江西省贛州市信豐縣信豐2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.二項(xiàng)式（土一。〕展開式中，，項(xiàng)的系數(shù)為（）

\2x）x

945189212835

A.-----B.-----C.---D.

1632648

2.如圖所示點(diǎn)尸是拋物線＞2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、3分別在拋物線V=8尢及圓/+y2一4》-12=0的實(shí)線部分上

運(yùn)動(dòng)，且A3總是平行于x軸，則的周長的取值范圍是（）

A.（6,10）B.（8,12）C.[6,8]D.[8,⑵

3.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績（百分制）的莖葉圖如圖所示.

甲乙

69

6278

620878

0926

①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；

②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；

③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；

④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.

以上說法正確的是（）

A.③④B.①②C.②④D.①③④

4.已知平面向量滿足,且（、反￡-初_1_幾則所夾的銳角為（）

71Tt冗

A.—B.—C.—D.0

643

5.如圖，圓。是邊長為2G的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與8C邊相切于點(diǎn)。，點(diǎn)”為圓上任意一點(diǎn),

麗=》而+y麗*/€1<）,則2%+丁的最大值為（）

A.72B.石C.2D.272

6.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法箱誤的是（）

甲乙

9724

228819

13969

A.甲得分的平均數(shù)比乙大B.甲得分的極差比乙大

C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位數(shù)和乙相等

7.設(shè)集合M={x[l<x<2},N={HX<.a},若McN=M,則"的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,l]C.（2,+oo）D.[2,+oo）

8,已知數(shù)列{q}的通項(xiàng)公式是《,=/sin]2〃+1）,

---711,貝Uq+。2+。3+?一+%2=（）

A.0B.55C.66D.78

14

9.公比為2的等比數(shù)列{《,}中存在兩項(xiàng)金,，滿足〃.心〃=32〃廣0，則1—的最小值為（）

mn

C.D.

TI3n3

10.已知aw,tan（￡z-7t）=--,貝！Jsina+cosa等于（）.

5'萬4

217

A.C.-D.——

555

x-1）工

sin1<<3

11.已知函數(shù)〃x）=,2',若函數(shù)/（X）的極大值點(diǎn)從小到大依次記為％;4?%，并記相應(yīng)的

2〃x-2）,3!<x<100

極大值為偽也,？bn,則￡（《+〃）的值為（

/=!

A.25°+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

12.根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析，設(shè)v=（x-4）2,利用最小二乘法，得

到線性回歸方程為力=-0.5葉2,則變量y的最大值的估計(jì)值是（）

A.eB.e2C.In2D.2ln2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知f>0,記/⑺=［（1—。：2%+。；4%2一或8丁+...一。：128『+以256?。┕?，則/⑺的展開式中各項(xiàng)系數(shù)

和為.

14.3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng).甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券，兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是

15.已知tan16+aJ=3,貝！Jtan〃=,cos^2^——j=.

16.若嘉函數(shù)/（x）=x"的圖象經(jīng)過點(diǎn)（五，；）,則其單調(diào)遞減區(qū)間為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

?2

17.（12分）設(shè)點(diǎn)耳（-c,0）,E（c,0）分別是橢圓C：*+y2=i（a>i）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓c上任意一點(diǎn)，且

藥?理■的最小值為1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖，動(dòng)直線/:y=H+根與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線/上的兩點(diǎn)，且鳥NJ_/,

求四邊形F\MNF:面積S的最大值.

18.(12分)已知函數(shù)/(工)=111(公)一。,(。＞0).

(1)若函數(shù)〃(x)=e"(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)”的值;

(2)定義：若直線/：丁=依+人與曲線G：＜(x,y)=O、。2：力(羽丁)=()都相切，我們稱直線/為曲線G、的公

切線，證明：曲線/(x)=ln(or)-a,3＞0)與g(x)=a",(a〉O)總存在公切線.

19.(12分)［選修45：不等式選講］

〃b2c2d21

已知a/,c,d都是正實(shí)數(shù)，B.a+b+c+d=\,求證：'一+‘二+二+」」…上.

1+n1+Z?1+c1+d5

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-l|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a—bR|a|f(x)(a/),a、bCR)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

21.(12分)購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛?cè)旰?，政府將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)擬購買

該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示

(1)估計(jì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表)；

(2)將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取4人，記對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于3萬元

的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)統(tǒng)計(jì)最近5個(gè)月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：

月份2018.112018.122019.012019.022019.03

銷售量(萬

0.50.61.01.41.7

輛)

試預(yù)計(jì)該品牌汽車在2019年4月份的銷售量約為多少萬輛?

附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)(％,y),(x2,y2)，…，(玉,％),其回歸直線9=晟+2的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

,￡(七一可(%一反)￡王》,.一時(shí)

為8=3r-----------=號(hào)-----------a=y-bx.

