《函數(shù)極值最值》課件

《函數(shù)極值最值》PPT課件目錄CATALOGUE引言函數(shù)極值的概念函數(shù)最值的概念函數(shù)極值與最值的求法函數(shù)極值與最值的應用總結(jié)與展望引言CATALOGUE01課程簡介函數(shù)極值最值是數(shù)學中的一個重要概念，它涉及到函數(shù)的最大值和最小值的求解，以及極值點的判斷和求解。本課程將介紹函數(shù)極值最值的基本概念、性質(zhì)和求解方法，并通過實例和練習題加深學生對這些概念和方法的理解和應用。學習目標01掌握函數(shù)極值最值的基本概念和性質(zhì)，包括極值點的判斷和求解、最值的求解等。02學會應用函數(shù)極值最值的概念和方法解決實際問題，提高數(shù)學建模和解決問題的能力。通過實例和練習題，加深對函數(shù)極值最值的理解和應用，提高數(shù)學素養(yǎng)和思維能力。03函數(shù)極值的概念CATALOGUE02函數(shù)在某點的值大于或小于其鄰近點的值，則稱該點為函數(shù)的極值點，函數(shù)在該點的值為極值。極值在極值點之前，函數(shù)單調(diào)遞增或遞減；在極值點之后，函數(shù)單調(diào)遞減或遞增。單調(diào)性極值點是唯一的，但極值可能不唯一。唯一性極值的定義03函數(shù)在某點的二階導數(shù)不為零。01函數(shù)在某點的導數(shù)為零；02函數(shù)在某點的左右兩側(cè)導數(shù)符號發(fā)生變化；極值的判定條件局部性極值只對其附近的函數(shù)值有影響，不影響函數(shù)在其他點的取值。相對性對于不同的函數(shù)，相同的點可能是極大值或極小值，或者不是極值點?？杉有詢蓚€極值的和不一定是極值，但極值的和一定是極值?？煞e性極值點在區(qū)間內(nèi)是可數(shù)的，且極值的積分等于零。極值的性質(zhì)函數(shù)最值的概念CATALOGUE03函數(shù)在某點的值大于或等于其鄰域內(nèi)所有點的值，則稱該點為函數(shù)的局部極大值點，對應的函數(shù)值為極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為最值。函數(shù)在某點的值小于或等于其鄰域內(nèi)所有點的值，則稱該點為函數(shù)的局部極小值點，對應的函數(shù)值為極小值。最值的定義一階導數(shù)判定法若一階導數(shù)在某點的值為0，且在點的一階導數(shù)左側(cè)為正，右側(cè)為負，則該點為極大值點；若在點的一階導數(shù)左側(cè)為負，右側(cè)為正，則該點為極小值點。二階導數(shù)判定法若二階導數(shù)在某點的值為0，且在點的二階導數(shù)左側(cè)為正，右側(cè)為負，則該點為極小值點；若在點的二階導數(shù)左側(cè)為負，右側(cè)為正，則該點為極大值點。最值的判定條件010203最值是函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的最大或最小值。最值的取得只與函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)，與函數(shù)的凹凸性無關(guān)。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定存在最值。最值的性質(zhì)函數(shù)極值與最值的求法CATALOGUE04通過判斷一階導數(shù)的正負性，確定函數(shù)在某點的單調(diào)性，進而確定極值。總結(jié)詞對于可導函數(shù)f(x)，如果在某點的導數(shù)f'(x)=0，那么該點可能是極值點。進一步，如果f'(x)在某點的左側(cè)為正，右側(cè)為負，則該點為極大值點；反之，如果f'(x)在某點的左側(cè)為負，右側(cè)為正，則該點為極小值點。詳細描述一階導數(shù)判定法總結(jié)詞通過判斷二階導數(shù)的正負性，確定一階導數(shù)在某點的增減性，進而確定極值。