平面向量（教師版）-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料

2022屆高三-二輪復(fù)習(xí)資料（通用版）--平面向量（教師版）

一.平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)過眼:

1.平面向量

向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長度叫做該向量的模。

6向量長度為0,方向任意的向量。【6與任一非零向量共線】

平行向量方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。

向量的模|￡|=次+/1=|?|2=A-2+y2

重

兩點(diǎn)間的距若人（百，乂），3（々，必），則1岫=｛（占-/+（內(nèi)-）j

要

離

概

念起點(diǎn)放在一點(diǎn)的兩向量所成的角，范圍是［0,4］?！?的夾角記為＜￡石＞。

向量夾角3,揚(yáng)銳角oa）＞0,a石不同向;〈0,吩為直角="4=0；〈a,吩鈍角o”.方＜0,a石不

反向.向量的夾角帶有方向性：向量是有方向的，向量間的夾角表示兩個(gè)向量正方

向的夾角

投影＜Z,B＞=e,Mgs，叫做B在Z方向上的投影?！咀⒁猓和队笆菙?shù)量】

&不共線,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（4〃），使￡=花|+〃&。若3,工2為X,），軸上

基本定理

平重的單位正交向量，（4〃）就是向量3的坐標(biāo)。

面要

向法一般表示坐標(biāo)表示

量則

定共線條件a/ib共線o存在唯一實(shí)數(shù)4,a=Ab=芭%-），聲=0

理

垂直條件a-L6=a4)=0。+工2%=°。

設(shè)布=￡,配從，那么向量正叫做。與坂的和，即

a+b=AB+BC=AC向量加法的三角形法則可推廣至

法則〃+]=(%+%2，丁1+%)。

加法多個(gè)向量相加：AB+BC+CD+-+PQ+QjR=AR,

但這時(shí)必須“首尾相連二

運(yùn)算

交換律=結(jié)合律

算律

各(a+B)+c=a+(B+0)

種

運(yùn)用“三角形法則”：設(shè)而=￡,配=瓦那4

算

減法

^AB-AC=CA,由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終

法則。一石=（%|一工2，乂一必）

點(diǎn)。

運(yùn)算

注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。

數(shù)乘概念為向量，4〉0與￡方向相同，Aa=(2x,Ay)

運(yùn)算/1<0與￡方向相反，卜,=囚@。

分配律=(Aju)a,(2+ju)a=Aa+4a,與數(shù)乘運(yùn)算有同樣的坐標(biāo)

算律

表7K。

分配律4(〃+b)=Aa+Ab

概念

=cos<a,h>a^=x]x2+y[y2。

數(shù)量

主要

積運(yùn)a*。=pz|>|a,b|<|a||b|\a\=ylx2+y2,a2=\a\1=x2+y2

性質(zhì)

算

算律

=tfa,分配律(〃++/??<?,(4Q)?/?=a^(Ab)=o

向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、

算律兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向

量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)a(b?c^(a?b)c

向幾何表示法用帶箭頭的有向線段表示，如通，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；

量

符號(hào)表示法用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a,b,公等；

的

在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與X軸、)，軸方向相同的兩個(gè)單位向量，，7為基

表

示底，則平面內(nèi)的任一向量〃可表示為￡=x：+yj=(x,y),稱(x,y)為向量”的坐標(biāo)，a

坐標(biāo)表示法

方=(x,y)叫做向量)的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量

法的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。

三角形的五個(gè)“心”

重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線

相交于一點(diǎn).

垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交

一點(diǎn).

二.平面向量高考真題細(xì)究：

1.(2021浙江高考)已知非零向量則是aa=b"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

“*C=0,所以成

如圖所示，詼=昆麗=瓦反="麗=6-5,當(dāng)A3LOC時(shí)，在5與3垂直,

立,此時(shí)六5,

不是1=5的充分條件，

/rr、rrr一_

\a=bH'f,a—b—0>??（Q_〃）?c=O?c=O,「.成立，

■'o?c?8?c是萬=B的必要條件，

綜上，"a.c'》w是a^>b的必要不充分條件

故選：B.

