第20講 第十一章 動量矩定理

動力學動量矩定理§10-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩§10-2動量矩定理§10-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程§11-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量

質(zhì)點、質(zhì)點系動量矩的定義及求解，動量矩定理、動量矩守恒定律及其應(yīng)用。教學要求：

2、

理解平動、平面運動剛體對固定點的動量矩的計算3、

掌握動量矩定理、動量矩守恒定律及其應(yīng)用。

重點：動量矩計算、動量矩定理、動量矩守恒定律難點：平面運動剛體對固定點的動量矩學時安排：2第20講的內(nèi)容、要求、重難點教學內(nèi)容：1、了解動量矩定理在工程和生活實際中的某些運用。應(yīng)用動量定理只能分析出其質(zhì)心加速度觀察貓的自由下落第十一章動量矩定理

幾個實際問題第十一章動量矩定理

§11-1動量矩

質(zhì)點的動量矩

質(zhì)點系的動量矩

平動剛體對固定點的動量矩

定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩

質(zhì)點系對固定點的動量矩的另一種表示§11-1動量矩質(zhì)點A的動量mv

對點O的矩，定義為質(zhì)點A對點O的動量矩。MO(mv)=r

mv一、質(zhì)點的動量矩

1.定義：OAxyzmvrMO(mv)2、大小方向：方向垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為:3、單位：動量矩的單位是kg?m2/s。動量矩的大小和方向是隨矩心的改變而改變的，動量矩MO(mv)必須從矩心O畫出。和力對點之矢矩一樣是定位矢。LO

=∑MO(mivi)=∑r

mivi質(zhì)點系對某軸

的動量矩為質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點對各坐標軸的動量矩的代數(shù)和：Lx

=

∑Mx(mivi)Ly

=

∑My(mivi)Lz

=

∑Mz(mivi)

質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點對某點O的動量矩的矢量和，稱為質(zhì)點系對該點

的動量主矩，簡稱動量矩。用LO表示：§11-1動量矩

1.對點的動量矩2.對軸的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩設(shè)剛體以速度

v

平動，剛體內(nèi)任一點A的矢徑是ri

,該點的質(zhì)量為mi，速度大小是vi

。=∑(miri)×vC從而整個剛體對點O的動量矩：該質(zhì)點對點O的動量矩為：

MO(mivi)=ri

×mivi§11-1動量矩OriAmivi因為剛體平動：

vi=v=vCLO=∑

MO(mivi)又因為：

∑miri=∑mi

?rC

三、平動剛體對固定點O的動量矩=

∑mi

?rC×vC=rC×∑mi

vC=rC×m

vCm平動剛體對某固定點的動量矩，可歸結(jié)為集中了所有質(zhì)點質(zhì)量的質(zhì)心動量對該固定點的動量矩。=∑ri

×mivi設(shè)剛體以角速度

繞固定軸

z

轉(zhuǎn)動，剛體內(nèi)任一點A的轉(zhuǎn)動半徑是rz

。Mz(mv)=rz

·m(

rz

)=

mrz2

從而整個剛體對軸z

的動量矩Lz

=∑Mz(mivi)=

∑miriz2=

Jz

即，作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩，等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。為了計算方便，人為規(guī)定從軸的正向往負向看，逆針向為正。該點的速度大小是v

=rz

，方向同時垂直于軸z

和轉(zhuǎn)動半徑rz，且指向轉(zhuǎn)動前進的一方。若用m

表示該質(zhì)點的質(zhì)量，則其動量對轉(zhuǎn)軸z

的動量矩為§11-1動量矩17-9(b)mvzOωArz四、定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩§11-1動量矩一半徑為R、質(zhì)量為m1的勻質(zhì)圓盤與一長為l、質(zhì)量為m2的勻質(zhì)細桿相固連，以角速度

在鉛直面轉(zhuǎn)動。試求該系統(tǒng)對O軸的動量矩。OCl解:

