第四章 隨機變量的數(shù)字特征(3-4.5學(xué)分)

第四章隨機變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣數(shù)學(xué)期望——描述隨機變量取值的平均特征一般意義下變量x平均數(shù)的計算：xnkx1x2…n1n2…如何計算變量x的平均數(shù)？xk…nk…

4.1數(shù)學(xué)期望

一.數(shù)學(xué)期望的定義

解：變量x的平均數(shù)為其取值總數(shù)/總次數(shù)：即：

于是，離散隨機變量的平均數(shù)類似的定義：

定義1.若X~P{X=xk}=pk

,k=1,2,…n,則稱

定義2.

若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且

為r.v.X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。，則稱為r.v.X的數(shù)學(xué)期望例1

擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。定義3

若X~f(x),-<x<,

為X的數(shù)學(xué)期望。則稱例2.若隨機變量X服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為試求E(X).解：

二.幾個重要r.v.的期望

1.0-1分布的數(shù)學(xué)期望E(X)=p2.二項分布B(n,p)E(X)=np3.泊松分布4.均勻分布U(a,b)5.指數(shù)分布6.正態(tài)分布N(

,

2)

定理1

若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,則Y=g(X)的期望E(g(X))為推論:若(X,Y)

P{X=xi,Y=yj}=pij

,

i,j=1,2,…,則

Z=g(X，Y)的期望三.隨機變量函數(shù)的期望例3

設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:定理2

若X~f(x),-<x<,則Y=g(X)的期望推論若(X,Y)~f(x,y),-<x<,-<y<,則Z=g(X,Y)的期望例4長途汽車起點站于每時的10分、30分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客的平均候車時間解:設(shè)乘客于某時X分到達車站,候車時間為Y,則=10分25秒設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)EX解：E(XY)例5已知二維r.v.(X,Y)的密度函數(shù)為求：E(XY).1.E(c)=c,c為常數(shù);2.E(cX)=cE(X),c為常數(shù);四.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);4.若X與Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).例3

若X~B(n,p),求E(X)解:設(shè)第i次試驗中事件A發(fā)生第i次試驗中事件A不發(fā)生則例6.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個人中普查這種疾病,為此要化驗每個人的血。方法是，每100個人一組，把從100個人抽來的血混在一起化驗，如果混合血樣呈陰性，則通過，如果混合血樣呈陽性，則再分別化驗該組每個人的血樣。求平均化驗次數(shù).(此病不傳染)解:設(shè)Xj為第j組的化驗次數(shù)，Xjpj

1101X為1000人的化驗次數(shù)，則解：設(shè)r.v.X為擲一色子10次，所得點數(shù)之和。Xi(i=1,2,···,10)為第i次擲得的點數(shù)。則：Xi

的分布律為XiPk123456EX:獨立重復(fù)擲一顆色子10次，求所得點數(shù)之和的期望？1.

定義

若E(X),E(X2)存在，則稱E[X-E(X)]2為r.v.X的方差，記為D(X),或Var(X).稱 為r.v.X的標準差或均方差4.2方差

一.定義與性質(zhì)

2.推論

D(X)=E(X2)-[E(X)]2方差是衡量隨機變量取值波動程度的一個數(shù)字特征。例1：設(shè)隨機變量X的概率密度為1)求D（X）,2)求3.方差的性質(zhì)(1)D(c)=0.反之，若D（X）=0，則存在常數(shù)C，使

P{X=C}=1,且C=E(X);

(2)D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；(3)若X，Y獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(-X)=D(X)解：設(shè)第i次試驗中事件A發(fā)生第i次試驗中事件A不發(fā)生則二.幾個重要r.v.的方差1.二項分布B(n,p)：2.泊松分布p(

)：由于兩邊對求導(dǎo)得即即3.均勻分布U(a,b)：4.指數(shù)分布：5.正態(tài)分布N(

,

2)：思考：1.請給出一個離散型隨機變量X和一個連續(xù)型隨機變量Y，使它們的期望都是2，方差都是1。2.泊松分布p(

)：1.二項分布B(n,p)：三.切比雪夫不等式

若r.v.X的期望和方差存在，則對任意

0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等價的形式：切比雪夫大數(shù)定律已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標準差為0.1元，求a,使股價大于等于1+a元或小于等于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令4.3協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)

一.協(xié)方差定義與性質(zhì)

1.協(xié)方差定義若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,

易見Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y)當(dāng)Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)。？X與Y獨立

→

X與Y不相關(guān)“X與Y獨立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？X與Y相關(guān)→

X與Y不獨立

2.協(xié)方差性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)

(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);

(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

D(X+C)=D(X)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).EX:設(shè)隨機變量XB（12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差二.相關(guān)系數(shù)

1.定義:若r.v.X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).

注：若記稱為X的標準化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|

XY|1；

(2)|

XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；

(3)X與Y不相關(guān)

XY=0.1.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)與獨立性.EXD1x=y解X與Y相關(guān)且不獨立.以上EX的結(jié)果說明了什么？EX2解1)2)可見，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。4.4矩、協(xié)方差矩陣1.K階原點矩E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點矩；2.K階中心矩E[X-E(X)]k,k=2,3,…而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對中心矩；3.K+l階混合原點矩

E(Xk

Yl),k,l=1,2,…；4.K+l階混合中心矩

E{[X