2.（2021全國新高考1卷）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)R（cosa,sina）,（cos/?,-sin,6(cos(a+/?),sin(a+/)),

A（l,0）,則（）

A.同=|西|B.|麗卜畫

C.OAOP}=O^O^D.OAOP^OB,O^

【答案】AC

【解析】

【分析】

A、B寫出西,西、APX,A舄的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)

枇積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】

2222

A:西=(cosa,Sina),OP2=(cos力，-sin/7),所以|西|=Vcosa+sina=1,|OR,|=7(cos/?)+(-sin^)=1,故

I西H?I,正確；

B:AF^=(cosa-1,sina),AR,=(cos/7-l,-siny?),所以

|A,|=J(cosa-l)。+sin。a=5/cos2?-2cos<z+l+sin2a=12(1-cosa)=^4sin2y=2|siny|,同理

|AR,|=V(cos/7-l)2+sin2/(=2|sin^|,故|斯|,|福|不一定相等，錯(cuò)誤；

C:由題意得：OA-OF^=lxcos(6z+y0)+Oxsin(cr+yff)=cos(of4-/7),OROg=cosacos尸+sina.(—sin/7)=cos(a+y?),

正確；

D:由題意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,OP2=cosJ3xcos(a+/?)+(-sinp)xsin(a+p)

=cos(p+(a+p))=cos(a+20),故一般來說次.函/嗎.函故錯(cuò)誤;

故選：AC

3.(2021北京高考)已知向量萬,5忑在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

(a+b)-c=________；a-b=________?

r??i?i

iiiiii

iiiiii

i________i______i_____2_____1A___f_____i1

_；：]c；

卜----T------------------4---------?------------1

11

1

r---------1~i—---------r----------1

iC_z???

IiIIII

_____i_____________L______i

【答案】03

【解析】

【分析】

根據(jù)坐標(biāo)求出a+5,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】

以乙6交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所不：

則a=(2,l),5=(2,T),/=(0,l),

...萬+5=(4,0),.?.(萬+5)-e=4x0+0xl=0,

.，.a%=2x2+lx(-l)=3.

故答案為：0;3.

4.(2021全國甲卷)已知向量a=(3,1),石=(l,0),c=a+Z:5.1c,貝必=

【答案】一?.

【解析】

【分析】

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量5的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量:積為零求得k的值

【詳解】

T〃=（3,1）,5=（1,0）,...乙=M+妨=（3+2,1）,

?.?d±c,.-.a-c=3（3+）t）+lxl=0,解得1

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向吊:的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向3/=（X，X）國=（々,%）垂直的充分

必要條件是其數(shù)儲(chǔ)積%々+丫跖=0.

5.（2021全國乙卷）已知向量￡=。,3）3=（3,4）,若@-篇）_1_入則;1=.

3

【答案】-

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量數(shù)吊積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】

因?yàn)椤暌换?（1,3）—2（3,4）=（1-32,3—44）,所以由D-匈幣可得，

3（l-3A）+4（3-4A）=0,解得;1咚

3

故答案為：j.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是熟記平面向組數(shù)帚積的坐標(biāo)表示，設(shè)z=（芭,x）3=（々,上），

0±5<=>0-5=0<=>^%,+^^2=0,注意與平面向量'平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

6.（2021全國新高考2卷）已知向量a+石+c=。，忖=1,W=k|=2,a-b+b-c+c-a=-

【答案】

【解析】

【分析】

由已知可得G+B+")=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】

由已知可得Ra+b+cj=a+b+c2+2^a-b+b-c+c-a^=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

因此，ab+bc+ca=--

9

故答案為:2-

7.(2021浙江高考)已知平面向量￡,反￡,運(yùn)工。)滿足,卜1帆=2,44=0,(4-。6=0.記向量2在工坂方向上的投影

分別為X,y,1一￡在之方向上的投影為z,則J+V+z?的最小值為.

