等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教者：劉宏斌教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。

過程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識階段。探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點(diǎn)。如果直接介紹“逆序相加〞求和，無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子〞。所以在教學(xué)中采用以問題驅(qū)動、層層鋪墊，從特殊到一般啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方法。應(yīng)用公式也是教學(xué)的重點(diǎn)。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，可采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段，通過“選擇公式〞，“變用公式〞，“知三求二〞三個層次來促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。二、教法分析三、學(xué)法分析建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動的建構(gòu)知識的過程，學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和開展，通過觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會學(xué)習(xí)，開展能力。三、教學(xué)過程問題呈現(xiàn)階段探究發(fā)現(xiàn)階段公式應(yīng)用階段問題呈現(xiàn)

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層〔見左圖〕，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？設(shè)計(jì)說明源于歷史，富有人文氣息.圖中算數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.承上啟下，探討高斯算法.探究發(fā)現(xiàn)學(xué)生表達(dá)高斯首尾配對的方法學(xué)生對高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對的方法來求和，但是他們對這種方法的認(rèn)識可能處于模仿、記憶的階段。為了促進(jìn)學(xué)生對這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了下面問題。探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個項(xiàng)和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項(xiàng)求和的方法，需要把中間項(xiàng)11看成首、尾兩項(xiàng)1和21的等差中項(xiàng)。通過前后比較得出認(rèn)識：高斯“首尾配對〞的算法還得分奇、偶個項(xiàng)的情況求和。進(jìn)而提出有無簡單的方法？探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形〞倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：探究發(fā)現(xiàn)從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個正整數(shù)之和，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)“逆序相加求和〞這一算法的合理性，從心理上完成對“首尾配對求和〞算法的改進(jìn)。問題2：求1到n的正整數(shù)之和。

探究發(fā)現(xiàn)問題3：由于前面的鋪墊，學(xué)生容易得出如下過程：

追問學(xué)生：為什么在等差數(shù)列中有圖形直觀等差數(shù)列的性質(zhì)探究發(fā)現(xiàn)問題4：如果小華同學(xué)目前還不知道等差數(shù)列的這個性質(zhì)，你又該如何解釋呢？

在圖與式的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生用項(xiàng)〔首項(xiàng)或尾項(xiàng)〕、公差兩個根本元表示等差數(shù)列。探究發(fā)現(xiàn)問題4：a1anna1a1(n-1)dnn公式記憶方法:設(shè)計(jì)說明〔方法１〕許多的教學(xué)設(shè)計(jì)在介紹“等差數(shù)列前n項(xiàng)和〞教學(xué)時(shí)，先復(fù)習(xí)或介紹等差數(shù)列的性質(zhì)，然后在此根底上采用逆序相加推導(dǎo)公式?！卜椒ǎ病惩茖?dǎo)方法是先把等差數(shù)列用項(xiàng)〔首項(xiàng)、尾項(xiàng)〕、公差兩個根本元表示，然后采用逆序相加推導(dǎo)公式。公式應(yīng)用選用公式變用公式知三求二公式應(yīng)用750080008500900095001000010500例１某長跑運(yùn)動員７天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：這位長跑運(yùn)動員７天共跑了多少米？本例提供了許多數(shù)據(jù)信息，學(xué)生可以從首項(xiàng)、尾項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式1，也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式2求和。到達(dá)學(xué)生熟悉公式的要素與結(jié)構(gòu)的教學(xué)目的。通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該根據(jù)信息選擇適當(dāng)?shù)墓剑员阌谟?jì)算。選用公式公式應(yīng)用變用公式例２等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…的前多少項(xiàng)的和為54？本例首項(xiàng)，前n項(xiàng)和、并且可以求出公差，利用公式2求項(xiàng)數(shù)。事實(shí)上，在兩個求和公式中各包含四個元素，從方程的角度，知三必能求余一。變式練習(xí)公式應(yīng)用知三求二本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式求未知元。可以使用公式2，先求出首項(xiàng)，再使用通項(xiàng)公式求尾項(xiàng)。也可以使用公式1和通項(xiàng)公式，聯(lián)列方程組求解。事實(shí)上，在求和公式、通項(xiàng)公式中共有首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、尾項(xiàng)、前n項(xiàng)和五個元素，如果其中三個，聯(lián)列方程組，就可求其余二個。例３小結(jié)：1等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:

回憶從特殊到一般的研究方法；體會等差數(shù)列的根本元表示方法，逆序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；掌握等差數(shù)列的兩個求和公式及簡單應(yīng)用。作業(yè)布置A必做題：課本17頁，練習(xí)１、２、３；習(xí)題第２題（３、４）B選做