系統(tǒng)做定軸轉(zhuǎn)動，該系統(tǒng)對O軸的動量矩

順時針。

思考題

思考題1m2m1§11-1動量矩五、質(zhì)點系對固定點O的動量矩的另一種表示過固定點O建立固定坐標系Oxyz，以質(zhì)點系的質(zhì)心C為原點，取平動坐標系Cx

y

z

,質(zhì)點系對固定點O的動量矩為LC——質(zhì)點系相對質(zhì)心C的動量矩OxyzvivCAz'y'x'vievirCrCr’i上式即平面運動剛體對固定點O的動量矩計算公式mim例題1：一半徑為r的勻質(zhì)圓盤在水平面上純滾動，如圖所示。已知圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JO，角速度為

。試求圓盤對水平面上O1點的動量矩?！?1-1動量矩思考：平面問題中動量矩是矢量還是標量？

OrO1（２）求圓盤對水平面上O1點的動量矩：則解:(1)求質(zhì)心O點的速度為vO

。圓盤以I為瞬心做瞬時轉(zhuǎn)動：IvO方法二：計算可以與力矩的計算類比，過O點向動量mvO作垂線段長，動量臂為r

例2：行星齒輪機構(gòu)在水平面內(nèi)運動。質(zhì)量為m1的均質(zhì)曲柄OA帶動行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。求輪II對軸O的動量矩。ω0ⅠⅡOAPr1r2α§11-1動量矩ω2（2）求輪II對軸O的動量矩

解:(1）求行星齒輪的角速：齒輪II作平面運動,與齒輪I接觸點P為瞬心m2vA例3長度為l，質(zhì)量不計的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤B在A處鉸接。桿OA有角速度ω

，輪B有相對桿OA的角速度ω

（逆時針向）。求圓盤對軸O的動量矩。OθBAωω§11-1動量矩解：根據(jù)質(zhì)點系對固定點的動量矩公式則動量矩的大小為：lRmvAOθBAω例3‘長度為l，質(zhì)量不計的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤B固結(jié)，桿OA有角速度ω

，（逆時針向）。求圓盤對軸O的動量矩。§11-1動量矩解:勻質(zhì)圓盤B定軸轉(zhuǎn)動。

例3‘‘

長度為l，質(zhì)量不計的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤B在A處鉸接，桿OA有角速度ω

，輪B有相對桿OA的角速度－ω

。求圓盤對軸O的動量矩。OθBAωω§11-1動量矩解:ωr=-ω,勻質(zhì)圓盤B平移。vA圓盤相對于OA桿的運動運動情況有三種情況，動量矩將不同OθBAωω§11-1動量矩比較OθBAωωOθBAω§11-2動量矩定理

動量矩定理

動量矩守恒定理§11-2動量矩定理1.對定點的動量矩定理將其兩端求時間的導數(shù)，得一、動量矩定理

因為質(zhì)點系對定點O的動量矩為其中可分為外力對O點的矩和內(nèi)力對O點的矩二項即而內(nèi)力對O點的矩所以有0結(jié)論:質(zhì)點系對某固定點的動量矩隨時間的變化率,等于作用于質(zhì)點系的全部外力對同一點的矩的矢量和，這就是質(zhì)點系對定點的動量矩定理。令，則有§11-2動量矩定理將上式投影到固定坐標軸系上，注意到導數(shù)的投影等于投影的導數(shù)，則得

對定點的動量矩定理2.對定軸的動量矩定理有結(jié)論

質(zhì)點系對某固定軸的動量矩隨時間的變化率,等于作用于質(zhì)點系的全部外力對同一軸的矩的代數(shù)和，這就是質(zhì)點系對定軸的動量矩定理。1.如果∑MO(Fi（e))

0，則由上面第一式可知，LO=常矢量。2.如果∑Mz

(F（e）)

0，則由上面第二式可知，Lz=常量?！?1-2動量矩定理對定點的動量矩定理對定軸的動量矩定理有結(jié)論二、動量矩守恒定理如作用于質(zhì)點系的所有外力對某固定點(或固定軸)的主矩始終等于零,則質(zhì)點系對該點(或該軸)的動量矩保持不變。這就是質(zhì)點系的動量矩守恒定理。它說明了質(zhì)點系動量矩守恒的條件?！?1-2動量矩定理

