湖北省潛江市高石碑鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

2021-2022學(xué)年度下學(xué)期八年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分,,只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

y/m+1

1.要使式子加一1有意義，則的取值范圍是（)

A.加之一1且加wlB.m^lC.m>\D.m>-\

2.下列根式中，與G是同類二次根式的是（）

A.收B.V03c.-D.

3.以下列各組數(shù)為線段長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.1,2,y[5B.3,4,5C.1,52D.6,8,12

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=5,8c=8,以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AQ于點(diǎn)P,

交CC于點(diǎn)Q,分別以尸、Q為圓心，大于gPQ為半徑畫弧交于點(diǎn)連接QM并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,

連接AE,恰好有AEJ_BC,則AE的長(zhǎng)為（）

B.4C.5D.—

8

5.已知菱形ABCD的面積是12cm2,對(duì)角線AC=4cm,則菱形的邊長(zhǎng)是（）

A.3cmB.-713cmC.5cmD.6cm

6.在下列命題中，正確的是（）

A.一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形

B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形7.觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形

的兩直角邊分別為a,b,a>b,根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（）

A.a(a-b)=a'-abB.(a+Z?)(a—Z?)——ci~—h~

C.(?-b)2=a2-lab+b'D.(?+b)2=a2+lab+b'

8.如圖，已知四邊形ABC。中，R,P分別是BC,CD上的點(diǎn)，E,尸分別是AP,RP的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸在

CD上從點(diǎn)C向點(diǎn)。移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論成立的是（）

A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大

B.線段EF的長(zhǎng)逐漸變小

C.線段EF長(zhǎng)不變

D.線段E尸的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)

9.如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E,使DE=5,折痕為PQ,則

PQ的長(zhǎng)為（）

A.12B.13

10.如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形A8CQ,Q為CQ上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交80于點(diǎn)M,過M作MNLAQ交BC于

點(diǎn)N,作NPLBQ于點(diǎn)P,連接NQ,下列結(jié)論：①AM=MN；②MP=^BD；③BN+DQ=NQ；④

為定值，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

II.若J赤是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值為

12.如圖，在AABC中，ZACB^90°，M，N分別是AB,AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)。，使

CD=-BD,連接DW，DN,MN.若AB=6,則的長(zhǎng)為

一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2,A和B是這

個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，4點(diǎn)有?只螞蟻，想到8點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路

程是.

15.AABC中，AB=13,AC=15,高AO=12,則BC的長(zhǎng)為

16.如圖，NAOB=30。，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1,ON=3,點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA

明、演算步驟或推理過程）

17.計(jì)算

/rfrr1)VTs—Vs

(2)V2x+--―產(chǎn)J

<N2J\j2

18.己知光=6一2,求（9+456）/一（6+2）工+4的值.

19.如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，A3是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方

形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺，②保留必要的畫圖痕跡.

(1)在圖1中畫出一個(gè)45。角，使點(diǎn)A或點(diǎn)8是這個(gè)角的頂

圖1圖2

點(diǎn)，且4B為這個(gè)角的一邊；

(2)在圖2中畫出線段AB的垂直平分線.

20如圖，。為N8AC內(nèi)一點(diǎn)，E、F、G、”分別為AB,AC,OC,OB的中點(diǎn).

(1)求證:四邊形EFG”為平行四邊形;

(2)當(dāng)4B=AC,A。平分/BAC時(shí);求證：四邊形EFGH為矩形.

21.如圖，矩形ABCO中，48=8,4。=6,點(diǎn)。是對(duì)角線BO的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交AB、CD邊

于點(diǎn)E、F.

(1)求證:四邊形。E8F是平行四邊形;

(2)當(dāng)Z)E=。尸時(shí)，求EF的長(zhǎng).