2

【答案】j

【解析】

【分析】

設(shè)1=(1,0),5=(0,2)忑=(〃?.〃)，由平面向量的知識(shí)可得2x+y-Kz=2,再結(jié)合柯西不等式即可得解.

【詳解】

由題意，設(shè)1=(1,0),5=(0,2),1=(,",〃)，

則()-石>"=機(jī)-2〃=0,即加=2”,

又向量2在￡,加方向上的投影分別為X,y,所以2=(x,y),

一,一--,J...,,(d-a)cm(x-\)+ny2x-2+y

所以d—afl-c方向上的投z=——=/,,-=7=,

|c|ylnr+n2±j5

即2x+y+>/5z=2,

所以d+y2+z2=《22+l2+(+^y(x2+y2+z2)>-^(2x+y+V5z)2=|,

2

x=—

5

1_y_z

當(dāng)且僅當(dāng)《21即<y=-時(shí)，等號(hào)成立,

2X+>?+A/5Z=2

石

Z=TT

2

所以f+V+z2的最小值為:

2

故答案為：

三.平面向量典型例題：

類型一：向量的線性運(yùn)算

例題L在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，EB=2AE,而=2而，EF與AD交于G,AG=AAD,則2=()

17

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知可得而=|荏+：而，根據(jù)瓦G,尸共線可設(shè)〃通+(>〃)而=而，〃eR,結(jié)合已知及平面向量的基本

定理列方程組求參數(shù)值.

【詳解】

___1______3__,3__,_______

由題設(shè)，=—(AB+AC)=—AE+—AF,又〃AE+(1—=AG,//eRi.AG=AAD,

4

4=—/I4=

所以〃荏+(1—4)而=通+=2而，即2解得，9

24.32

3

故選：B.

uuu、

例題2.在AMC中，。為AC的中點(diǎn)，E為BC上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn),DE=()

2___7__.

A.-AB+-ACB.-AB--AC

3636

C.--AB+-ACD.--AB--AC

6666

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量加法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為荏和恁即可.

【詳解】

DE=DC+CE=-AC+-CB=-AC+-(CA+AB]=-AB--AC.

2323、>36

故選：B

例題3.已知平面向量入B不共線，AB=4a+6b,BC^-a+3b,CD=+3b,則()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件逐項(xiàng)計(jì)算對(duì)應(yīng)三點(diǎn)確定的某兩個(gè)向量，再判斷是否共線作答.

【詳解】

平面向量入B不共線，AB=4a+6h,BC=-a+3h,CD=a+3b,

對(duì)于A,BD=BC+CD=-a+3b+(a+3b)=6b,與■血不共線，A不正確;

對(duì)于B,因而=42+6mBC=-a+3b,則通與及不共線，B不正確;

對(duì)于c,因阮=4+3幾CD=a+3b,則能與而不共線，c不正確;

對(duì)于D,AC=AB+BC=4a+6h+(-a+3b)=3a+9b=3CD,BPAC//CD,

乂線段AC與C。有公共點(diǎn)C,則A,C,。三點(diǎn)共線，D正確.

故選：D

變式1.已知四邊形A8C。的對(duì)角線交于點(diǎn)O,E為A。的中點(diǎn)，若通=2而+〃而，則()

A.—B.-C.一D.1

234

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理可求幾+〃的值.

【詳解】

由已知得恁祈，AE=AAB+^iAD,

故荷=2義通+2〃而，又B,O,D共線,

故22+2〃=1,所以;l+〃=g.

故選：A.

變式2.已知0是AA3C內(nèi)一點(diǎn)，滿足而+］，，則山小5加=()

A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算由條件衣=1（而+g而），可得出而=g（麗+/），然后即可得到。是的重

心，從而可得出答案.

