高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第12講 基本立體圖形（學(xué)生卷）

第12講基本立體圖形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、認(rèn)識(shí)基本立體圖形的結(jié)構(gòu)并能夠結(jié)合生活．2、認(rèn)識(shí)由幾個(gè)基本立體圖形組合的簡(jiǎn)單組合體．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)二：幾何體中的基本計(jì)算考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的組合體考點(diǎn)四：簡(jiǎn)單幾何體的表面展開與折疊問題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．棱柱中不在同一平面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線．過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對(duì)角面．2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對(duì)角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行．知識(shí)點(diǎn)詮釋：有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每?jī)蓚€(gè)相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．知識(shí)點(diǎn)二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；SSSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示，如四棱錐．知識(shí)點(diǎn)詮釋：棱錐有兩個(gè)本質(zhì)特征：（1）有一個(gè)面是多邊形；（2）其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可．知識(shí)點(diǎn)三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）用一個(gè)平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)與底面全等的圓面．（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個(gè)矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．知識(shí)點(diǎn)四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個(gè)比底面小的圓面．（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個(gè)等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．（3）圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線都是圓錐側(cè)面的母線．知識(shí)點(diǎn)五：棱臺(tái)和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征１、定義：用一個(gè)平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)（圓臺(tái)）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺(tái)（圓臺(tái)）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(tái)（圓臺(tái)）的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺(tái)的母線；棱臺(tái)的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn)；圓臺(tái)可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺(tái)的軸．2、棱臺(tái)的表示方法：用各頂點(diǎn)表示，如四棱臺(tái)；3、圓臺(tái)的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺(tái)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）棱臺(tái)必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺(tái)可還原為棱錐，即延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點(diǎn)．（2）棱臺(tái)的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．（3）圓臺(tái)可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成．（4）圓臺(tái)的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．知識(shí)點(diǎn)六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面．如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．（2）若半徑為的球的一個(gè)截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．知識(shí)點(diǎn)七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺(tái)特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)；知識(shí)點(diǎn)八：簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體；②由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合．①多面體與多面體的組合體由兩個(gè)或兩個(gè)以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)三棱柱的組合體；如圖（2）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)四棱錐的組合體；如圖（3）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)三棱臺(tái)的組合體．②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由一個(gè)多面體與一個(gè)旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)圓柱組合而成的；如圖（2）是一個(gè)圓錐與一個(gè)四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個(gè)球與一個(gè)三棱錐組合而成的．③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由兩個(gè)或兩個(gè)以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．如圖（1）是由一個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個(gè)圓臺(tái)和兩個(gè)圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成的．知識(shí)點(diǎn)九：幾何體中的計(jì)算問題幾何體的有關(guān)計(jì)算中要注意下列方法與技巧：（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形，有關(guān)證明及運(yùn)算往往與兩者相關(guān)．（2）正四棱臺(tái)中要掌握其對(duì)角面與側(cè)面兩個(gè)等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計(jì)算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個(gè)等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_(tái)、正三棱臺(tái)中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來．（3）研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因?yàn)樵谳S截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系．（4）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．（5）圓臺(tái)問題有時(shí)需要還原為圓錐問題來解決．（6）關(guān)于球的問題中的計(jì)算，常作球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識(shí)解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形例2．（2023·全國(guó)·高一）關(guān)于如下圖所示的4個(gè)幾何體，說法正確的是（）A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱考點(diǎn)二：幾何體中的基本計(jì)算例3．（2023·福建福州·高三期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑的比為（）A．2 B． C．4 D．例4．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，它的軸截面的面積等于，母線與軸的夾角是，求該圓臺(tái)的高與母線長(zhǎng).考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的組合體例5．（2023·浙江·麗水外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)）已知半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱長(zhǎng)為，則球的半徑為（）A． B．3 C．2 D．例6．（2023·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)含有一個(gè)可以旋轉(zhuǎn)的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為___________.考點(diǎn)四：簡(jiǎn)單幾何體的表面展開與折疊問題例7．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知正方體棱長(zhǎng)為1.一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面爬到頂點(diǎn).則螞蟻經(jīng)過的最短路程為______.例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3【真題演練】1．（2007·北京·高考真題（文））如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（

）A． B． C． D．2．（2008·重慶·高考真題（文））如圖，模塊①－⑤均由個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)從模塊①－⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長(zhǎng)為的大正方體．則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為（

）

A．模塊①，②，⑤ B．模塊①，③，⑤C．模塊②，④，⑥ D．模塊③，④，⑤3．（全國(guó)·高考真題（文））某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A． B． C． D．24．（2007·北京·高考真題（文））兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5厘米、4厘米、3厘米，把它們重疊在一起組成一個(gè)新長(zhǎng)方體，在這些新長(zhǎng)方體中，最長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)度是A． B． C． D．5．（2007·全國(guó)·高考真題（文））若正棱錐底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，則該棱錐一定不是A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐6．（2007·江西·高考真題（文））已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)的最短路線的長(zhǎng)為___________.7．（2007·江西·高考真題（理））在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分別為、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為________8．（2007·江西·高考真題（理））如圖所示，在直三棱柱中，底面為直角三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______________．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（

）A．底面是矩形 B．有一個(gè)側(cè)面與底面垂直C．有一個(gè)側(cè)面是矩形 D．相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形2．（2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，過點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．

B．

C．

D．3．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．圓柱上下底面各取一點(diǎn)，它們的連線即為圓柱的母線B．過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓C．圓錐的軸截面是等腰三角形D．用一個(gè)平面去截球，所得的圓即為大圓4．（2023·四川瀘州·高一期末）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．45．（2023·四川省內(nèi)江市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖是一個(gè)正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對(duì)面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒6．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，從一個(gè)正方體中挖掉一個(gè)四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面哪個(gè)選項(xiàng)不是該幾何體的截面？A． B． C． D．8．（2023·河北張家口·高一階段練習(xí)）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則其爬行的最短路線長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）下列命題中不正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B．底面是正多邊形的直棱柱一定是正棱柱C．正三棱錐就是正四面體D．側(cè)棱垂直于底面的棱柱是直棱柱10．（2023·山西·平遙縣第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）.A．棱臺(tái)的上?下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐11．（2023·遼寧大連·高一期末）一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過球心作一個(gè)截面，則截面的圖形可能是（

）A．B．C．D．1