高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專(zhuān)用）【預(yù)習(xí)】第14講 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（學(xué)生卷）

第14講簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何題的表面積．2、認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何題的體積．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積考點(diǎn)二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積考點(diǎn)三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積考點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積考點(diǎn)五：球的表面積與體積【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：項(xiàng)目名稱(chēng)底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺(tái)平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)呵蠖嗝骟w的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開(kāi)后展開(kāi)成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．知識(shí)點(diǎn)二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開(kāi)為平面圖形，再去求其面積．1、圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)，那么這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線長(zhǎng)（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2πr．（2）圓柱的表面積：．2、圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)為，由此可得它的側(cè)面積是．（2）圓錐的表面積：S圓錐表=πr2+πr．3、圓臺(tái)的表面積（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線長(zhǎng)為，那么這個(gè)扇形的面積為π（r＇+r），即圓臺(tái)的側(cè)面積為S圓臺(tái)側(cè)=π（r＇+r）．（2）圓臺(tái)的表面積：．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)呵笮D(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)三、柱體、錐體、臺(tái)體的體積1、柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh．圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．綜上，柱體的體積公式為V=Sh．2、錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．綜上，錐體的體積公式為．3、臺(tái)體的體積公式棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是．綜上，臺(tái)體的體積公式為．知識(shí)點(diǎn)四、球的表面積和體積1、球的表面積（1）球面不能展開(kāi)成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2、球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積例1．（2023·全國(guó)·高一）如圖所示，正六棱錐被過(guò)棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.（1）求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.例2．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．考點(diǎn)二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積例3．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)六棱錐的高為10cm，底面是邊長(zhǎng)為6cm的正六邊形，求這個(gè)六棱錐的體積．例4．（2023·安徽·安慶一中高一期中）已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.考點(diǎn)三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積例5．（2023·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，梯形滿足，，，，，現(xiàn)將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體記為．求的表面積．例6．（2023·陜西·西安市華山中學(xué)高一階段練習(xí)）西安市建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于儲(chǔ)存糧食，已建的倉(cāng)庫(kù)底面直徑為，高為.隨著西安市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，糧食產(chǎn)量的增大，西安市擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多的糧食.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)底面半徑比原來(lái)大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；例7．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，直三棱柱的高為，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為．以上、下底的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分形成的幾何體的表面積．考點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積例8．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱．（1）求出此圓錐的側(cè)面積；（2）用表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；（3）當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求此圓柱的體積．例9．（2023·河北·邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高一階段練習(xí)）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.蒙古包古代稱(chēng)作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示.一個(gè)普通的蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，如圖2所示.已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米.圖1圖2（1）求該蒙古包的側(cè)面積；（2）求該蒙古包的體積.考點(diǎn)五：球的表面積與體積例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，分別為中點(diǎn)，將沿折起得到三棱錐，三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______.例11．（2023·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍?，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B． C． D．不能確定例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正四面體的俯視圖為邊長(zhǎng)為1的正方形（兩條對(duì)角線一條是虛線一條是實(shí)線），則正四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【真題演練】1．（2023·全國(guó)·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題（理））甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．5．（2023·北京·高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱(chēng)為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨6．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.7．（2023·山東·高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是______.8．（2023·浙江·高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是_______．9．（2023·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．（2023·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）棱長(zhǎng)都是1的三棱錐的表面積為（）A． B． C． D．2．（2023·廣東·廣州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知圓錐的底面積為1，表面積為3，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一期中）把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的半徑為（

）A． B． C． D．4．（2023·河北·高一期中）已知圓錐的體積為，其中S為圓錐的底面積，h為圓錐的高．現(xiàn)有一個(gè)空杯子，盛水部分為圓錐（底面半徑為3cm，高為6cm），現(xiàn)向杯中以6ml/s的速度勻速注入水，則注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（2023·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章第術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如下圖所示的“曲池”，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度的3倍，且線段，則該“曲池”的體積為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC，BC，A1C1，B1C1的三等分點(diǎn)處，，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為（

）A． B． C． D．7．（2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3，兩底面半徑分別為1，2，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．8．（2023·安徽池州·高一期中）已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為4，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2023·廣東·深圳市華美外國(guó)語(yǔ)（國(guó)際）學(xué)校高一期中）下列命題正確的是（

）A．將棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn) B．繞直角三角形的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．若一個(gè)球的表面積擴(kuò)大一倍，則該球的體積擴(kuò)大倍 D．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，四面體的體積為10．（多選題）（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3與4，則以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的空間圖形的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．11．（多選題）（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知某正方體的外接球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，該正方體的內(nèi)切球上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，若線段的最小值為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．正方體的外接球的表面積為 B．正方體的內(nèi)切球的體積為C．正方體的棱長(zhǎng)為2 D．線段的最大值為12．（多選題）（2023·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30°，若取，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為24m B．正四棱錐的高為C．正四棱錐的體積為 D．正四棱錐的側(cè)面積為13．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）將圓錐的側(cè)面展開(kāi)后得到一個(gè)半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為_(kāi)________.14．（2023·浙江·高一期中）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為_(kāi)_______．15．（2023·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積是球的表面積的______________.16．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖：球及其外切圓柱（如圖）．以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積均為其外切圓柱的體積和表面積的______．（用分?jǐn)?shù)作答）17．（2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為8，P為母線的中點(diǎn)．(1)求圓錐的表面積和體積；(2)若為底面直徑，求沿圓錐表面，點(diǎn)P到點(diǎn)B的最短距離．18．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，求該圓柱的側(cè)面積與表面積．19．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的斜截圓柱中，已知其底面直徑為40cm，母線最短50cm，最長(zhǎng)