22.如圖，A市氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A市正東方向300千米的8處，以10J7千米/時(shí)的速度向北偏西

60°的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

(1)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明：

(2)如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響時(shí)間有多長(zhǎng)？

北

23.問題：如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=

?東

2,PB=75，PC=1，求NBPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是：將ABPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖②)，連接PP',可得

△P'PB是等邊三角形，而APP'A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證)，可得NAP，B

=°,所以/BPC=NAP'B=°,還可證得4ABP是直角三角形，進(jìn)而求出等邊三角形

ABC的邊長(zhǎng)為，問題得到解決.

(1)根據(jù)李明同學(xué)思路填空：ZAP'B=°,NBPC=NAP'B=°,等邊三角形

ABC的邊長(zhǎng)為.

(2)探究并解決下列問題：如圖③，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=6,PB=O,PC=1.求

ZBPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做

(1)概念理

圖1圖2

解：如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由;

(2)性質(zhì)探究：如圖2,四邊形ABCQ的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,ACLBO.證明：

AB2+CD2=AD2+BC2^

（3）解決問題：如圖3,分別以R/A4CB的直角邊4c和斜邊AB為邊向外作正方形4CFG和正方形

ABDE,連接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).

2021-2022學(xué)年度下學(xué)期八年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

y/m+1

1.要使式子加一1有意義，則的取值范圍是（）

A.加2—1且加HlB.m^lC.m>\D.m>-\

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)使分式和二次根式有意義的條件即可解答.

m+1>0

【詳解】根據(jù)題意可知：\,c,

加一1

fm>—1

??V.

機(jī)。1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查使分式和二次根式有意義的條件.掌握分母不能為0和被開方數(shù)大于等于0是解答本題

的關(guān)鍵.

2.下列根式中，與也是同類二次根式的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】先把每個(gè)選項(xiàng)中的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再與g比較被開方數(shù)，逐一判斷可得答案.同

類二次根式的定義是把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這兒個(gè)二次根式叫做

同類二次根式.

【詳解】解：A.78=272,與G不是同類二次根式；

B.眉=普，與6不是同類二次根式；C.看=中，與G不是同類二次根式；

D.疝=2百，與G是同類二次根式.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類二次根式，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式的定

義.

3.以下列各組數(shù)為線段長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.1,2,75B.3,4,5C.1,白，2D.6,8,12

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：口+22=5=（不）2,A能構(gòu)成直角三角形；

32+42=25=52,B能構(gòu)成直角三角形；

12+（6）2=4=22,C能構(gòu)成直角三角形；

62+82=100^122,D不能構(gòu)成直角三角形；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握定理內(nèi)容并準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=5,8C=8,以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交40于點(diǎn)P,

交CD于點(diǎn)。，分別以尸、。為圓心，大于gPQ為半徑畫弧交于點(diǎn)M,連接。M并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,

連接AE,恰好有AEL8C,則AE的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【解析】【分析】由題意可知NAZ）￡=NC￡>￡，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可證明NCED=NCDE,即

CE=CD=5,即可求出B￡=3,最后在MAABE中，利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng).

【詳解】根據(jù)作圖可知OE為的角平分線，即NAO￡=NC￡>￡,

???四邊形ABCQ為平行四邊形，

，AD//BC,

/.ZADE=NCED,

：./CED=/CDE,

：.CE=CD=5,

：.BE=BC—CE=8—5=3,

...在HAABE中，AE^ylAB2-BE2=752-32=4-

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定

理.理解題意，判斷出OE為NADC的角平分線是解答本題的關(guān)鍵.

5.已知菱形A8CO的面積是12cm2,對(duì)角線AC=4cm,則菱形的邊長(zhǎng)是（）

A.3cmB.-713cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)與菱形的面積求得。的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

對(duì)角線4c=4cm,

..。。=晝0,0。」4c=2,BD1AC,

22

?1--AC-=12,

2

:.BD=6,

二0。=3，在Rt^OCO中，CD=V22+32=V13"

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

6.在下列命題中，正確的是（）

A.一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形

B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，符合題意；

D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形和菱形及正方形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解本題的關(guān)鍵.