詳細描述對于二階可導函數(shù)f(x)，如果二階導數(shù)f''(x)在某點的左側(cè)為正，右側(cè)為負，則該點為一階導數(shù)的極大值點，對應原函數(shù)的極小值點；反之，如果f''(x)在某點的左側(cè)為負，右側(cè)為正，則該點為一階導數(shù)的極小值點，對應原函數(shù)的極大值點。二階導數(shù)判定法VS根據(jù)函數(shù)在極值點附近的性質(zhì)，給出判定極值的充分條件。詳細描述第一充分條件指出，如果函數(shù)在某點的導數(shù)存在且變號，則該點為極值點。第二充分條件則進一步指出，如果函數(shù)在某點的二階導數(shù)存在且變號，則該點為極值點?？偨Y(jié)詞極值的第一和第二充分條件總結(jié)詞通過比較函數(shù)在區(qū)間端點和區(qū)間內(nèi)極值點的函數(shù)值，確定函數(shù)的最值。要點一要點二詳細描述對于連續(xù)函數(shù)f(x)，如果在閉區(qū)間[a,b]上存在極值點x1,x2...xn，則函數(shù)在此區(qū)間上的最大值為max{f(x1),f(x2),...,f(xn)},最小值為min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}。如果區(qū)間內(nèi)沒有極值點，則需要比較區(qū)間端點的函數(shù)值來確定最值。最值求法函數(shù)極值與最值的應用CATALOGUE05在生產(chǎn)過程中，企業(yè)希望通過優(yōu)化生產(chǎn)函數(shù)，使得生產(chǎn)成本達到最小。這需要利用函數(shù)極值理論，找到使得成本最小的生產(chǎn)規(guī)模和資源配置方式。投資者在選擇投資組合時，希望最大化收益同時最小化風險。這需要利用函數(shù)最值理論，找到最優(yōu)的投資組合配置，使得預期收益與風險之間達到最佳平衡。生產(chǎn)成本最小化投資組合優(yōu)化在經(jīng)濟中的應用在物理中的應用在彈性力學中，物體在外力作用下會發(fā)生形變。通過研究彈性函數(shù)，可以找到物體形變的最小能量狀態(tài)，即最小勢能。這需要利用函數(shù)極值理論，確定物體形變后達到穩(wěn)定狀態(tài)的形狀和位置。彈性力學在光學設(shè)計中，透鏡的形狀和材料需要經(jīng)過精密計算以達到最佳的光學性能。通過利用函數(shù)最值理論，可以找到透鏡表面的曲率半徑，使得透鏡具有最小的畸變和最大的光通量。光學設(shè)計化學反應動力學在化學反應動力學中，研究反應速率與反應物濃度的關(guān)系是重要的。通過利用函數(shù)極值理論，可以找到反應速率最快時的反應物濃度，從而提高化學反應的效率。生物種群動態(tài)在生態(tài)學中，研究生物種群的動態(tài)變化是重要的。通過利用函數(shù)最值理論，可以找到種群數(shù)量增長最快或最慢時的環(huán)境條件，從而為保護生物多樣性和生態(tài)平衡提供科學依據(jù)。在其他領(lǐng)域的應用總結(jié)與展望CATALOGUE06本章總結(jié)函數(shù)極值的概念和性質(zhì)介紹了函數(shù)極值的定義、判定條件和性質(zhì)，以及極值在數(shù)學和實際應用中的意義。極值求法詳細介紹了求函數(shù)極值的幾種常用方法，如導數(shù)法、不等式法、泰勒展開法等，并給出了相應的例題和解析。最值的概念和求法介紹了函數(shù)最值的定義和求法，包括閉區(qū)間上的最值和開區(qū)間上的最值，以及最值在實際問題中的應用。極值與最值的比較通過比較極值和最值的異同點，幫助讀者更好地理解和應用這兩個概念。探索應用領(lǐng)域了解函數(shù)極值、最值以及單調(diào)性和凹凸性在各個領(lǐng)域的應用，探索如何將數(shù)學知識與實際問題相結(jié)合。學習下一章學習函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，掌握判定函數(shù)單調(diào)性和凹