線性代數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第四章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理1§4.1線性方程組解的存在性定理在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性方程組的求和存在性問(wèn)題，本章將在整理前面知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。2(4-1)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)3非齊次方程組解的存在性定理定理4.1.1對(duì)于非齊次方程組(4-1)向量可由A的列向量組線性表示。4定理4.1.2設(shè)的線性方程組的系數(shù)行列式Cramer法那么那么方程組有唯一解,且解為:(4-2)5齊次方程組解的存在性定理(4-3)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)6定理4.1.3對(duì)于齊次方程組(1)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(2)A的列向量組線性相關(guān)推論1當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，那么(4-3)必有非零解。7定理4.1.4設(shè)的線性方程組有非零解(4-4)學(xué)習(xí)書P135例28第四章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理9§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無(wú)關(guān)組(又稱為根底解系)如何求?齊次方程組(假設(shè)有無(wú)窮多解)(1)解集的特點(diǎn)?稱：10性質(zhì)1：假設(shè)是(4-3)的解，解空間:的所有解向量的集合S，對(duì)加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為這個(gè)齊次線性方程組的解空間。性質(zhì)2：注：如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。性質(zhì)推論1而在解空間中，基的概念我們?cè)谶@里稱為根底解系。首先答復(fù)以下問(wèn)題(1)11設(shè)是的解，滿足線性無(wú)關(guān)；的任一解都可以由線性是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。基礎(chǔ)解系表示,那么稱下面我們用一個(gè)例子答復(fù)第(2)和第(3)個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也是定理的例證。(取任意實(shí)數(shù))從而也是(4-3)的解。12通過(guò)下面的例子,針對(duì)一般的方程組例1答復(fù)所提問(wèn)題.第一步:對(duì)系數(shù)矩陣A初等行變換化行最簡(jiǎn)形B從行最簡(jiǎn)形能得到什么？13第二步：寫出同解的方程組(保存第一個(gè)未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量)自由變量的個(gè)數(shù)=?第三步:令自由變量為任意實(shí)數(shù)寫出通解，再改寫成向量形式14是解嗎?線性無(wú)關(guān)嗎?任一解都可由表示嗎?是基礎(chǔ)解系嗎?根底解系所含向量的個(gè)數(shù)=?第四步:寫出根底解系再來(lái)分析一下根底解系的由來(lái):第二步的同解方程組為第三步的通解為15就是取代入同解方程組(1)中求得然后再拼成的解向量.類似的……這就啟發(fā)我們,由于根底解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好等于自由變量的個(gè)數(shù)(這里3個(gè)).只要令為三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.代入同解方程組(1)中求得然后再拼成解向量.必然是線性無(wú)關(guān)的,從而也是根底解系.由此得到解法2.16第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基礎(chǔ)解系:第四步:寫出通解17設(shè)是矩陣，如果那么齊次線性方程組的根底解系存在，且每個(gè)根底解系中含有個(gè)解向量。定理4.2.1推論2設(shè)是矩陣，如果那么齊次線性方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量均可構(gòu)成根底解系。18例2設(shè),是的兩個(gè)不同的解向量,k取任意實(shí)數(shù),那么Ax=0的通解是19設(shè),證明證記則由說(shuō)明都是的解因此移項(xiàng)重要結(jié)論推論320且線性無(wú)關(guān)，那么_______是AX=O的根底解系。(2),(3)那么_______可為AX=O的根底解系。(4)練習(xí)(1)(2)21例3證明設(shè),首先證明利用這一結(jié)論證重要結(jié)論22例4求一個(gè)齊次方程組,使它的根底解系為記之為AB=O,這相當(dāng)于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知的A放在右邊,轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為,則取即可.解23第四章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理24§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)以下總假設(shè)有解,而其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的根底解系為這里25性質(zhì)(1)設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個(gè)解(固定),則對(duì)(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齊次方程組的解集不是空間。26定理4.3.1設(shè)是(1)的任一解,則(1)的通解為例5解27在對(duì)應(yīng)的齊次方程中取得齊次方程組的根底解系于是所有通解即得方程組的一個(gè)解28設(shè)是非齊次方程組Ax=b的解,則是Ax=0的解是Ax=b的解例6※※29例7設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知