【詳解】

g國-碉，邯+碼

所以。是AABC的重心,所以：S“》c=3：1.

故選：A.

變式3.如圖，等腰梯形ABC￡＞中，AB=BC=CD=3AD,點(diǎn)E為線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的

中點(diǎn)，則走=（）

7A

2—.1—.2—?1

A.——BA+—BCB.-5A+一-?BC

31831f

C.-BA+-BCD.-BA---BC

31831!i

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面向111：的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.

【詳解】

由題可得：FE=FC+CE

竹心+1而

=^BC+^(CB+BA+AD)

=輛+|卜心麗+國)

=2而+_L而.

318

故選：B.

___2____

變式4.如圖，在AABM中，BM=3CM,AN=^AM,若而=2而+〃正，則%+幺=()

2

D.

7

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量的線性運(yùn)算把麗用麗，衣表示出來后可得結(jié)論.

【詳解】

AN=-AM=-(AB+BM']=-AB+-BM

77、>77

2__73__2__3_______1__3__

=-AB+-x-BC=-AB+-(BA+AC)=——AB+-AC,

7727777

13132

所以丸=_于〃=亍,^+A=--+-=y,

故選：D

類型二：向量坐標(biāo)表示

例題1.已知向量￡=(3,-2),U(/n,l),若￡〃(￡一涕)，則加=()

1OQ

A.—B.—C.-D.—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向吊:的坐標(biāo)運(yùn)算求出2-辦=(3-2機(jī)-4),利用平行向腦的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)?=(3,-2),b=(m,l),

所以￡-%=(3-2M,T),

因?yàn)椤辍?￡-2到，

所以3x(Y)+2(3-2m)=0,解得m=

故選：D

例題2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三點(diǎn)共線，則y=()

A.13B.—13

C.9D.-9

【答案】D

【解析】

【分析】

寫出向目的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，解得答案.

【詳解】

由題意可得：AB=(-8,8),AC=(3,y+6),

因?yàn)锳(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三點(diǎn)共線,

則而〃亞,-8fy+6)-24=0,.-.y=-9,

故選：D.

例題3.已知a=(x,y),^=(x-l,9)(x>0,y>0),若貝!|x+y的最小值為()

A.6B.9C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】

91

由題可得一+—=1,然后利用“乘1法”即得.

【詳解】

a=(x,y),彼=(x-l⑼(x>0,y>0),a//b,

..9x-y(x-l)-0,

91

..9x+y=xy,即一+—=1,

>%

x+y=(x+^)f—+-=10+—+^->10+2/—-—=16,

xjyx\yx

9尤v

當(dāng)且僅當(dāng)一=2，即x=4,y=12時(shí)取等號(hào)，

所以x+y的最小值為為16.

故選：c.

變式1.已知向量￡=(x,1),坂=(2,y),c=(l,-2),且￡//6,blc,則囚一方卜()

A.3B.VioC.VilD.2石

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向儲(chǔ)共線和向量垂直的坐標(biāo)表示求出X,y,再求出正-萬的坐標(biāo)計(jì)算作答.

【詳解】

|n]ii(a=(x,l),S=(2,y),c=(l,-2),由￡//￡得：一2x=l,即x=-g,

由得：2-2y=0,即y=l,于是得￡=(一:1),力=(2,1),2?-^=(-3,1),

所以|2￡_q=J(_3)2+『=布.

故選：B

變式2.已知向量￡=(2,3)出=(3,-1),"=(-2,2),若@一向〃￡,則4=()

A.3B.-3C.-D.--

22

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量平行列方程，由此求得h

【詳解】

a-kb=(2-3k,3+k),故由(二癌)/不，得(2-3Z)x2=(3+A)x(-2)n%=|.

故選：C

變式3.已知向量1=(0,4),加=(2,6),c=(x,2),若伍+切〃"，則》=()

A.—B.—C.—D.1

234

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出a+2b的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案―

【詳解】

T->A->T1

由題意，.+28=(4,16),因?yàn)閇〃+2bJ//c,所以4x2-16x=0nx=].

