上節(jié)小結(jié)教程

BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,離散傅里葉變換定涵義：DFS取主值區(qū)時(shí)-頻域有限長序1DigitalSignalProcessing,Zhang X(k) k0,,N 1N1 x(n) X(k)WNkn n0,,N N BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,Z變換,DTFT和DFT的關(guān)離散信號的Z變換DFT的關(guān)系是什么樣的2DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,序列x(n)的Z變換在單位圓上進(jìn)行N等分，Z變換DFT的關(guān)系是取樣和內(nèi)插的關(guān)系，3DigitalSignalProcessing,Zhang1N X(k)x(n)IDFT[X(k)] X(kNkNX(zx(n)zn ZX(ej)X zeBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,Z變換DFT的關(guān)叢DFSDFT的推導(dǎo)可以知道：當(dāng)Z變換在單單位取即DFT→DTF4DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm, 11vN1可見，非周期序列的z變換，可以從其的DFT5DigitalSignalProcessing,ZhangNX(z)x(n)znn0 X(k n0 k (v)1X(k)Wkz1 k 1N 1z N X(k) X(k)(Wk 1Wkz1 k0 k0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,6DigitalSignalProcessing,Zhang互相極點(diǎn)：(N-1)階極點(diǎn)z=一階極點(diǎn)零點(diǎn)：N個(gè)一階零點(diǎn)j2zl l0,1, ,(N抵消：z=1處的一階極點(diǎn)和一階零點(diǎn)互相抵消，一階零點(diǎn)數(shù)量變?yōu)椋∟-1）個(gè)。(z)11zN zNN1 NzN1(zBeijingUniversityofPostsandTelecomm,F域內(nèi)插公式：BeijingUniversityofPostsandTelecomm,F域內(nèi)插公式：DFTX(kDTFT7DigitalSignalProcessing,Zhang1N 1zX ) X(k) Nk 1 ze j1NX(k) 1eNk0 1 e1 ej ej ej X(k)Nk j j j j j jeN Ne eN j 1 (1)k (1) 2X(k) Nk ej12k 2 sin(2(NBeijingUniversityofPostsandTelecomm,NNX )X(k)k()BeijingUniversityofPostsandTelecomm,NNX )X(k)k()X(k)(即)Nkk sinN頻域內(nèi)jN12()其中e2zeN頻域內(nèi)sin2 DigitalSignalProcessing,Zhang8jN2k 1N 2 Nsin( ( X(k) j12k 2kk N sin(2( sinN(2k)1N1X(k)ejN 2 ( ) N 2kk ( BeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,9DigitalSignalProcessing,Zhang互相F根據(jù)Φ(z)的零極點(diǎn)分布規(guī)律可知(零極點(diǎn)對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響極點(diǎn)：ejω到極z=0的距離恒為1，對零點(diǎn)在區(qū)間[0,2π]內(nèi)，|Φ(ω)|存在(N-1)個(gè)2k,k1, ,(NN存在(N-1)(2k1),k1, ,(NNBeijingUniversityofBeijingUniversityofPostsandTelecomm,3.3.2DFTZF域內(nèi)DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,頻域內(nèi)插的物xnnrNx(n)X(k)XejBeijingUniversityofPostsandTelecomm,頻域內(nèi)插的物xnnrNx(n)X(k)Xej2rNnk-N00N-X(ej)DTFTx(n)DTFTRX(ejx(n)x(n)RNn0DigitalSignalProcessing,Zhang只有當(dāng)頻域取樣點(diǎn)數(shù)N大于序列長度Mx(n)中不會(huì)出現(xiàn)混迭現(xiàn)象，這時(shí)能夠從x(n)中如實(shí)恢復(fù)x(n)，即能夠由X(k)準(zhǔn)確重建X(z)和X(ejw)。對序列作DFT變換點(diǎn)數(shù)不應(yīng)低于序列的長度X(k濃縮了x(n)BeijingUniversityofPBeijingUniversityofPostsandTelecomm,可以發(fā)現(xiàn)：Z變換和DFT變換的關(guān)系就取樣和內(nèi)插的關(guān)系DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,DFT1,線性關(guān)系：(DFT是線性變換DFT:x3(n)ax1(n)bx2x1(nx2(n長度都為max(N1,N2X3(k)aX1(k)bX2DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,定義 (BeijingUniversityofPostsandTelecomm,定義 (n)x—周期eN (n)—周期又由oN則x(n)xep(n)xopDigitalSignalProcessing,Zhangx(n)x NBeijingUniversityofPostsandTelecomm,xBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x(n)X(k)若則②③x(n)X((k))NRNR(n)X(k)NNRex(n)Xep(k)—X(k)的周jImx(n)Xop—X(k)的周期共軛反對稱部DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,如果沒有周期延拓:XBeijingUniversityofPostsandTelecomm,如果沒有周期延拓:X(k)→DigitalSignalProcessing,ZhangXk0NX(-XkN0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,做了周期延拓:XRNX(kkkk0X(k)R(kDigitalSignalProcessing,Zhangk X(k0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,做了周期延拓:XRNX(kkkk0X(k)R(kDigitalSignalProcessing,Zhangk