帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方法總結(jié)

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方法總結(jié)20231106帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，這些考題不僅涉及到洛倫茲力作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題、運(yùn)用數(shù)字知識(shí)解決物理問(wèn)題的難度較大的考題。但無(wú)論這類問(wèn)題情景多么新穎、設(shè)問(wèn)多么巧妙，其關(guān)鍵一點(diǎn)在于標(biāo)準(zhǔn)、準(zhǔn)確地畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。只要確定了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，問(wèn)題便迎刃而解?，F(xiàn)將確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的方法總結(jié)如下：一、對(duì)稱法帶電粒子如果從勻強(qiáng)磁場(chǎng)的直線邊界射入又從該邊界射出，那么其軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)線段的中垂線對(duì)稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等〔如圖1〕；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，那么其射出磁場(chǎng)時(shí)速度延長(zhǎng)線必過(guò)圓心〔如圖2〕。利用這兩個(gè)結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。例1．如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場(chǎng)〔電子質(zhì)量為m，電荷為e〕，它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？例2．如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)，并由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為圓形磁場(chǎng)的圓心。當(dāng)∠MON＝120°時(shí)，求：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場(chǎng)區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。例3：可控?zé)岷司圩兎错懚旬a(chǎn)生能的方式和太陽(yáng)類似，因此，它被俗稱為“人造太陽(yáng)〞．熱核反響的發(fā)生，需要幾千萬(wàn)度以上的高溫，然而反響中的大量帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝．人類正在積極探索各種約束裝置，磁約束托卡馬克裝置就是其中一種．如下圖為該裝置的簡(jiǎn)化模型．有一個(gè)圓環(huán)形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其截面內(nèi)半徑為R1＝1.0m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝1.0T，被約束粒子的比荷為q/m＝4.0×107C/kg，該帶電粒子從中空區(qū)域與磁場(chǎng)交界面的P點(diǎn)以速度V0＝4.0×107m/s沿環(huán)的半徑方向射入磁場(chǎng)(1)為約束該粒子不穿越磁場(chǎng)外邊界，求磁場(chǎng)區(qū)域的最小外半徑R2；(2)假設(shè)該粒子從P點(diǎn)沿任意方向射入，但速度大小仍為V0，求磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑R2'(3)假設(shè)只改變?cè)摿Ｗ拥娜肷渌俣萔，使V＝eq\f(\r(3),3)V0，求該粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)開始到第一次回到P點(diǎn)所需要的時(shí)間t.例4：如下圖，在某空間實(shí)驗(yàn)室中，有兩個(gè)靠在一起的等大的圓柱形區(qū)域，分別存在著等大反向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.10T，磁場(chǎng)區(qū)域半徑r＝eq\f(2,3)eq\r(3)m，左側(cè)區(qū)圓心為O1，磁場(chǎng)向里，右側(cè)區(qū)圓心為O2，磁場(chǎng)向外，兩區(qū)域切點(diǎn)為C.今有質(zhì)量m＝3.2×10－26kg、帶電荷量q＝1.6×10－19C的某種離子，從左側(cè)區(qū)邊緣的A點(diǎn)以速度v＝1×106m/s正對(duì)O1的方向垂直射入磁場(chǎng)，它將穿越C點(diǎn)后再?gòu)挠覀?cè)區(qū)穿出．求：(1)該離子通過(guò)兩磁場(chǎng)區(qū)域所用的時(shí)間；(2)離子離開右側(cè)區(qū)域的出射點(diǎn)偏離最初入射方向的側(cè)移距離多大？(側(cè)移距離指垂直初速度方向上移動(dòng)的距離)例5：如圖17所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以直徑A2A4為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4與A1A3的夾角為60°.一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點(diǎn)A1處沿與A1A3成30°角的方向射入磁場(chǎng)，隨后該粒子以垂直于A2A4的方向經(jīng)過(guò)圓心O進(jìn)入Ⅱ區(qū)，最后再?gòu)腁4處射出磁場(chǎng)．該粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為t，求Ⅰ區(qū)和Ⅱ練習(xí)：如下圖，一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，初速度為V，方向沿x正方向。后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L(zhǎng)，如下圖，不計(jì)重力的影響，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。例6：〔2023重慶理綜〕圖為一種質(zhì)譜儀工作原理圖。