇題1.兩個假言判斷形式相同，其相同的是A.前件和后件B.前件和聯(lián)結(jié)詞C.前件和后件D.聯(lián)結(jié)詞答案：D2.若“如果某甲掌握了兩門外語，那么它精通邏輯”為假，則下列為真的是A.某甲掌握了兩門外語并且精通邏輯B.某甲掌握了兩門外語但不精通邏輯C.某甲沒掌握兩門外語但精通邏輯D.某甲沒掌握兩門外語也不精通邏輯答案：B.3.“如果張紅是教師，那她一定學(xué)過心理學(xué)。”上述判斷是從下面哪個判斷中推論出來的？A一個好教師應(yīng)該學(xué)習(xí)心理學(xué)。B.只有學(xué)過心理學(xué)的人才可以做教師。C.有些教師真的不懂心理學(xué)。D.心理學(xué)知識有助于提高教學(xué)效果。答案：B4.在下列判斷中與“非p或者非q”等值的判斷是A.并非(非p并且非q)B.并非(p并且q)C.如果p，那么非qD.如果非q，那么pE.如果非p，那么q答案：BC.5.“不是在保守中落后，就是在改革中進步”與“不是在保守中落后，而是在改革中進步”這兩個判斷A.都是選言判斷B.前者為選言判斷，后者為聯(lián)言判斷C.都是聯(lián)言判斷D.前者為聯(lián)言判斷，后者為選言判斷答案：B6.“只有觸犯刑律，才能構(gòu)成犯罪”作為假言前提進行假言推理，另一前提可以是A.觸犯刑律B.沒有構(gòu)成犯罪C.構(gòu)成了犯罪D.沒有觸犯刑律E.未構(gòu)成犯罪答案：CD.7.以（1）非q、（2）p∨q、（3）p→r為前提的集合，推出結(jié)論r，所用的推理形式有A.選言推理肯否定式B.聯(lián)言推理分解式C.選言推理否定肯定式D.充分條件假言推理肯定前件式E.充分條件假言推理否定后件式答案：CD8.以(1)p→q(2)r→q(3)s→p∨r(4)s為前提進行推理，結(jié)論為A.pB.非pC.qD.非q答案：C.9.命題“S不是刑警，也不是交警”與“如果S不是刑警，則他是交警”，在真值上的情況是:A.可同真，可同假B.可同真，不同假C.不同真，可同假D.不同真，不同假答案：D。.九、表解題1.甲、乙、丙三位領(lǐng)導(dǎo)發(fā)表了下列意見。請用真值表解答：是否有一種方案可同時滿足甲、乙、丙的意見。甲:如果小張去黃山,那么小劉也去黃山。乙:只有小張去黃山,小劉才去黃山。丙:或者小張去黃山,或者小劉去黃山。答案：小張與小劉都去黃山。.

解：設(shè)p為小張去黃山，q為小劉去黃山。則將題中條件符號化為：甲:p→q乙:p←q丙:p∨q

列真值表得：

甲乙丙由以上真值表可知當(dāng)小張和小劉都去黃山時，可以同時滿足甲乙丙三位領(lǐng)導(dǎo)的意見。.2.列出A、B、C三判斷的真值表，并回答A、B、C中恰有兩假時，能否斷定甲村所有人家有彩電、能否斷定乙村有些人家沒有彩電？A:只有甲村有些人家沒彩電,乙村所有人家才有彩電B:甲村所有人家有彩電并且乙村所有人家有彩電C:或者甲村所有人家有彩電或者乙村所有人家有彩電請問當(dāng)A、B、C恰有兩假時，不能斷定甲村所有人家有才電；可以斷定乙村有些人家沒有彩電。答案：當(dāng)A、B、C恰有兩假時，不能斷定甲村所有人家有才電；可以斷定乙村有些人家沒有彩電。

.十、綜合題1.某部偵察連長接到一項緊急任務(wù),要它在代為A、B、C、D、E的五個偵察員中挑選兩人深入敵區(qū)了解敵情,人選的配備要注意以下幾點：(1)如果B不去，則A也不能去；(2)只有C去，B才能跟著去；(3)若D去，則E也去；(4)或A去，或D去；(5)因某種原因C不能去執(zhí)行任務(wù)。請問：偵察連長應(yīng)挑選哪兩個人深入敵區(qū)？寫出推理過程答案：挑選DE深入敵區(qū).2.某案的兩名兇手在A、B、C、D、E五人之中,在下列條件下兇手是誰？請寫出推理過程。(1)只有A是兇手，B才是兇手。(2)只要D不是兇手，C就不是兇手。(3)或B是兇手，或C是兇手。(4)D沒有E為幫兇，就不會作案。(5)E沒有作案時間。答案：兇手是A、B.3.(1)A真包含于B。

(2)有C不是B。

(3)若C不是真包含A，則C真包含于A。試確定A、B、C三者的外延關(guān)系，并用歐拉圖表示出來。解析：由(1)(2)得(4)“有C不是A”(三段論推理)；由(3)(4)得(5)“C真包含A”(充分條件假言推理否定后件式)。歐拉圖略。.4.設(shè)(1)有P是S；

(2)如果有S不是M，則有S是M；

(3)有P不是S(4)M都不是P

這四句話中只有一句是真的。請問：哪一句是真的？S與P是何種外延關(guān)系？解析:由(1)(3)為下反對關(guān)系可知二者必有一真,則(2)(4)必假。由(2)假得“有S不是M,且所有S不是M”；由(4)假得“有的M是P”。由“所有S不是M”與“有的M是P”，組成三段論推理得:“有P不是S。即(3)真,(1)假,所以S與P的外延是全異關(guān)系。.