X(k0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,xep(n)ReXxop(n)jImX5,若為④ReXImX(k),X(k)argX(k)都是周期性奇DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,了主值區(qū)間(0～N-1)，都應(yīng)該將有關(guān)保留主值區(qū)間DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,求證例：如DigitalSignalProcessing,ZhangDFT(X(n))Nx(k)RN(k)NBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,因此，對于確定的k值，在0～N-1區(qū)間有一個(gè)m值滿足m+k=lN,因此有DigitalSignalProcessing,Zhang mklNl為整數(shù)Wn(mk)N mkG(k)DFT(X k0,...,N X(n)Wknx(m)WnmWN N N n0 N Nx(m)WNn(mk BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,即有DigitalSignalProcessing,ZhangDFT(X(n))Nx(k)RN(k)NG(k)DFT(X k0,...,NNx(lNk)Nx(k)Nx(k)NBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,3,循環(huán)移位1)x(n)和之間的關(guān)系為DigitalSignalProcessing,Zhangx(n （周期延伸Nx(nx(n)R （加窗操作NBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,2)循環(huán)x1(n)x(nm)RNN如果N點(diǎn)序列沿一方向移位，它將不再位于0≤n≤N-1上。因此，循環(huán)移位的計(jì)算步DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x(n)nBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x(n)nN0m>0m<0~xn0N點(diǎn)序x(nx(n)x(n)n011Nx1(n)為窗函DigitalSignalProcessing,ZhangnBeijingUniversityofPostsandTelecomm,循環(huán)移位BeijingUniversityofPostsandTelecomm,循環(huán)移位的在循環(huán)移位過程中，周期序列x(nm)是周期序列x的移位，由DFS的移位特性NX(k)X又∴DigitalSignalProcessing,Zhang jx(n)x(nm)R X(k)e X x(n)R(n)(k)R BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,在頻域內(nèi)循環(huán)移位X2(k)X2(k)RN(k)X[(kl)]NRN則DigitalSignalProcessing,Zhangx(n) x(n) W WBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,3.7x(n)10(0.8)^n，0≤n≤1011畫出x((n+4))11R11(n)4個(gè)樣本的x((n-3))15R15(n)，也就是假定x(n15點(diǎn)序列，向右循環(huán)移位3個(gè)樣本。特別注意當(dāng)樣本從一個(gè)方向移[0,N-1]，它們將從DigitalSignalProcessing,ZhangOriginal8642086420-05-05nnPeriodic8642086420-05n-05nOriginal8642086420-05-05nnPeriodic8642086420-05n-05nBeijingUniversityofBeijingUniversityofPostsandTelecomm,在這種情況下，給x(n)后填充4個(gè)零，將其看作一個(gè)15點(diǎn)序列。此時(shí)的循環(huán)移位與N=11x(n-3)。因此，計(jì)算DigitalSignalProcessing,ZhangOriginal864208642000nnPeriodic864208642000nnOriginal864208642000nnPeriodic864208642000nnBeijingUniversityofPostsandTelecomm,11BeijingUniversityofPostsandTelecomm,11x(n)0≤n≤10，求出并畫出x((n-6))15R15(n)%=====DigitalSignalProcessing,ZhangOriginal8642005nCircularlyshiftedsequence,8642005nx((n-6)modOriginal8642005nCircularlyshiftedsequence,8642005nx((n-6)modBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,4,循環(huán)卷積x1(n),x2(n)是長度為N環(huán)卷積為：—周期DigitalSignalProcessing,Zhangx3(n)x1(n)x2 x1(m)x2(nm)RNBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,m0N-1，因此第一個(gè)序列x1(m)可以不作周期拓展,即注意兩個(gè)N點(diǎn)序列的線性卷積將導(dǎo)致一個(gè)更長的序列。循環(huán)卷積將區(qū)間限制在0≤n≤N-1，結(jié)果仍為N點(diǎn)序列，它與線性卷積的結(jié)構(gòu)類似。不同點(diǎn)在于求和范圍和N點(diǎn)循環(huán)移位。它與N有關(guān)，也叫做N點(diǎn)循環(huán)卷積。DigitalSignalProcessing,ZhangN x3(n)x1(m)x2((nm)N)RN BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,若則即當(dāng)在頻域中進(jìn)行兩個(gè)N點(diǎn)DFT相乘時(shí)，在DigitalSignalProcessing,Zhangx(n)x(n)(k)X(k) x(n)X(k), x(n)X BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,2、循環(huán)卷積的計(jì)算方MatlabDigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,同心圓x3BeijingUniversityofPostsandTelecomm,同心圓x3(n)x1(n)x2x(Nx22—內(nèi)圓順時(shí)針方向排x2(Nx1x2—外圓逆時(shí)針方向排x2x1(0)與x2DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,乘后求和x3(0);x2x2(n-m)BeijingUniversityofPostsandTelecomm,乘后求和x3(0);x2x2(n-m)移位一位，x2x2(Nx2(Nx2x1得x(1)x13依次下去，求0nNx3(n),DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,其而h(NhBeijingUniversityofPostsandTelecomm,其而h(Nh(Nh(Nh(Nh(Nh(Nh(1)h(2)hh(3)h(N1)h(NDigitalSignalProcessing,Zhangy[y(0)y(1)...Y(Nx[x(0)x(1)...x(Nx3x2x1或者yBeijingUniversityofPostsandTelecomm,波形BeijingUniversityofPostsandTelecomm,波形圖1）x1(m)和x2(m)在m軸上周期延x1(m),x22）將x2(m翻轉(zhuǎn)x2(mNx3(n)x1(m)x2(n4）x3(n)一個(gè)周期，得到DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n{1,2,2}，x2(n)={1,2,3,4}41(x2解：注意x1(n)為3點(diǎn)序列，進(jìn)行循環(huán)卷積之4點(diǎn)序列，我DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,1）時(shí)域方 點(diǎn)循n產(chǎn)生一個(gè)循環(huán)移位序列，將它的樣x1(m)n值的循環(huán)卷值，在0≤n≤3上重復(fù)此過程?？