在以O(shè)為圓心，OH為對(duì)稱軸，夾角為2α的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，對(duì)稱于OH軸的C和D分別是離子發(fā)射點(diǎn)和收集點(diǎn)。CM垂直磁場(chǎng)左邊界于M，且OM=d，現(xiàn)有一正離子束以小發(fā)射角〔紙面內(nèi)〕從C射出，這些離子在CM方向上的分速度均為V0，假設(shè)該離子束中比荷為qm的離子都會(huì)聚到D，試求：〔1〕磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向〔提示：可考慮沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子為研究對(duì)象〕；〔2〕離子沿與CM成θ角的直線CN進(jìn)入磁場(chǎng)，其軌道半徑和在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；〔3〕線段CM的長(zhǎng)度。二、旋移圓法在磁場(chǎng)中向垂直于磁場(chǎng)的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓〔如圖7〕，或者把一圓周向各個(gè)方向推移，用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。例7：如圖11－2－9所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于圓平面(未畫出)．一群比荷為q/m的負(fù)離子體以相同速率V0(較大)，由P點(diǎn)在紙平面內(nèi)向不同方向射入磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，又飛出磁場(chǎng)，那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是(不計(jì)重力)()A、離子飛出磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能一定相等B、離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑一定相等C、由Q點(diǎn)飛出的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)D、沿PQ方向射入的離子飛出時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大例8：如圖8所示，紙面內(nèi)有寬為L(zhǎng)水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為－q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都會(huì)聚到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，那么磁場(chǎng)區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是(其中B0＝eq\f(mv0,qL)，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的eq\f(1,4)圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑是eq\f(L,2)的圓)()例9：如圖8所示，S為電子源，它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為v0，質(zhì)量為m，電量為q的電子〔q<0〕，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L(zhǎng)，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為mv0/qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？例10：〔2023全國(guó)新課程卷〕如圖10所示，在0≤x≤a．0≤y≤a/2范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的：〔1〕速度大??；〔2〕速度方向與y軸正方向夾角正弦。三、縮放圓法帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓〔如圖12〕，利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問(wèn)題得到解決。例11：如圖13所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與邊界的夾角為θ，電子的質(zhì)量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。例12：〔2023全國(guó)II卷〕如圖15所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方向平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG〔EF邊與金屬板垂直〕，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。〔1〕這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；〔2〕這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)〔圖中未畫出〕穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3a/4〔3〕假設(shè)這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？四、臨界法以題目中的“恰好〞“最大〞“最高〞“至少〞等詞語(yǔ)為突破口，借助半徑r和速度v以及磁場(chǎng)B之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值，畫出臨界點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵。例13：如圖11－2－10所示，長(zhǎng)方形區(qū)域abcd，長(zhǎng)ad＝0.6m，寬ab＝0.3m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(邊界上無(wú)磁場(chǎng))，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.25T．