實例分析

實例之一：

爬繩比賽的力學分析

？誰最先到達頂點§11-2動量矩定理

實例分析

實例之一：

爬繩比賽的力學分析

初始靜止Lz0=0

把單擺看成一個在圓弧上運動的質(zhì)點

A，設(shè)其質(zhì)量為

m

，擺線長

l。又設(shè)在任一瞬時質(zhì)點

A

具有速度

v

，擺線

OA

與鉛垂線的夾角是

。例題11-4

試用動量矩定理導出單擺(數(shù)學擺)的運動微分方程解：

取通過懸點

O

而垂直于運動平面的固定軸z

作為矩軸，對此軸應(yīng)用質(zhì)點的動量矩定理§11-2動量矩定理OAmgFvφl和從而可得化簡即得單擺的運動微分方程:由于動量矩和力矩分別是

例題11-5

摩擦離合器靠接合面的摩擦進行傳動。在接合前，已知主動軸1以角速度

0轉(zhuǎn)動，而從動軸2處于靜止(圖a)。一經(jīng)結(jié)合后，軸1

的轉(zhuǎn)速迅速減慢。軸2的轉(zhuǎn)速迅速加快，兩軸最后以相同角速度轉(zhuǎn)動(圖b)。已知軸1和軸2連同各自的附件對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別是J1和J2

，試求：接合后的共同角速度

，軸承的摩擦不計?！?1-2動量矩定理(a)(b)

012

12例題11-2離合器接合后，系統(tǒng)的動量矩是：(J1+J2)

。從而求得結(jié)合后的共同角速度ω顯然：

的轉(zhuǎn)向與

0相同。

取軸1和軸2組成的系統(tǒng)作為研究對象。解:§11-2動量矩定理接合時作用在兩軸的外力對公共轉(zhuǎn)軸的矩都等于零，故系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的總動量矩不變。接合前系統(tǒng)的動量矩是：(J1

0+J2

0)

。故由動量矩守恒定理得

12

例題11-5例題11-6如圖所示，在靜止的水平勻質(zhì)圓盤上，一人沿盤邊緣由靜止開始相對盤以速度u行走，設(shè)人質(zhì)量為m2，盤的質(zhì)量為m1

，盤半徑r，摩擦不計。求盤的角速度。uABzrOω例題11-3§11-2動量矩定理ABzrOuω解：（1）以人和盤為研究對象，寫出任意時刻的動量矩：FBzm2gm1gFAxFAy且初始靜止Lz0=0

例題11-6§11-2動量矩定理FByFBxω（2）由動量矩定理求盤的角速度ω例題11-7勻質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。例題11-4§11-2動量矩定理OW

解：（1)以整個系統(tǒng)為研究對象。設(shè)圓輪的角速圓輪對軸O的動量矩：重物對軸O的動量矩：系統(tǒng)對軸O的總動量矩:和角加速度分別為

和

，重物的加速度為aP。（順時針）(順時針)(順時針)

OWvaP

例題11-7§11-2動量矩定理R、m，重W，求：重物加速度(2)應(yīng)用動量矩定理aP

=

R

有所以重物下落的加速度大小為:第十一章動量矩定理

實例之一：

花樣跳水與花樣滑冰

例題11-8

兩個鼓輪固連在一起，其總質(zhì)量是

m

，對水平轉(zhuǎn)軸

O的轉(zhuǎn)動慣量是

JO。鼓輪的半徑是

r1

和

r2

。繩端懸掛的重物

A和

B

質(zhì)量分別是

m1

和

m2

(圖a)，且

m1

>

m2

。試求鼓輪的角加速度。§11-2動量矩定理(a)OABr1r2例題11-5

取鼓輪，重物

A

，

B

和繩索為研究對象(圖b)。對鼓輪的轉(zhuǎn)軸

z

(垂直于圖面，指向讀者)應(yīng)用動量矩定理，有解:§11-2動量矩定理OABr1r2(b)v1

αv2m1gm0gm2gF0y系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，等于考慮到

v1

=

r1

，v2

=

r2

，則得

例題11-8從而求出鼓輪的角加速度方向為逆鐘向?！?1-2動量矩定理將式

(2)