E(x1_J)2Ex，2-^2

/=l/=1

22.(10分)［選修45不等式選講］:已知函數(shù)/(x)=|x+2?|+|x-a］.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/。)24-|》+2］的解集；

(2)設(shè)?！?,匕＞0,且/0)的最小值為若f+38=3,求上+一的最小值.

ab

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析x的系數(shù)求解即可.

【詳解】

二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為］―?(\\~r

c；3(-3)…，令7-2r=-1,得廠=4,故上項(xiàng)的系

x

數(shù)為(—3)4=等.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出|A丹；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得8點(diǎn)橫坐

標(biāo)的取值范圍，即可由AE48的周長求得其范圍.

【詳解】

拋物線y2=8x,則焦點(diǎn)E（2,0）,準(zhǔn)線方程為x=—2,

根據(jù)拋物線定義可得14月=%+2,

圓（x-2）2+V=i6,圓心為（2,0）,半徑為4，

點(diǎn)A、B分別在拋物線y2=8x及圓/+/一4》-12=0的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.

點(diǎn)A、8分別在兩個(gè)曲線上，AB總是平行于x軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在x軸上,則由圓心和半徑可知/式2,6）,

則的周長為|AF|+|鉆|+忸目=%+2+》8+4=6+》8,

所以6+4?8/2）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

3.A

【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù)，即可判斷①②③，再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.

【詳解】

由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為氣'=81,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為^—=87.5，故①錯(cuò)誤；

%=L（72+76+80+82+86+90）=81&=工x（69+78+87+88+92+96）=85，貝！|鄭氣，故②錯(cuò)誤,③正確；

66

顯然甲同學(xué)的成績更集中，即波動(dòng)性更小,所以方差更小，故④正確，

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征，考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).

4.B

【解析】

根據(jù)題意可得（岳-5>5=0,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.

【詳解】

因?yàn)椋ㄔ酪辉?5）-5=o

即扃?萬=出「

a-b_a-b

而cos

\aV\b\\b^2

TT

所以萬萬夾角為一

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到2x+)，的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.

【詳解】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,D為圓心，1為半徑的圓；

根據(jù)三角形面積公式得到g*/周長x尸=S=；xABxACxsin60°,

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：B(-^,0),C(V3,0),A(0,3),Z)(0,0),M(cos^,l+sin0)

麗=(cos6+G,l+sin9),麗=(6,3),麗=(G,0)

故得到BM=(cos9+6,l+sin9)=(6x+Gy,3x)

故得到cos0=6x+e,sin6=3x-1

1+sin。

x=---------

3_cos。sin。42./八、

2x+y=—T=—i--------1——sin（8+夕）H—42.

cos0sin92'x/33333

-V333

故最大值為：2.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一

般方法.

6.B

【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于甲，玉=----------------------?85.8；

6

“丁丁—72+74+81+89+96+99、

對(duì)于乙,x,=-------------------------------------?85.2,

-6

故A正確;

甲的極差為93-79=14,乙的極差為99-72=27,故3錯(cuò)誤;

對(duì)于甲，方差S：a26.5,

對(duì)于乙，方差=106.5,故C正確;

甲得分的中位數(shù)為之譽(yù)=85,乙得分的中位數(shù)為應(yīng)等=85,故。正確.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于

基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

由McN=M得出MqN,利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

-：M={x|l<x<21,N={x|x<a}且=.1A/RN,.，.a>2.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,+8).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出sin［亭的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，然后代入

%+%+%+…+《2轉(zhuǎn)化計(jì)算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

+.（萬）.（乃、.3乃[

解：由題意得，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),sinI---I=sinI+—I=sinI+—I=sin—=-1,

.（竽，=sin（而+^）=sin5=l

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=一心當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，《,=/,

所以

4+a2+a3-i----

=-12+22-32+42----1P+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

2

=78

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

9.D

【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出利，〃關(guān)系，即可求解.

【詳解】

m+n2

aman=aj2-=32a/,?.加+〃=7,

14s1413

當(dāng)加=1,〃=6時(shí)，-+—=當(dāng)m=2,〃=5時(shí)，一+一=一,

mn3mn10

14414io

當(dāng)團(tuán)=3,〃=4時(shí)，一+—=一,當(dāng)根=4,〃=3時(shí)，一+一=一,

mn3mn12

14111425

當(dāng)m=5,〃=2時(shí)，一+—=一,當(dāng)加=6,〃=1時(shí)，—+—=—,

mn5tnn6

14日r此J3

---H—最小值為六??

mn10

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，注意機(jī),〃為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

3

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得tana=-二，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào)，即可得到答案.