紤]x1(m)=和x2(m){1,2,3,4}DigitalSignalProcessing,Zhang3x1(n)x2(n)x1(m)x2((nBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,n0n2DigitalSignalProcessing,Zhang3x1(m)x2((2 {1,2,2,0}{3,2,1,4}{3,4,2,0} 3x1(m)x2((0 {1,2,2,0}{1,4,3,2}{1,8,6,0} BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,n3因此x1(n)x2(n)DigitalSignalProcessing,Zhang3x1(m)x2((3 {1,2,2,0}{4,3,2,1}{4,6,4,0} BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,用DFT求線性卷問題的提出y(n)=DFT有限項(xiàng)求和，有快速算能否用DFT來實(shí)現(xiàn)線性卷積DigitalSignalProcessing,Zhangy(n)x(n)h(n)h(k)x(nkBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n計(jì)算4點(diǎn)循環(huán)卷解1(nx2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n{1,2,2}，x2(n3，4}N的大小對循環(huán)卷N≥4x2(n將在時(shí)域內(nèi)出x1(n)x2x1(n)x2x1(n)x2567DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,解a.5%%YBeijingUniversityofPostsandTelecomm,解a.5%%Y===y=949x1(n)x2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,b.6%BeijingUniversityofPostsandTelecomm,b.6%===y1498因此，6點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果為x1(n)x2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,7%y=BeijingUniversityofPostsandTelecomm,7%y===所以，從上面可以看出，對于不同的N值積，不同的N，結(jié)果是唯一的。y14980那么，在什么條件下，線性卷積和循環(huán)卷積相同呢因此，7點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果為x1(n)x2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n)=線性卷積的結(jié)果長度為:N1+N2-做循環(huán)卷積,分別為N=4點(diǎn)15，12，9，146-4=24，9，14，14}6-5=1個(gè)錯(cuò)N=5點(diǎn)9，N=6點(diǎn)N=7點(diǎn)4，9，14，14，84，0}DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,當(dāng)循環(huán)卷積的長度（N點(diǎn)）大于等于線性積（N1＋N2－1）時(shí)，無混疊DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DFT和DTFT/Z變換的關(guān)系：取樣和內(nèi)DFT的性質(zhì)線對稱循環(huán)移循環(huán)卷DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,關(guān)鍵FT變換（FourierTransform)FS變換(FourierSeries)DTFT變換(DiscreteTimeFourierDFS變換(DiscreteFourierSeries)DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,X(ej)x(n)e,?DigitalSignalProcessing,ZhangX(z)Z[x(n)]x(n)zBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DTFT→DFS(頻域離散DigitalSignalProcessing,ZhangN j2X(k) X(ej) ~(k)~(2k) NBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DFS取主值區(qū)間，得到DFT，DigitalSignalProcessing,Zhang X(k) k0,,N1N 1n0x(n) X(kkn n0,,N1 N BeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)y(n)x(n)設(shè)y(n)是長度為N的有限長序列，h(n)是長度為M討論y(nx(n的長度DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,從x(m)看，非零值區(qū)為0≤n≤N-從h(m)看，非零值區(qū)為：0mM-將二不等式相加，得到y(tǒng)(n)的非零區(qū)0≤n≤M+N-M+N-DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,構(gòu)造周期序列，使他們的長度相等且均為L。DigitalSignalProcessing,ZhangL ,h(M1),0, ,L ,x(N1),0, ,BeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DigitalSignalProcessing,Zhang h(n)h(nrL) h(n)h(n), 0nMrx(n)x(n x(n)x(n), 0nNBeijingUniversityofPostsandTelecomm,周期卷積如下y(nBeijingUniversityofPostsandTelecomm,周期卷積如下y(n)x(m)h(nh(nmr x(m)h(nmry(nrL)當(dāng)周期為L>=N+M-1時(shí)，不會(huì)發(fā)生混迭r 循環(huán)卷積又是周期卷積的主值序列 DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DigitalSignalProcessing,ZhangyN(n)x(n)h(n)yN(n)RNNy(n)x(m)h(n 0nNBeiji