故選：A.

類型三：向量數(shù)量積

例題1.設(shè)，we/?,向量￡=(〃?,1)石=(4,加),2=(b2),則a//h是打工的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共線與垂直的坐標(biāo)表示，求得力的值，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，向吊4=(m,1)出=(4,加)忑=(1,一2),

因?yàn)?〃3,可得〃/一4=0,所以加=±2;

又因?yàn)椤?，入可得利?=0,所以機(jī)=2,

則Z/4是￡，不的必要不充分條件.

故選：B.

例題2.已知向量入分夾角為60。，且|￡|=1,|2a-^|=V19,則|B|=()

A.5B.372C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由兩邊平方，利用平面向量數(shù)小積的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于慟的方程，即可解得可的值.

【詳解】

,?響量入B夾角為60。,且|Z|=1,\2a-b\=^9,

??467-4a-b+b=19

即a-2*15=0,

解得|同=5或忖=-3（舍去）

故選：A.

例題3.已知向量5的夾角為120。，同=4,忖=1,則萬在B方向上的投影為（）

A.-2B.4C.-1D.-且

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的投影公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：因?yàn)橄蚪怼暝贐方向上的投影為向3口,￡）,

所以］在5方向上的投影為向cosG，S）=4xcosI2（r=-2.

故選：A

變式L已知，=。,加），石=（2-〃「1）,若行與5垂直，則實(shí)數(shù)m的取值為（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量垂直的性質(zhì)得出實(shí)數(shù)m的取值.

【詳解】

因?yàn)?與1垂直,所以「（21）=0,所以4=1.

故選：B

變式2.若向量%b,滿足同=2,（萬+2楊y=6,則5在日方向上的投影為（）

A.1B.-1C.--D.g

22

【答案】D

【解析】

【分析】

利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得無5=1,再利用向量投影的概念即得.

【詳解】

|a|=2,0+25）3=6,

.a2+2ab=6,可得。石=1,

5在a方向上的投影為爺j-=彳

2

故選：D.

變式3.已知向量2=（3,-2）,6=（八1）,若打入貝日-3彼=（）

A.（0,5）B.（5,1）

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)兩向量垂直計(jì)算出參數(shù)m的值，再根據(jù)向量的計(jì)算規(guī)則求解即可得出結(jié)果.

【詳解】

2

因?yàn)椤阓1_人所以3〃?一2=0,解得m=§,

所以￡_3^=（3,-2）-3（|,1）=（1,-5）.

故選：C.

變式4.已知￡、B是單位向量，且滿足|￡叫-2￡石=0,則Z與坂的夾角為（）

A.-B.巴或nC.-D.4或兀

6633

【答案】C

【解析】

【分析】

由歸-q-2￡石=0,得兩邊平方化簡可求得答案

【詳解】

因?yàn)樾》质菃挝幌蛄?，由|￡-4-2￡4=0,

可得2￡石=歸-4，則2出20,

所以4（夕?=a-2a-b+b=2-2a-b,

設(shè)￡與加的夾角為。，得4cos2e+2cos?！?=0,

解得cos。；或COS。=一1,

?'a-b>0,cos6^>0,

八1

cos0=—,

2

X'.'0e[O,7t],-=y

故選：C.