7.觀察“趙爽弦圖”(如圖)，若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a,b,根據(jù)圖中圖

形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式()

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2=a2+lab+b2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積可得問題的答案.

【詳解】標(biāo)記如下：

C

**S正方形PQMN-S正方形ABCD-4SRi&ABN?

(a-b)2=a2+b2-4x—ab

2

=a2-2ab+b2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是利用勾股定理的證明,可以完全平方公式進(jìn)行證明，掌握面積差得算式是解決此題

關(guān)鍵.

8.如圖，已知四邊形ABC。中，R,P分別是BC,C。上的點(diǎn)，E,B分別是AP,RP的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸在

C。上從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論成立的是（）

C.線段E尸的長(zhǎng)不變

D.線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)

【答案】C

【解析】

【分析】因?yàn)锳R的長(zhǎng)度不變，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，￡產(chǎn)的長(zhǎng)度也不變

【詳解】連接AR,E,尸分別是AP,RP的中點(diǎn).

二瓦7/AR,M=LA/?因?yàn)锳R的長(zhǎng)度不變,

2

，線段EF的長(zhǎng)不變

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，在解決與中位線定理有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，只要中位線所對(duì)應(yīng)的底邊不

變，則中位線的長(zhǎng)度也不變，掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E,使DE=5,折痕為PQ,則

PQ的長(zhǎng)為（）

A12B.13C.14D.15

【答案】B

【解析】

【詳解】過點(diǎn)P作PMLBC于點(diǎn)M,

D

由折疊得到PQ±AE,

，ZDAE+ZAPQ=90°,

又NDAE+NAED=90。，

；./AED=/APQ,

?；AD〃BC,

.\ZAPQ=ZPQM,

則NPQM=NAPQ=NAED,ZD=ZPMQ,PM=AD

/.△PQM^AADE

2【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，

.-.PQ=AE=752+12=13.

它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

10.如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形A8C￡>,。為CO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于氤M,過M作A。交8C于

點(diǎn)N,作NPLB力于點(diǎn)P,連接NQ,下列結(jié)論：①4M=MM②③BN+DQ=NQ；④

空上網(wǎng)為定值，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

BM

C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】如圖1，連接AC、AN,AC交BD于點(diǎn)H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得A,B,N,M四點(diǎn)共圓，進(jìn)而

可得NANM=NNAM=45°,于是可判斷①；由余角的性質(zhì)可得NPMN,從而可利用AAS證明

RdAHM"RtAMPN,可得MP=AH,再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可判斷②；如圖2,將△A。。繞點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°至△A8R,使AO和AB重合，連接AN,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和S4S可推得進(jìn)而可

得RN=QN,進(jìn)一步即可判斷③；如圖3,作于5,MWLBC于W,由題意易得四邊形SMWB是

正方形，進(jìn)一步即可推出AAMS絲Z\MWW,可得AS=NW,進(jìn)而得A8+BN=2BW,然后利用等腰直角三

角形的性質(zhì)即可判斷④，于是可得答案.

【詳解】解：如圖1,連接AC、AN,AC交BD于點(diǎn)H,

?..四邊形ABC。是正方形,

：.AC1BD,AC=BD,AH=CH,ZDBC=ZABD=45°,

'：ZAMN=ZABC=90°,

：.A,B,N,M四點(diǎn)共圓,

NNAM=ZDBC=45°,/ANM=/A8Q=45°,

ZANM=ZNAM=45°,

：.AM=MN,故①正確;

N

圖1

ZMAH+ZAMH=90°,ZPMN+ZAMH=90°,

；.NHAM=/PMN,

,；NAHM=NMPN=90。,AM=MN,

:.RtAAHM烏RtAMPN(A4S),

：.MP=AH=^AC=^BD,故②正確；

如圖2,將△A。。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△A8R,使AO和AB重合，連接4N,