和

(3)

代入方程即得OABr1r2(b)v1

αv2m1gm0gm2gF0y

例題11-8剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程，質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理，剛體的平面運動微分方程及其應(yīng)用。教學要求：

2、

理解質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理3、

掌握剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用

重點：剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程難點：剛體的平面運動微分方程推導學時安排：2第26講的內(nèi)容、要求、重難點教學內(nèi)容：1、了解剛體的平面運動微分方程及其應(yīng)用第十一章動量矩定理第25講目錄§11-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程§11-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理§11-6剛體的平面運動微分方程yxBAz§11-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程

設(shè)剛體在主動力F1,F2,···,Fn作用下繞定軸z

轉(zhuǎn)動，與此同時,軸承上產(chǎn)生了反力FA和FB。一、定軸轉(zhuǎn)動微分方程在剛體上的主動力對轉(zhuǎn)軸

z

主矩。剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩：Lz

=Jzω根據(jù)動量矩定理：ωkF1

kFnF2FAxFAy剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程內(nèi)容：定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積,等于作用于剛體的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩。用Mz

=∑Mz(F(e))

表示作用FByFBxFBz定軸轉(zhuǎn)動微分方程或§11-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程1.若外力矩Mz

=0，剛體作勻速轉(zhuǎn)動；2.若外力矩Mz

=常量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動；3.若外力矩Mz

相同，Jz

越大，角加速度越小，即剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的越慢，反之亦然，這正說明Jz

是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。二、幾點討論yxBAzωkF1

kFnF2FAxFAyFByFBxFBz

解：由定軸轉(zhuǎn)動微分方程即在什么條件下，F(xiàn)1=F2?α

mgOF1FF2vF1=F2條件為上式右端=0，則(1)m=0(2)R=0(3)α=0

思考題或或§11-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程

例題11-9

已知電機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩

MO與其角速度ω

的關(guān)系為MO=MO1(1

ω/ω1)，其中MO1

表示電機的啟動轉(zhuǎn)矩,ω1表示電機無負載時的空轉(zhuǎn)角速度,且MO1

和ω1都是已知常量。又作用在飛輪上的阻力矩MF可以認為不變。電機軸連同其上的飛輪對軸O

的轉(zhuǎn)動慣量是

JO

，試求:當MO>MF時電機啟動后角速度ω隨時間t

而變化的規(guī)律?！?1-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程mgFxFyMFMOωO例題11-6

(1)轉(zhuǎn)動部分受力如圖所示。（2）電機的轉(zhuǎn)動微分方程:解：§11-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程令mgFxFyMFMOωOMO

=MO1(1

ω/ω1)由題意

MO

>

MF

知，b

cω

>

0，故飛輪作加速轉(zhuǎn)動。上式可分離變量而化為求積，有最后求得飛輪角速度的變化規(guī)律:討論：飛輪角速度將逐漸增大。當

t→∞

時，上式括號內(nèi)的第二項趨近于零；飛輪將以極限角速度ω∞轉(zhuǎn)動，且如不加負載，即阻力矩

MF

=

0，則ω∞

=ω

1?！?1-4相對于質(zhì)心的動量矩定理§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理

相對于質(zhì)心的動量矩定理

相對于質(zhì)心軸的動量矩定理§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理一、相對于質(zhì)心的動量矩定理過固定點O建立固定坐標系Oxyz，以質(zhì)點系的質(zhì)心C