類型四：解決向量問題坐標(biāo)法

例題1.在RQABC中，BC=1,斜邊AB=2,點(diǎn)P滿足那=2那，則斤.⑸=()

A.--B.；C.--D.B

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

如圖建立直角坐標(biāo)系，則4(0,石),8(1,O),C(O,O),然后由罰=2說求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求出前?可的值

【詳解】

如圖建立直角坐標(biāo)系，則4(0,石),8(l,0),C(0,0),

所以通=(1,-指)，

設(shè)尸(x,y),則定=(-x,-y),

因?yàn)锳B=2PC,所以(1,—右)=2(-x,—y),解得x=-g,y=,

所以「卜臼

---------131

所以「0叫1廣5

故選：A

例題2.已知△的(7是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)DE分別是邊ABIC的中點(diǎn)，且麗=3赤，則赤?團(tuán)的值為

()

A.B.—C.1D.—8

1212

【答案】B

【解析】

【分析】

把△ABC放在直角坐標(biāo)系中，可以根據(jù)題干中的條件寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用瓦=39，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再

求出標(biāo)?冊(cè)的值即可.

【詳解】

把△A8C如下圖放在直角坐標(biāo)系中，

由于△ABC的邊長為1,故B(0,0),C(l,0),4(；,當(dāng))，：點(diǎn)QE分別是邊A&BC的中點(diǎn)，:.D，*。，設(shè)

F(x,y),DE=(L-^EF=(x_Ly),5￡=3EF

442

荏=心,-坐)，相=(1,0),而?阮=4.

121212

故選：B.

例題3.已知直角梯形ABCD,A=90°,A8//C￡>,A。=DC=；A8=1,P是BC邊上的一點(diǎn)，則而?定的取值范圍為

()

A.[-1,1]B.[0,2]C,[—2,2]D.[—2,0]

【答案】D

【解析】

【分析】

法一：設(shè)麗=4而(0這/W1),把而與前表示為通與而的線性關(guān)系，把衣.無表示成關(guān)于4的解析式，求

解制取值范圍；法二：建立坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q?元的范圍

【詳解】

法一：因?yàn)镻在8c上，不妨設(shè)旃=4而，

則定=(1一乃阮(其中0W/W1)

所以福?正=(而+而)?正

^ABPC+BPPC=([-A)ABBC+ABCPC

^(\-A)ABBC+ABC(\-A)BC

=(1-/1)X2X5/2XCOS135O+/1(1-2)X(>/2)2

=—2(1—A)+24(1—A)

=-222+4A-2=-2(2-l)2,

因?yàn)镺W/lWl,所以—2U-l)2e[-2,0]

法二：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則A(O,O),B(2,0),

0(0,1),C(l,l),其中2ABC=45°,設(shè)點(diǎn)租)，

其中OWmWl,AP=(\+nu\-m),PC=[-m,ni)

AP-PC=-m(\+ni)+m(\-m)=-2m2

0</n<1

AP-PC-2m1G[-2,0]

故選：D.

變式1.已知正AMC的邊長為2,A,B分別在x軸,y軸的正半軸（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則亞.麗的最大值是（）

A.73B.3C.2D.—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)440=。，根據(jù)正AABC的邊長為2,A,B分別在x軸，y軸的正半軸（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，得到點(diǎn)A點(diǎn)C的坐

標(biāo)，再利用數(shù)量積坐標(biāo)公式結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)

因?yàn)檎鼳ABC的邊長為2,A,B分別在X軸，y軸的正半軸（含原點(diǎn)）上滑動(dòng),

^l^^CAx=--0,ZCBy=-+0,

36

則OA=2cos夕05=2sin。，

所以A（2cos6,0）,C（2cose+2cos（券一6）,2sin0+2cos，

所以麗灰=2cos/2cos<9+2cos仔,

=2cos20+2^3sinOcos0,

=6sin28+cos2e+l,

=2sin（26+7）+l,

因?yàn)?。€0,1,

所以26+\e71171

o1,'~6

當(dāng)26+g=g,即e=g時(shí)，

62o

反?礪取得最大值是3,

故選：B

類型五：解決向量問題基底向量法

例題1.在矩形ABCD中AB=3,AD=叢,DC=4MC,而=2宓且而?麗=2,則宿.麗=（）

2319

A.—B.5C.—D.4

44

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出圖形，根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)量積運(yùn)算求出答案即可.