4

【詳解】

3

由題意得tan(a-7r)=tana=

4

34

,所以awcosa(0,sina〉0,結(jié)合sin2a+cos2a=1解得since=cosa

5

3_42

所以sina+cosa

5-55

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)x=2時(shí)有極大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),

而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)%的通項(xiàng)公式4=2〃，且相應(yīng)極大值

〃=2"T,分組求和即得

【詳解】

當(dāng)14x43時(shí)，r(x)='cos[^^}

顯然當(dāng)x=2時(shí)有，r(x)=O,

.?.經(jīng)單調(diào)性分析知

x=2為/(X)的第一個(gè)極值點(diǎn)

又?.?3<xWl(X)時(shí)，/(x)=2/(x-2)

x=4,x=6,x=8,…，均為其極值點(diǎn)

?.?函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值

an=2n,1<n<49>neZ

.,.對(duì)應(yīng)極值%a=2"T,14〃<49,neZ

3/,、(2+98)x491x(1—249)川9.…

Ay(a.+/?,)=-------——+---------=249+2449

￡5〃21-2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對(duì)數(shù)列

和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題

12.B

【解析】

將“=〃“，v=(x-4)2代入線性回歸方程力=-0.5葉2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.

【詳解】

解：將“=/町，v=(x-4尸代入線性回歸方程力=-0.5葉2得：

\ny=-0.5(X-4)2+2,即y=/國…)*,

當(dāng)x=4時(shí)，-0.5(x-4y+2取到最大值2,

因?yàn)閥=，在R上單調(diào)遞增，則y=eF5(x-4)2+2取到最大值.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算，得到/(。=-±(1-2/)9+3,令f=i,求得即可得到答案.

10109

【詳解】

根據(jù)定積分的計(jì)算，可得

/⑺=￡(1-C；2x+C；4》2—《8x3+...—C：128X7+C；256f)公=￡(1-2xfdx^-^(1-2x)91；

(l-2z)9+—,

1818

令1=1,貝ij/?(I)=__L(I_2X1)9+-!-=!，

\)18189

即f(t)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得了⑺的表示

是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.-

3

【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算，再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.

【詳解】

解：3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，

甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券，

則兩人同時(shí)抽取兩張共有：&=6種排法

排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有：C；A；=2種排法.

21

故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是：P=-=-

63

故答案為：—

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合tan,+1J=3可得出tand的方程，即可求出tand的值，然后利用二倍角的正、余弦公

式結(jié)合弦化切思想求出cos26和sin26的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出cos(26-的值.

【詳解】

，八兀tanO+lc八1

tan6+—=3=>-------=3=>tan3=—

I4J1-tan^29

g2zj.2cos26^-sin26^1-tan26_3

cos20=cos夕一sin0n-------------

cos26^+sin2l+tan205

2sincos2tan64

sin2。=2sin6cos0=

sin20+cos20tan2^+15

cos126-w=(cos204-sin2。)=\-

故答案為：i,嚕

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦

化切思想的應(yīng)用，難度不大.

16.(0,+oo)

【解析】

利用待定系數(shù)法求出幕函數(shù)/(x)的解析式，再求出/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】

解：幕函數(shù)/(x)=E的圖象經(jīng)過點(diǎn)(&1),

則(揚(yáng)"=；,

解得。=一2；

所以/。)=r2,其中XW(fO,0)U(0,+8)；

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8).

故答案為：(0,+oo).

【點(diǎn)睛】

本題考查了幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(1)y+y2=l；(2)2.

【解析】

(D利用兩的最小值為1,可得所?麗=/+/一。2=01/+1—xe[-a,a],即可求橢圓。的

~~a

方程；

(2)將直線/的方程y=H+〃?代入橢圓C的方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線/與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)

知，△=()即可得到加，人的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到&=|6d2^\F2M\.當(dāng)攵0()時(shí)，設(shè)直

線/的傾斜角為。，貝！)|4一4|=|加乂上加114,即可得到四邊形片"N8面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，

結(jié)合當(dāng)Z=O時(shí)，四邊形-MN鳥是矩形，即可得出S的最大值.

【詳解】

(1)設(shè)P(x,y),則耳尸=(x+c,y),F2P=(x-c,y),

:.~PF*PK=xl+y1-c1=a71-v2+1~c2?xe[-a,a],

[Cl

由題意得，1—/=0=>C=1=>Q2=2、

2

二橢圓。的方程為、+y2=l；

2

(2)將直線/的方程y=履+〃?代入橢圓C的方程_?+2:/=2中，

#(2A:2+l)x2+4Aznr+2/n2-2=0.

由直線/與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，A=16公”-4(2尸+1)(2W2-2)=0,

化簡得：加2=2^+1.