一群不計(jì)重力、質(zhì)量m＝3×10－7kg、電荷量q＝＋2×10－3C的帶電粒子以速度v＝5×102m/s沿垂直ad的方向垂直于磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域()A、從Od段射入的粒子，出射點(diǎn)全局部布在Oa段B、從Oa段射入的粒子，出射點(diǎn)全局部布在ab邊C、從Od段射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa段和ab邊D、從Oa段射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和bc邊例14：長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖19所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L(zhǎng)，兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m電量為q的帶負(fù)電粒子〔不計(jì)重力〕從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以水平速度v射入磁場(chǎng)，欲使粒子打到極板上，求初速度的范圍。例15：如圖22，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊中點(diǎn)O射出與Od邊夾角為30°，大小為v0的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m,電量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力忽略不計(jì)。求：〔1〕試求粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0的大小范圍；〔2〕粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和在這種情況下粒子從磁場(chǎng)中射出所在邊上位置的范圍。五、非圓周運(yùn)動(dòng)類例16：如下圖，空間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和水平方向〔垂直紙面向里〕的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一離子在電場(chǎng)力和洛倫茲力共同作用下，從靜止開始自A點(diǎn)沿曲線ACB運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為零，C為運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，不計(jì)重力，那么〔〕A、該離子必帶正電B、A、B兩點(diǎn)位于同一高度C、離子到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度最大D、離子到達(dá)B點(diǎn)后，將沿原路返回A點(diǎn)例17：一個(gè)帶正電的小球沿光滑絕緣的桌面向右運(yùn)動(dòng)，速度方向垂直于一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖7所示，小球飛離桌面后落到地板上，設(shè)飛行時(shí)間為t1，水平射程為s1，著地速度為v1，撤去磁場(chǎng)，其余的條件不變，小球飛行時(shí)間為t2，水平射程為s2，著地速度為v2.那么以下論述正確的選項(xiàng)是()A、s1>s2B、t1>t2C、v1和v2大小相等D、v1和v2方向相同例18：如下圖，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，一帶電微粒從磁場(chǎng)邊界d點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，沿曲線dPa打到屏MN上的a點(diǎn)，通過(guò)Pa段用時(shí)為t.假設(shè)該微粒經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，與一靜止的不帶電微粒碰撞并結(jié)合為一個(gè)新微粒，最終打到屏MN上。兩個(gè)微粒所受重力均忽略。新微粒運(yùn)動(dòng)的〔〕A、軌跡為Pb，至屏幕的時(shí)間將小于tB、軌跡為Pc，至屏幕的時(shí)間將小于tC、軌跡為Pb，至屏幕的時(shí)間將等于tD、軌跡為Pa，至屏幕的時(shí)間將大于t例19：如圖11－2－5所示，下端封閉、上端開口，高h(yuǎn)＝5m、內(nèi)壁光滑的細(xì)玻璃管豎直放置，管底有一質(zhì)量m＝10g、電荷量q＝0.2C的小球．整個(gè)裝置以v＝5m/s的速度沿垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入B＝0.2T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，由于外力的作用，玻璃管在磁場(chǎng)中的速度保持不變，最終小球從上端管口飛出．取g＝10m/s2.求：(1)小球的帶電性．(2)小球在管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．(3)小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中增加的機(jī)械能．例20：如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，第一、四象限存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向分別垂直紙面向外和垂直紙面向內(nèi)?，F(xiàn)有一內(nèi)壁光滑且與y軸平行的長(zhǎng)直玻璃圓管沿x軸正方向做勻速運(yùn)動(dòng)，管口a恰好在x軸上。某時(shí)刻一質(zhì)量為m、電荷量為q〔q>0〕的小球從y軸上P點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)中，初速度為圓管運(yùn)動(dòng)速度的2倍。當(dāng)管口運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)〔x0，0〕時(shí)小球恰好無(wú)碰撞進(jìn)入圓管，此時(shí)立即對(duì)圓管施加一外力，使圓管始終與y軸平行且速度不變。假設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的電荷量始終保持不變，小球、圓管的重力和空氣阻力均不計(jì)，圓管直徑略大于小球直徑?！?〕求小球射入磁場(chǎng)時(shí)的初速度V0；〔2〕求小球在管中沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)過(guò)程所用的時(shí)間t0和這段時(shí)間內(nèi)外力做的功W；〔3〕將小球在管中運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中外力〔設(shè)為F〕隨時(shí)間t變化的圖線畫在圖乙上〔設(shè)t=0時(shí)刻小球剛好進(jìn)入管口，不必寫出分析計(jì)算過(guò)程〕。答案：例1：s=2mvBe?t=4πm3Be例2：R=3rt=3πr3V0例3：(1)2.41m(