適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差探究導(dǎo)學(xué)課件新人教A版選擇性必修第三冊

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差第七章新課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)風(fēng)向標(biāo)1.通過實例理解離散型隨機(jī)變量方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實際問題.1.理解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念與意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)3.掌握方差的性質(zhì).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探主題1

離散型隨機(jī)變量的方差

甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相同,所得次品數(shù)分別為X,Y,X和Y的分布列如表.X012PY012P

(2)甲、乙兩名工人技術(shù)的穩(wěn)定性如何?提示:作出兩名工人的概率分布圖如圖,比較兩個圖形發(fā)現(xiàn)乙工人的技術(shù)水平比較穩(wěn)定.(3)如何定量刻畫兩名工人技術(shù)的穩(wěn)定性呢?提示:可通過離散型隨機(jī)變量的方差來定量刻畫兩名工人技術(shù)的穩(wěn)定性.結(jié)論:離散型隨機(jī)變量的方差(1)方差:如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如表.Xx1x2…xnPp1p2…pn

【對點練】1.隨機(jī)變量X的分布列如表,則D(X)= (

)X01P

2.隨機(jī)變量X的分布列如表,X012Pxyz

結(jié)論:(1)若隨機(jī)變量X服從兩點分布,則D(X)=p(1-p);(2)若隨機(jī)變量X,Y滿足Y=aX+b(a≠0)a,b為常數(shù),則D(Y)=D(aX+b)=_______.a2D(X)【對點練】1.已知隨機(jī)變量ξ,η滿足η=2ξ+1,且E(ξ)=1,D(η)=2,則 (

)A.E(η)=2,D(ξ)=1B.E(η)=2,D(ξ)=0.5C.E(η)=3,D(ξ)=1D.E(η)=3,D(ξ)=0.5【解析】選D.因為η=2ξ+1,E(ξ)=1,D(η)=2,所以E(η)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=3,D(η)=D(2ξ+1)=22D(ξ)=2,所以D(ξ)=0.5.

核心互動探究

所以,隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ04080120160P

【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如表所示:ξ123Pabc

探究點二

離散型隨機(jī)變量方差性質(zhì)的應(yīng)用【典例2】已知X的分布列為X010205060P(1)求D(X);(2)設(shè)Y=2X-E(X),求D(Y).【思維導(dǎo)引】(1)先根據(jù)分布列求期望,再利用方差公式求方差.(2)將E(X)的值代入,利用公式

D(aX+b)=a2D(X)求解.

【類題通法】方差性質(zhì)的應(yīng)用對于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η=aξ+b的分布列,又避免了繁雜的計算,簡化了計算過程.

X-101Pab

2.已知隨機(jī)變量ξ,η滿足η=-2ξ+5,若E(ξ)=3,D(ξ)=2,則 (

)A.E(η)=-1,D(η)=8B.E(η)=-1,D(η)=-4C.E(η)=3,D(η)=2D.E(η)=-3,D(η)=1【解析】選A.因為η=-2ξ+5,所以E(η)=-2E(ξ)+5,D(η)=(-2)2D(ξ),又E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以E(η)=-1,D(η)=8.3.已知甲口袋中有3個白球,2個黑球,乙口袋中有1個白球,3個黑球,分別從兩個口袋中各取2個球,X表示從甲口袋中取出的白球數(shù),Y表示從乙口袋中取出的黑球數(shù),ξ表示兩個口袋中取出的球放在一起時的黑球數(shù),則E(X+Y)=

,D(ξ)=

.

故X+Y的分布列:X+Y1234P

2-X012P同理2-X+Y的分布列2-X+Y1234P

ξ300-150P

η5000-300P

【類題通法】方差在實際問題中的應(yīng)用均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,如果兩個隨機(jī)變量的均值相等,還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化,方差大,說明隨機(jī)變量取值較分散,方差小,說明取值較集中.【定向訓(xùn)練】

為選拔奧運(yùn)會射擊選手,對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ,η,甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,a,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.【解析】(1)依據(jù)題意知,0.5+3a+a+a=1,解得a=0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中ξ,η的分布列,可得:E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.因為E(ξ)>E(η),說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高,又因為D(ξ)<D(η),說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中,比較穩(wěn)定,所以甲的射擊技術(shù)好,故應(yīng)選甲.課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,則E(ξ)和D(ξ)的值分別為 (

)A.0.6和0.7 B