設(shè)4平件心內(nèi)昨售A,

收+1ylk2+1

當(dāng)Z*0時(shí)，設(shè)直線/的傾斜角為。，

則|4-d21TMMx|tane|,

.,?2|=向|4-4|,

?'?舐/'也-心卜?+4)=^^，

乙|K|K,十1

,5一2|同=4網(wǎng)=4

222

nv=2k+1，k+]m+1?同?,+國1

.?.當(dāng)Z/O時(shí)，帆＞1,|〃?|+而＞2,

：.S＜2.

當(dāng)左=0時(shí)，四邊形￡〃叫是矩形，5=2.

所以四邊形F,MNF2面積S的最大值為2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的

性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

18.(1)a=l；(2)見解析.

【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為"(X)..O在(0,+8)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出夕。)=磔狽)+!-4的最小值即可求解；

X

(2)分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為芭,當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足

ae,2、=—1

<須有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.

X2X1

]n(o￥])-a-l=ae-ax2e

【詳解】

(1),/h{x)=ex\\n(ax)-tz],x>0,

/./?"(%)=e'[ln(ox)+,一a]

x

函數(shù)h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增等價(jià)于h(元)..。在(0,住)上恒成立.

1z\111X_1

令A(yù)°(x)=ln(ax)+——a,得°(x)=----=—丁,

xxxx

所以以處在(0,1)單調(diào)遞減，在(L”)單調(diào)遞增，則。(X)min=。⑴.

因?yàn)?>0，則h(x)..0在(0,+8)上恒成立等價(jià)于0(x)..0在(0,+8)上恒成立；

又“(3=0,

a

<3(-)=。⑴=0,

a

所以4=1,即a=l.

a

(2)設(shè)f(x)=ln(")一a,(a>0)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=X],則/'(內(nèi))=J

切線方程為y-皿①網(wǎng))+a='(x-占)...①

設(shè)8。)=481(?！?))的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為*=無2，則g'(修)="e”2,

X2x

切線方程為y-ae-ae-(x-x2)...②

?1

ae2=——

若存在均修，使①②成為同一條直線，則曲線/(x)與g(x)存在公切線，由①②得玉消

XzXi

]n(aX])—a—]=ae-ax2e

去A'|得一X,—CI—1=QC'—dX-,c'

1eX2(x,-l)-l2e*+l

即_=—皿---二eXz-------

ax2+1工2+1

.,2ex+1百，，,、x2ex+ex+\八

令t(x)-e--------,貝(11(x)=------——>0

x+1(x+1)

所以，函數(shù)y=?x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

vr(l)-z(2)<0.?.加右(1,2),使得f(x0)=O

XG(X0,+oo)時(shí)總有t(x)>r(xo)=0

又；.X—>+oO時(shí)，f(x)―>+oo

=e'd)T在(0,+<?)上總有解

ax+1

綜上，函數(shù)/(x)=In(內(nèi))-a,(a>0)與g(x)=。靖,>0)總存在公切線.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.

19.見解析

【解析】

/b2c2d2}

試題分析：把不等式的左邊寫成[(l+a)+(l+〃)+(l+c)+(l+-------1-----------1-----------1----------形式，利用柯西不

+。1+。1+c1+d,

等式即證.

試題解析：證明：;[(l+4)+(l+b)+(l+c)+(l+d)]金+互

、1+。1+Z71+c1+d,

2Jl+a?/+A/+b-/+J+c-/-+-J+d/

、J1+Q<1+bJl+cJl+d)

=(a+b+c+d)~=1,

又(l+a)+(l+))+(l+c)+(l+d)=5,

金+工+金+2八

1+。1+力1+c1+d5

考點(diǎn)：柯西不等式

15

20.-<x<-

22

【解析】

\a-/?|+|cz+^|\a—

由題知，|x-l|+|x-2|<J——LJ——^恒成立，故|x—l|+|x—2|不大于——K——1的最小值.

V|a+b|+|a-b|>|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)?(a—b)N0時(shí)取等號(hào),

:.'——W——L的最小值等于2.

回

???X的范圍即為不等式|x-l|+|x—2區(qū)2的解，解不等式得gwxs；.

21.(1)1.7；(2)EY=2.4,見解析；(2)2.

【解析】

(1)平均數(shù)的估計(jì)值為每個(gè)小矩形組中值乘以小矩形面積的和；

(2)易得X?5(4,0.6),由二項(xiàng)分布列的期望公式計(jì)算；

(3)利用所給公式計(jì)算出回歸直線$=忘+4即可解決.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可知，消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計(jì)值為

1.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x0.1+6.5x0.05=3.5,所以方差的估計(jì)

值為?=(1.5-3.5)2x0.1+(2.5-3.5)2x0.3+(3.5-3.5)2x0.3+(4.5-3.5)2x0.15