小學五年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第9課《牛吃草問題》試題附答案

小學五年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第9課《牛吃草問題》試題附答案

笫九講"牛吃草''問題

有這樣的問題.如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或

供23頭牛吃9周.那么它可供21頭牛吃幾周？這類問題稱為“牛吃草”問題。

解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天，每周都在均勻地生長，

時間愈長，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：①某個時間期限前草

場上原有的草量；②這個時間期限后草場每天（周）生長而新增的草量.因

此，必須設法找出這兩個量來。

下面就用開頭的題目為例進行分析.（見下圖）

27頭牛吃6周

___________________________A______________________________

原有的苴6周生長的草

23頭牛吃9周

________________________________________/X_____________

MiuuMumum

原有的草9周生長的草

從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多

出部分相當于3周新生長的草量.為了求出一周新生長的草量，就要進行轉

化.27頭牛6周吃草量相當于27X6=162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162

周）.23頭牛9周吃草量相當于23X9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207

周）.這樣一來可以認為每周新生長的草量相當于（207-162）+（9-6）=15頭

牛一周的吃草量。

需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草

量減去6周新生長的草量（即15X6=90頭牛吃一周的草量）即為牧場原有草

量。

所以牧場上原有草量為27X6-15義6=72頭牛一周的吃草量（或者為23X9-

15X9=72）。

牧場上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當于把21頭牛分成兩

部分.一部分看成專吃牧場上原有的草.另一部分看成專吃新生長的草.但是新

生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終可保持平衡（前面己分析過每周新生

的草恰夠15頭牛吃一周）.故分出15頭牛吃新生長的草，另一部分21-15=6

（頭）牛去吃原有的草.所以牧場上的草夠吃72+6=12（周），也就是這個牧

場上的草夠21頭牛吃12周.問題得解。

例2一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水，3

小時淘完；如5人漏水8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？

例312頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝

牧場上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場

卜后右苜輻■相翌日每公擊將擇卜庫干玨上鑿曷和簽、？

例4一塊草地，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者

供80只辛向2天.如臬一頭牛一天的電章量等手4只羊一夫的南草量，那么10頭

牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

例5—水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機連續(xù)20天可抽干;

6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水

機？

答案

例2一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水，3

小時淘完；如5人淘水8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？

分析與解答這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加.所

以總水量是個變量.而單位由■間內漏進必的水的增*量是木變的.船內原者的永

量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內已有的水量）也是不變的量.對于這個問題我們換一

個角度進行分析。

如果設每個人每小時的淘水量為“1個單位則船內原有水量與3小時內

漏水總量之和等于每人每小時淘水量X時間X人數(shù)，即1X3X10=30.

船內原有水量與8小時漏水量之和為1X5X8=40,

每小時的漏水量等于8小時與3小時總水量之差+時間差，即（40-30）+

（8-3）=2（即每小時漏進水量為2個單位，相當于每小時2人的淘水量）。

船內原有的水量等于10人3小時淘出的總水量-3小時漏進水量.3小時漏進

水量相當手3X2=6人1小時淘水量.所以就內原有水量為30-（2X3）=24。

如果這些水（24個單位）要2小時淘完，則需24+2=12（人），但與此同

時，每小時的漏進水量又要安排2人淘出，因此共需12+2=14（人）。

從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有

的量及單位時間內增加的量，這兩個量是不變的量.有了這兩個量，問題就容

易解決了。

例312頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝

牧場上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場

上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等）？

分析解題的關鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公

畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。

12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草.相當于一公畝原來的牧草加上28天

新生長的草可供33.6頭牛吃一天（12X28+10=33.6）。

21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草，相當于一公畝原有的草加上63天新

生長的草可供44.1頭牛吃一天（63X21+30=44.1）。

一公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即

（44.1-33.6）+（63-28）=0.3（頭）。

一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即

33.6-0.3X28=25.2（頭）。

72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天.即

72X25.2*126=14.4（頭）。

72公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天.即

72XQ.3=21.6（頭）。

所以72公畝牧場上的牧草共可以供36（=14.4+21.6）頭牛吃126天.問題

得解。

解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？

（63X21*30-12X28-10）+（63-28）=0.3（頭）。

一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？

12X28*10-0.3X28=25.2（頭）。

72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？

72X25.2*126+72X0.3=36（頭）。

答：72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。

例4一塊草地，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者

供80只羊吃12天.如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭

牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

分析由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草

量和15頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。

解：60只羊每天吃草量相當多少頭牛每天的吃草量？

60+4=15（頭）。

草地原有草量與20天新生長草量可供多少頭牛吃一天？

16X20=320（頭）o

80只羊12天的吃草量供多少頭牛吃一天？

（80-4）X12=240（頭）。

每天新生長的草夠多少頭牛吃一天？

（320-240）+（20-12）=10（頭）。

原有草量夠多少頭牛吃一天？

320-（20X10）=120（頭）。

原有草量可供10頭牛與60只羊吃幾天？

120*（60*4+10-10）=8（天）。

答：這塊草場可供10頭牛和60只羊吃8天。

例5—水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機連續(xù)20天可抽干;

6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水

機？

解：水庫原有的水與20天流入水可供多少臺抽水機抽1天？20X5=100

水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？6X15=90

（臺）。

每天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？

（100-90）+（20-15）=2（臺）。

原有的水可供多少臺抽水機抽1天？

100-20X2=60（臺）。

若6天抽完，共需抽水機多少臺？

60+6+2=12（臺）。

答：若6天抽完，共需12臺抽水機。

習題九

1.一塊牧場長滿草，每天牧草都均勻生長.這片牧場可供10頭牛吃20天，

可供15頭牛吃10天.問：可供25頭牛吃多少天？

2.22頭牛吃33畝草地上的草，54天可以吃完.17頭牛吃28畝同樣的草地上

的草，84天可以吃完.問：同樣的牧草40畝可供多少頭牛食用24天（每畝草地

原有草量相等，草生長速度相等）？

3.有一牧場，17頭牛30天可將草吃完.19頭牛則24天可以吃完.現(xiàn)有若干頭

牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完.問：原來有多少

頭牛吃草（草均勻生長）？

4.現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘.若用8臺抽水機10

天可以》干；用6臺抽水機20天能抽干.問：若要5天抽干水，需多少臺同樣的

抽水機來抽水？

五年級奧數(shù)上冊:第九講“牛吃草”問題習題解答

習題九解答

1.列綜合算式:

[10X20-（10X20-15X10）+（20-10）X20]+（25-5）=5（天）.（算

式等號左邊（25-5）中的“5”即為（10X20-15X10）+（20-10）

答：可供25頭牛吃5天。

2.一畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？（17X弘+28-22X54+

33）+（84-54）=0.5（頭）.40畝草地原有草量可供多少頭牛吃一天？

40X（17X84-84X0.5X28）+28=360（頭）.40畝牧草需多少頭牛24天

吃完？

0.5X40+360+24=35（頭）。

答：40畝草地需35頭牛24天吃完。

3.牧場新生長草量為：

（17X30-19X24）+（30-24）=9