則AR=AQ,NBAR=NDAQ,/A8R=/A￡)Q=90。，

:.R、B、N三點(diǎn)在同一直線上，

ZBAN+ZQAD=ZNAQ=45°,

：.NRAN=NQAN=45°,

又,：AN=AN,

：.i\RAN/叢QAN(SAS),

：.RN=QN,即BN+￡>Q=NQ,故③正確；

如圖3,作MS_LAB,垂足為S,作例W_L8C,垂足為W,

:點(diǎn)M是對(duì)角線8。上的點(diǎn)，

四邊形SMW8是正方形，有MS=MW=BS=8W,

,/ZAMN=ZSMW=90°,

：.ZAMS=ZNMW,

又,?ZASM=ZNWM=90°,

：./\AMS^/\NMW(ASA),J.AS^NW,

：.AB+BN=SB+BW=2BW,

'：BW：8M=1:五,

白AB+一BN=正2=及后，故④-正確.

【點(diǎn)睛】本題屬于正方形的綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì)和判定、四點(diǎn)共圓、

圓周角定理的推論、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性

強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.若J赤是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值為.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)”是正整數(shù)，則J而也是正整數(shù)，則20〃一定是一個(gè)完全平方數(shù)，首先把20〃分解因數(shù),

確定20〃是完全平方數(shù)時(shí)，正整數(shù)〃的最小值即可.

【詳解】解：???20〃=22x5〃，

，正整數(shù)〃的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，理解J而是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，NACB=90°,M,N分別是A5，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)8c至點(diǎn)。，使

CD=-BD,連接。DN,MN.若AB=6,則ON的長(zhǎng)為

3

【答案】3.

【解析】

【分析】連接CM，根據(jù)三角形中位線定理得到NM=，C6,肱V//BC,證明四邊形。CMN是平行四

2

邊形，得到。B=CM,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CA/==3,等量代換即可.

2

【詳解】連接CM,如圖所示：

:.NM=、CB,MNIIBC,

2

又CD'BD,

3

:.MN=CD,又肱V//BC,

四邊形DCMN是平行四邊形,

/.DN=CM,

VZACB=90°,M是AB的中點(diǎn),

CM=-AB=3,

2

/.DN=3,

故答案：3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形

的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，

A點(diǎn)有一只螞蟻，想到8點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是.

【解析】

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】解：如圖所示，

.?.螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).

設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x,

由勾股定理得：x2=202+[(2+3)X3]2=252,

解得：x=25.

故答案為25.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

和寬即可解答.

14.若tn-d"2ni+>=1，則m的取值范圍是

【答案】m>l

【解析】

【分析】把方程整理為折/二lp=m-l,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出不等式，然后求解即可.

【詳解】等式可化為—=m-l,所以，m-l>0,

解得m>l.

故答案為mNl.

r—[a（a>0]

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式性質(zhì)，/1

—

15.zkABC中，AB=13,AC=\5,高AD=12,則BC的長(zhǎng)為—.

【答案】14或4

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理可分別求得8。與C￡）的長(zhǎng)，從而不難求得BC的長(zhǎng).

【詳解】解：：為邊BC上的高，AB=13,AD=\2,AC=15,

???BD=J132—12z=5,8=而心透=9,

當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，BC=CD-BD=4.

當(dāng)在△ABC內(nèi)部時(shí)，B'C=CD+BD=14.

故答案為：14或4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的運(yùn)用能力,易錯(cuò)點(diǎn)為學(xué)生容易忽略

掉另外一種情況.

16.如圖，NAOB=30。，點(diǎn)M、N分別在邊OA、0B上，且OM=1,0N=3,點(diǎn)P、Q分別在邊OB、0A

【詳解】解：作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M，，N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N；連接兩對(duì)稱點(diǎn)MN,交OB、0A于P、

Q.此時(shí)MP+PQ+QN有最小值,

根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，MP+PQ4-QN=M1P+PQ+QN'=M'N',MN的長(zhǎng)度就是所求

的MP+PQ+QN的最小值.