【詳解】

如圖，因?yàn)锳B_LAD,所以而?麗=麗?（而+麗）=而?而=4而°=34=2,

即/1=§.乂因?yàn)榉?4雨，所以,府=人力+^。。，

故碗.麗=（標(biāo)-；①）.（反-g配）=（南-g和=\x9-gx（可=y.

故選：A

例題2.已知A(3,0),B(0,2),點(diǎn)尸為圓(x-3y+(y-2)2=l上任意一點(diǎn)，設(shè)。A=%OX+〃。月(4〃eR),則92+84

的最大值為()

A.12B.17C.22D.27

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可設(shè)P(3+cosO,2+sinO),再根據(jù)麗=2物+〃麗，求出4處再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

解：由點(diǎn)尸為圓(X-3)2+(y-2)2=1上任意一點(diǎn),

可設(shè)P(3+cos6,2+sin6>),

則方=(3+cos6?,2+sin。),次=(3,0),麗=(0,2),

由麗=2礪+〃麗,得(3+cos6,2+sin6)=(342M,

3+cos0

3+cosO3入3

所以,則

2+sin8'

24-sinO2從

2

a

則94+8〃=9+3cos6+8+4sine=5sin(e+o)+17,其中tan°二j,

所以當(dāng)sin(。+e)=1時(shí)，94+8〃取得最大值為22.

故選：C.

例題3.在AABC中，麗.祇=9,48=3,點(diǎn)E滿足恁=2皮，貝U而.龐=()

A.-6B.-3C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題中所給的條件利用相應(yīng)公式求得結(jié)果.

【詳解】

—2__

△ABC中，AE=2EC,所以=

夠替福函.她"夙(|灰-麗=1癡心而

故選：B.

變式1.已知42,3),以原點(diǎn)O為圓心的單位圓/+丁=1上的兩點(diǎn)B和C,滿足AO=AAB+(\-A)AC，則福./=

()

A.24B.12C.13D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

由條件而=2通+(1-2)/可得B,O,C三點(diǎn)共線，結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得而?衣=(而+而)(而+反)，

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律化簡求值.

【詳解】

AO=AAB+(1-A)AC,

AO-AC=A(AB-AC),

CO=ACB,

B,O,C三點(diǎn)共線，又點(diǎn)B和C在以原點(diǎn)。為圓心的圓上，

。為B,C的中點(diǎn)，OC=-OB

ABAC=(Ad+OB)(Ad+OC)=(Ad+OB)(Ad-OB),

AB-AC=AO2-OB2,又無。=(-2,—3),|西=1,

ABAC=12,

故選：B.

變式2.如圖所示,在等腰梯形MS中,皿/5C,E為線段的的中點(diǎn)，加4七g=2仞=4,WC=6°,

A.-12B.-10C.-8D.-6

【答案】B

【解析】

【分析】

求出AB=8=2,再由喬?屈=（m+*麗）（g麗-而）

利用數(shù)呈積的定義計(jì)算即可求解.

【詳解】

在等腰梯形ABC。中，分別過點(diǎn)A,。作AM,ON垂」'［于BC［：點(diǎn)M,N,

則MV=AZ>=2,BM=CN=1,

因?yàn)镹48c=60",所以/W=C￡>=2,

__1__

因?yàn)镋為線段的的中點(diǎn)，。尸=/C,

所以麗?瓦=（而而而—冊(cè)）=g麗?瓦—比?+|麗?麗麗?而

]24

=—x2x4xcos60-42+—x2x2xcos60——x2x4xcosl20

255

=2-16+-+—=-10

55

故選：B.

變式3.已知△他C中，AB=3,AC=4,ABAC=6,。為"BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且麗+2而+3近=。，則荷.而

的值為（）

A.-4B.-IC.1D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

取而、沅為基底，把而，心都用而、正表示，再計(jì)算XO'BG

【詳解】

因?yàn)榇?2礪+3歷=0,則。,+2（。