5.請根據(jù)下列已知條件，推出B與C、A與B、D與C的外延關(guān)系，將推導(dǎo)過程寫出來，并分別用歐拉圖表示出來。（1）只有A與B交叉，B與C才全同；（2）如果A與B相容，那么D與C全異；（3）B是C并且C是B。

答案：B與C是全同關(guān)系，A與B是交叉關(guān)系，D與B、C是全異關(guān)系，D與A

是交叉或全異關(guān)系。.6.在某案件中，已確認(rèn)的事實如下：①只有破獲317號案件，才能確認(rèn)甲、乙、丙三人都是罪犯；②317號案件沒有破獲；③如果甲不是罪犯，則甲的供詞是真的，而甲說乙不是罪犯；④如果乙不是罪犯，則乙的供詞是真的，而乙說自己和丙是好朋友；⑤經(jīng)查，丙根本不認(rèn)識乙。上述陳述可邏輯地推出何種結(jié)論？（請寫出推理過程及推理依據(jù)）結(jié)論：甲乙是罪犯，丙不是罪犯。.

解:由①②得⑥：或者甲不是罪犯，或者乙不是罪犯，或者丙不是罪犯(必要條件假言推理否定前件式)；由④⑤得⑦：乙是罪犯(充分條件假言推理否定后件式)；由③⑦得⑧：甲是罪犯(充分條件假言推理否定后件式)；由⑥⑦⑧得⑨：丙不是罪犯(選言推理否定肯定式)。

所以，甲乙是罪犯，丙不是罪犯。.7.已知命題：(1)甲與乙只有一人能進入復(fù)試；(2)如果甲沒有進入復(fù)試，則乙就進入復(fù)試；(3)如果丙沒進入復(fù)試，那么甲就進入復(fù)試；(4)只有丁進入復(fù)試，丙才進入復(fù)試。上列命題中，(1)、(2)假，(3)、(4)真，由之可必然得出何結(jié)論？

結(jié)論：丙與丁進入了復(fù)試。.

8.在某地的新農(nóng)村建設(shè)規(guī)劃中，農(nóng)民的意見主要集中為如下三點：

①醫(yī)院、學(xué)校至少有一樣；

②如果學(xué)校、商店都有，那么必須有醫(yī)院；

③醫(yī)院、商店至多有一樣。請問，如果完全尊重上述意見，那么是否要建商店？請寫出推導(dǎo)過程及推理依據(jù)。

答案：不建商店。.解：假設(shè)要建商店。由③得：“不建醫(yī)院”④（不相容選言推理的肯定否定式）；由①④得：“要建學(xué)校”⑤（相容選言推理的否定肯定式）；由②⑤得：“必須建醫(yī)院”⑥（充分條件假言推理肯定前件式）。此與假設(shè)要建商店相矛盾，所以假設(shè)不成立，因此，如果完全尊重農(nóng)民的意見就不要建商店。.9.在某一案件中，對四個嫌疑人中到底哪一個是作案人，刑警們的預(yù)測是：A：作案人或者是甲，或者是乙。B：如果丙不是作案人，丁也不是作案人。C：甲不是作案人。破案后發(fā)現(xiàn)，刑警們的預(yù)測中，只有一句是對的。作案者到底是誰呢？

答案：作案者是丁。.10.用自然推理的方法證明下列推理的有效性。（1）E→（F∨G）（2）（F∨G）→H，（3）E/∴H11.寫出由下列前提出發(fā)，推出“C”的推理過程。（1）（A∨B）（2）（B→┐D）（3）（D←┐C）（4）（┐A∧E）.

教材130頁第11題解析：

1.“老張比教授個子高”，“工人不是老趙就老李”，意味著老張不是教授，也不是工人。

2.“醫(yī)生比教授個子矮”,意味著教授比醫(yī)生高,而“老張比教授高”,所以老張一定比醫(yī)生高,故老張也不是醫(yī)生。綜合1,可知老張只能是司機。

3.“工人不是老趙就老李”，假如工人是老李，那么依“工人比司機（老張）高”與“老張高于教授與醫(yī)生”，可得出工人老李個子最高，與（2）“老李比老王個子矮”矛盾。所以工人不能是老李，只能是老趙。

4.再依據(jù)“老王高于老李”與“教授高于醫(yī)生”，可知老王是教授，老李是醫(yī)生。.關(guān)于模態(tài)判斷

1.模態(tài)判斷的定義

模態(tài)判斷就是斷定事物情況的必然性或者可能性的判斷。

(1)任何人都可能犯錯誤。

(2)他可能不知道山理工的地址。

(3)商品房的價格必然會繼續(xù)上漲。

(4)明天必然不會下雨。.2.模態(tài)判斷的基本形式從形式上看，模態(tài)判斷的特點就是在句中包含了模態(tài)詞，常見的模態(tài)詞主要有兩種：一種表示必然，常見的詞語有：一定，必定，肯定，必然等。一種表示可能，常見的詞語有：可能，或許，有可能等。.

模態(tài)詞與判斷的肯定、否定相結(jié)合則構(gòu)成了模態(tài)判斷的四種基本形式，即：必然肯定判斷：必然p

例如：今天必然會下雨。必然否定判斷：必然非p

例如：成功必然不會是等來的?？赡芸隙ㄅ袛啵?/p>

例如：中國在2030年經(jīng)濟可能超過美國?？赡芊莗

例如：他可能不適合做這件事。.3.模態(tài)判斷各形式之間的關(guān)系必然非p可能p可能非p反對關(guān)系下反對關(guān)系矛盾關(guān)

系矛盾關(guān)系從屬關(guān)系從屬關(guān)系必然p.