分別連接OM，,ON；NN,OA=/AOB=30。，NM?B=NAOB=30。，所以NM'ON，=90。，所以三角形

MON'是直角三角形QM'=OM=1,ON'=ON=3,由勾股定理得MN為廂.

所以MP+PQ+QN的最小值是JI5.

故答案是：Vw.

三、解答題(本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

17.計(jì)算

⑴而娓「

(2)V2xfV2+^-^^.

IV2

【答案】(1)V6--

(2)2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，先化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再運(yùn)算即可;

(2)根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，先乘除后加減運(yùn)算即可求解.

【小問1詳解】

2"一孝一￥一遍,

【小問2詳解】

VTs—y/s

V2JV2

=3-1,

=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減乘除混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決此類

題的關(guān)鍵.

18.已知x=石一2,求(9+4班)/一(、后+2)》+4的值.

【答案】4

【解析】

【分析】將％=6-2代入，根據(jù)完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】解：把彳=石-2代入，

原式=(9+475)(75-2)2-(V5+2)(行-2)+4

=(9+475)(9-475)-1+4

=81-80+3

=4.

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法則，完全平方公式及平方差公式

是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，A8是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方

形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺，②保留必要的畫圖痕

（1）在圖1中畫出一個(gè)45。角，使點(diǎn)A或點(diǎn)8是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且4B為這個(gè)角的一邊;

（2）在圖2中畫出線段AB的垂直平分線.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題.

（2）根據(jù)正方形、長(zhǎng)方形的性質(zhì)對(duì)角線相等且互相平分，即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖所示，ZABC=45°.（43、AC是小長(zhǎng)方形的對(duì)角線）.

（2）線段AB的垂直平分線如圖所示，點(diǎn)〃是長(zhǎng)方形AFBE是對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)N是

正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.

20.如圖，。為NBAC內(nèi)一點(diǎn)，E、尸、G、H分別為AB,AC,OC,08的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形EFG/7為平行四邊形;

（2）當(dāng)AB=4C,AO平分/BAC時(shí)，求證：四邊形EFGH為矩形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理推知EH〃AO〃FG,EH=FG=1AO,則四邊形EFGH是平行四邊

形；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰AAEF的性質(zhì)推知：ZHEF=ZADE=90°,則四邊形EFGH為矩形.

【詳解】解：(1)是中位線，

J.EH//AO,EH=-AO.

2

同理，F(xiàn)G是AAC。的中位線，

J.FG//OA,FG^-AO.

2

：.EH//FG,EH=FG,

：.四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)設(shè)OA與E尸的交點(diǎn)為。，

?：AB=AC,E、尸分別為AB,AC的中點(diǎn),

：.AE^AF.

?；A。平分NBAC,

：.AD±EF.

'：EH//AD,

：.4HEF=/ADE=90°,

四邊形EFG”為矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理

等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線定理和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,點(diǎn)。是對(duì)角線BO的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB、CD邊

于點(diǎn)E、F.

(1)求證：四邊形。砂F是平行四邊形;

(2)當(dāng)。E=O尸時(shí)，求EF的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)EF=—.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A8〃C￡>,由平行線的性質(zhì)得到/￡>■?=/BE。，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到DF=BE,于是得到四邊形8EQF是平行四邊形；

