矩陣的特征值問題課件

第七章

矩陣特征值計(jì)算內(nèi)容7.1引言7.2冪法及反冪法1設(shè)k/m=1，求固有頻率的特征方程7.1引言

物理、力學(xué)和工程技術(shù)中很多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值問題。例如，振動問題(大型橋梁或建筑物的振動、機(jī)械的振動、電磁震蕩等)，結(jié)構(gòu)屈曲，物理學(xué)中的某些臨界值的確定。它們都?xì)w結(jié)為下述數(shù)學(xué)問題。345677.2冪法及反冪法一、冪法冪法是一種求實(shí)矩陣A的按模最大的特征值λ1及其對應(yīng)的特征向量x1的方法。特別適合于大型稀疏矩陣。891011121314于是主特征值為：2.5365323；對應(yīng)特征向量為：(0.74820.64971)TkUk(規(guī)范化向量)Max(vk)01510…20(111)T(0.90910.81821)T(0.76510.66741)T(0.74940.65081)T…(0.74820.64971)T2.75000002.55879182.5380029…2.536532315二、加速方法161718kUk(規(guī)范化向量)Max(vk)05678910(111)(0.75160.65221)(0.74910.65111)(0.74880.65011)(0.74840.64991)(0.74830.64971)(0.74820.64971)1.79140111.78884431.78733001.78691521.78665871.7865914三、反冪法反冪法可求非奇異實(shí)矩陣的按模最小特征值及特征向量。也可用來計(jì)算對應(yīng)于一個(gè)給定近似特征值的特征向量。19202122232425kUkT(規(guī)范化向量)p+1/Max(vk)012345(111)(1-0.271604938-0.197530864)(1-0.23453776-0.171305338)(1-0.235114344-0.171625203)(1-0.23510535-0.171621118)(1-0.235105489-0.171621172)-13.40740741-13.21752930-13.22021864-13.22017941-13.2201799826%%求對稱正定矩陣的特征值問題%%A=[3-20;-25-3;0-37];%%對稱正定矩陣Epsilon=0.0001;%%迭代控制誤差%%求最大特征值及對應(yīng)的特征向量v=[1;1;1];%%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v));%%最大特征值的估計(jì)值while1v=A*v;Lambda_1=max(abs(v));v=v/Lambda_1;ifabs(Lambda_1-Lambda_0)<=Epsilondisplay('最大特征值')display(Lambda_1);display('最大特征值對應(yīng)的特征向量')display(v');breakendLambda_0=Lambda_1;end27%%求最小特征值及對應(yīng)的特征向量A=inv(A);%%求矩陣A的逆——好的做法是利用平方根法求逆v=[1;1;1];%%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v));%%最大特征值的估計(jì)值while1v=A*v;Lambda_1=max(abs(v));v=v/Lambda_1;ifabs(Lambda_1-Lambda_0)<=Epsilondisplay('最小特征值')Lambda_1=1/Lambda_1;%%注意倒數(shù)

display(Lambda_1);display('最小特征值對應(yīng)的特征向量')display(v');breakendLambda_0=Lambda_1;end28矩陣特征值與特征向量的計(jì)算重要概念（特征值，特征向量，正交相似變換，反射變換，平面旋轉(zhuǎn)變換，QR分解）迭代法冪法（原理、