為原點，取平動坐標系Cx

y

z

,

質(zhì)點系對固定點O的動量矩。LC——質(zhì)點系相對質(zhì)心C

的動量矩riOxyzvivCAz'y'x'vCvirCrCr’imim質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩.------------相對于質(zhì)心的動量矩定理的一般形式§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理二、相對于質(zhì)心軸的動量矩定理即，質(zhì)點系相對于質(zhì)心軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對該軸的主矩。將前面所得質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理沿質(zhì)心軸進行投影，得riOxyzvivCAz'y'x'vCvirCrCr’imim(1)在以質(zhì)心為原點的平動坐標系中，質(zhì)點系對質(zhì)心（或質(zhì)心軸）動量矩定理的形式,與對定點（或定軸）動量矩定理的形式相同(2)質(zhì)點系相對于質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動量矩的改變，只與質(zhì)點系的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)，即內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點系對質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動量矩。兩點討論§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理運動員在跳水過程中是如何轉(zhuǎn)動身體的？

例題11-12起重裝置由勻質(zhì)鼓輪D（半徑為R，重為W1）及均質(zhì)梁AB（長l=4R，重W2=W1）組成，鼓輪通過電機C（質(zhì)量不計）安裝在梁的中點，被提升的重物E重。電機通電后的驅(qū)動力矩為M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的約束力FNA及FNB。OBACDE例題11-9§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理M1.求加速度a。解：其中解得考慮鼓輪D、重物E及與鼓輪固結(jié)的電機轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)（圖b），M為電機定子作用在轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩，對固定點O的應(yīng)用動量矩定理得OBACDEO

WMODEW1(b)

例題11-12§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理求a、反力2.考慮整個系統(tǒng)（圖c），注意驅(qū)動力矩為M系統(tǒng)內(nèi)力。對點B應(yīng)用動量矩定理得OAB

WW2FNAACDEFNBW1(c)

例題11-12§11-4相對于質(zhì)心的動量矩定理l=4R3、對整個系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運動定理得：§11-5剛體的平面運動微分方程§11-5剛體的平面運動微分方程§11-5剛體的平面運動微分方程

設(shè)剛體在外力F1,F2,···,Fn作用下作平面運動。取固定坐標系

Oxyz

，使剛體平行于坐標面Oxy

運動，且質(zhì)心C在這個平面內(nèi)，再以質(zhì)心為原點作平動坐標系C

x′y′z′。即xyzz'x'vCCOFiF1F2FnyCxCy'由運動學知，剛體的平面運動可分解成隨質(zhì)心的牽連平動和相對于質(zhì)心的相對轉(zhuǎn)動。隨質(zhì)心的牽連平動規(guī)律可由質(zhì)心運動定理來確定∑miac=∑Fi（e）而相對于質(zhì)心的相對轉(zhuǎn)動規(guī)律可由相對質(zhì)心的動量矩定理來確定即將前一式投影到軸x，y

上，后一式投影到軸Cz′上得注意到則有可以應(yīng)用剛體的平面運動微分方程,求解剛體作平面運動時的動力學問題。式中JC表示剛體對軸

Cz′的轉(zhuǎn)動慣量。

例題11-13

勻質(zhì)圓柱的質(zhì)量是

m

，半徑是

r，從靜止開始沿傾角是φ的固定斜面向下滾動而不滑動，斜面與圓柱的靜摩擦系數(shù)是fs。試求圓柱質(zhì)心C的加速度，以及保證圓柱滾動而不滑動的條件?！?1-5剛體的平面運動微分方程xyOCφ例題11-10

例題11-13xyOCAFNFmgαφaCmaC

=mgsin

φ－F

(1)0=FN－mgcos

φ

(2)JCα

=F

r

(3)§11-5剛體的平面運動微分方程

例題11-13解：由剛體平面運動微分方程，有

研究圓柱，圓柱作平面運動。由于圓柱只滾不滑，故有運動學關(guān)系aC

=rα

(4)

聯(lián)立求解以上四個方程，并考慮到

JC=Mr2/2

，得到FN=mgcos

φ勻質(zhì)圓柱的質(zhì)量是

m

，半徑是

r，從靜止開始沿傾角是φ的固定斜面向下滾動而不滑動，斜面與圓柱的靜摩擦系數(shù)是fs。試求圓柱質(zhì)心C的加速度，以及保證圓柱滾動而不滑動的條件。F

≤fsFN

由保證圓柱滾動而不滑動的靜力學條件：代入求