(2)推出四邊形BEZW是菱形，得至1[DE=BE,EFLBD,OE=OF,設(shè)AE=x,則。E=8E=8-x根據(jù)勾股定

理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形ABC。是矩形,

.'.AB//CD,

；.NDFO=NBEO,

又因?yàn)镹DOF=NBOE,OD=OB,

.,.△DOF絲ABOE(ASA),

：.DF=BE,

又因?yàn)镈F〃BE,

四邊形BEQF是平行四邊形；

(2)解：?:DE=DF,四邊形8EQF是平行四邊形

...四邊形3EDF是菱形，

：.DE=BE,EFLBD,OE=OF,

設(shè)AE=x,則DE=BE=8-x

在RtZVIDE中，根據(jù)勾股定理，AE1+AD2=DE1

.\x2+62=(8-x)2,

7

解之得：X=-,

4

725

：.DE=S--=——

44

在RtZ\AB￡>中，根據(jù)勾股定理，有病百'=10,

1

AOD=-BD=5,

2

在RtZXOOE中，根據(jù)勾股定理，有DE2-0。2=0琛,

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練

掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，A市氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A市正東方向300千米的8處，以10J7千米/時(shí)的速度向北偏西

60°的B尸方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

(I)A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明;

(2)如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？

北

【答案】（1）會(huì).理由見解析；（2）A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為

”=1。小時(shí)

10V7

【解析】

【詳解】解：（1）會(huì).理由如下：如圖所示，過點(diǎn)A作于。,

在RQABO中，ZABD=30°,AB=300千米.

，AO=,A8=』X300=150(千米).

22

又150千米＜200千米,

；.A市會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響.

（2）設(shè)C點(diǎn)剛好受臺(tái)風(fēng)影響，E點(diǎn)剛好受臺(tái)風(fēng)影響，則AC=AE=200千米.

在中，由勾股定理得

CD=7AC2-A￡>2=A/2002-1502=5077（千米）-

...CE=2CD=100j7千米.

.??A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為"5g=10（小時(shí)）.

10V7

23.問題：如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=6，PC=1,求/BPC的度數(shù)和等邊

三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是：將aBPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖②），連接PP',可得

△P'PB是等邊三角形，而APP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），可得NAP，B

=°,所以NBPC=NAP'B=°,還可證得aABP是直角三角形，進(jìn)而求出等邊三角形

ABC的邊長(zhǎng)為，問題得到解決.

（1）根據(jù)李明同學(xué)的思路填空：NAP'B=°,ZBPC=ZAP,B=°,等邊三角形

ABC的邊長(zhǎng)為.

（2）探究并解決下列問題：如圖③，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=JLPB=?,PC=1.求

ZBPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

【答案】（1）ZAP/B=150°,ZBPC=

/AP'B=150°,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為J7；（2）NBPC=135°,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為行.

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出APf=CP=l,BP,=BP=^,ZPBC=ZP,BA,NAP，B=NBPC,求出NABP，+NABP=60。,

得到等邊△BPP，，推出PP，=6,ZBPT=60°,求出NAP，P=90。即可求出NBPC；過點(diǎn)B作BM_LAP\交AP，

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,由NMP，B=30。，求出BM=也，P'M=-,根據(jù)勾股定理即可求出答案；

22

(2)求出/BEP=g(180°-90°)=45°,根據(jù)勾股定理的逆定理求出NAP，P=90。，推出

ZBPC=ZAEB=90°+45°=135°；過點(diǎn)B作BF_LAE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求出FE=BF=1,AF=2,關(guān)鍵

勾股定理即可求出AB.

【詳解】(1):等邊AABC,

.../ABC=60。，

將ABPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得出AABP，，

.*.AP,=CP=1,BP，=BP=5ZPBC=ZP,BA,NAP，B=NBPC,

ZPBC+ZABP=ZABC=60°,

/ABP'+NABP=NABC=60°,

...△BPP，是等邊三角形，

APP'=y/j,ZBPT=60°,

?；AP'=1,AP=2,

.,.AP，2+PP，2=AP2,

ZAP'P=90°,

ZBPC=ZAP,B=90°+60°=150°,

過點(diǎn)B作BM±AP\交AP，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

.??/MP'B=30°,BM--,

2

3

由勾股定理得：P，M=二,

2