小學(xué)五年級奧數(shù)第4課《帶余數(shù)的除法》試題附答案

小學(xué)五年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第4課《帶余數(shù)的除法》試題附答案

第四講帶余數(shù)的除法

前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外，例如：16-

3=5-1,即16=5X3+1.此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)

的除法。

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b#0）,那么一定有另外兩個整數(shù)q和

r,04r〈b,使得a=bXq+r。

當r=0時，我們稱a能被b整除。

當耳0時，我們稱a不能被b整除，r為躲以b的余數(shù)，q為躲以b的不完全

商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為a+b=q--r,0<r<b.

例1一個兩位數(shù)去除251,得到的余數(shù)是41.求這個兩位數(shù)。

例2用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù)，商40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與

余數(shù)的和是933,求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

例3某年的十月里有5個星期六，4個星期日，問這年的10月1日是星期幾？

例43月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始住回數(shù)（即3月16日（第二

天），15日（第三天），…）的第1993天是星期幾？

例5一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求適合此條件的最小數(shù)。

例6一個數(shù)除以5余3,除以6余4,除以7余1,求適合條件的最小的自然數(shù)。

例7一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合條件的最小自然數(shù)。

例8一個布袋中裝有小球若干個.如果每次取3個，最后剩1個；如果每次取5個

或7個，最后都剩2個.布袋中至少有小球多少個？

例969、90和125被某個正整數(shù)喉時，余數(shù)相同，試求N的最大值。

答案

第四講帶余數(shù)的除法

前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外，例如：16+

3=5-1,即16=5義3+1.此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)

的除法。

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b盧0）,那么一定有另外兩個整數(shù)q和

r,OCrCb,使得a=bXq+r。

當r=0時，我們稱a能被b整除。

當耳0時，我們稱a不能被b整除，r為躲以b的余數(shù)，q為躲以b的不完全

商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為a+b=q?-r,04r〈b。

例1一個兩位數(shù)去除251,得到的余數(shù)是41.求這個兩位數(shù)。

分析這是一道帶余除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式

入手分析。

解：二.被除數(shù)+除數(shù)=商…余數(shù)，

即被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)，

二.25k除數(shù)X商+乳，

251-41=除數(shù)X商,

二210=除數(shù)X商。

,.,210=2X3X5X7,

二210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14,15、21,30、35、42,70,其中42和70

大于余數(shù)41.所以除數(shù)是42或70.即要求的兩位數(shù)是42或70。

例2用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù)，商40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與

余數(shù)的和是933,求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

解：:被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)，

即被除數(shù)=除數(shù)X40+16。

由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877,

「.（除數(shù)X40+16）+除數(shù)=877,

二除數(shù)X41=877-16,

除數(shù)=861+41,

除數(shù)=21,

二被除數(shù)=21X40+16=856。

答:被除數(shù)是856,除數(shù)是21。

例3某年的十月里有5個星期六，4個星期日，問這年的10月1日是星期幾？

解：十月份共有31天，每周共有7天，

,/31=7X4+3,

.??根據(jù)題意可知：有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。

這年的10月1日是星期四。

例43月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回數(shù)（即3月16日（第二

天），15日（第三天），…）的第1993天是星期幾？

解：每周有7天，1993+7=284（周）…5（天）,

從星期日往回數(shù)5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求適合此條件的最小數(shù)。

這是一道古算題.它早在《孫子算經(jīng)》中記有：“今有物不知其數(shù)，三三

數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”

關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余

數(shù)乘以70,用除以5的余數(shù)乘以21,用除以7的余數(shù)乘以15,再把三個乘積相

加.如果這三個數(shù)的和大于105,那么就減去105,直至小于105為止.這樣就可

以得到滿足條件的解.其蹄

方法1：2X70+3X21+2X15=233

233-105X2=23

符合條件的最小自然數(shù)是23。

例5的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：

方法2：[3,7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合條件的最小自然數(shù)是23。

方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。

例6一個數(shù)除以5余3,除以6余4,除以7余1,求適合條件的最小的自然數(shù)。

分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整

除”。

解：[5,6]-2=28,即28適合前兩個條件。

想：28+[5,6]X?之后能滿足"除余1”的條件？

28+[5,6]X4=148,148=21X7+1,

又148<210=[5,6,7]

所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。

例7一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合條件的最小自然數(shù)。

解:想：2+3X?之后能滿足"5除余3”的條件？

2+3X2=8。

再想：8+[3,5]X?之后能滿足“7除余4”的條件？

8+[3,5]X3=53。

二.符合條件的最小的自然數(shù)是53。

歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當找到滿足某個條件的數(shù)

后，為了再滿足另一個條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時注意要加上已滿足條件中

除數(shù)的倍數(shù)。

解這類題目還有其他方法，將會在有關(guān)“同余”部分講到。

例8一個布袋中裝有小球若干個.如果每次取3個，最后剩1個；如果每次取5個

或7個，最后都乘吃個.布袋中至少有小球多少個？

解：2+[5,7]X1=37（個）

：37除以3余1,除以5余2,除以7余2,

,布袋中至少有小球37個。

例969、90和125被某個正整數(shù)喉時，余數(shù)相同，試求N的最大值。

分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子：

15除以2余1,19除以2余1,

即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是1）o

但是19-15能被2整除.

由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個整數(shù)麻叱，均被自然數(shù)解，余

數(shù)相同，那么這兩個整數(shù)之差（大-?。┮欢鼙籱整除。

反之，如果兩個整數(shù)之差恰被m整除，那么這兩個整數(shù)被解的余數(shù)一定相

同。

例9可做如下解答：

;三個整數(shù)被喉余數(shù)相同，

/.NI（90-69）,即NI21,NI（125-90）,即NI35,

二.N是21和35的公約數(shù)。

二要求N的最大值，

二?N是21和35的最大公約數(shù)。

21和35的最大公約數(shù)是7,

二.N最大是7。

習(xí)題四

L用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，不完全商是8,余數(shù)是16.被除數(shù)、除

數(shù)、商、余數(shù)這四個數(shù)的和為463,求除數(shù)。

2.某數(shù)除以3余1,除以4余2,除以5余3,除以6余4,這個數(shù)最小是多少？

3.某數(shù)除以8余3,除以9余4,除以12余7,在1000以內(nèi)這樣的數(shù)有哪幾

個？

4.用卡車運貨，每次運9袋余1袋，每次運8袋余3袋，每次運7袋余2袋.這

批貨至少有多少袋？

5.57、96、148被某自然數(shù)除，余數(shù)相同，且不為零.求284被這個自然數(shù)

除的余數(shù).

五年級奧數(shù)上冊：第四講帶余數(shù)的除法習(xí)題解答

習(xí)題四解答

1.除數(shù)為47。

2.58。

3.共13個.有：67,139,211,283,355,427,499,571,643,715,

787,859,931o

4.163。

5.11.

附：奧數(shù)技巧分享

分享四個奧數(shù)小技巧。希望孩子早進步哦。

技巧1：培養(yǎng)孩子數(shù)字感

要想入門奧數(shù)，很大一部分程度上靠的就是孩子的數(shù)字感，那么我們應(yīng)該如何培養(yǎng)孩子的數(shù)

字感呢？最簡單的方法，就是讓孩子去超市購物，自己算賬，把自己的日常開銷交給孩子進

行計算。

不但可以練就孩子熟能生巧的技巧，還能讓孩子早點持家，懂得金錢來之不易，好好學(xué)習(xí)的

道理，一箭雙雕！

小學(xué)奧數(shù)中，很多題型都是有規(guī)律的計算題，希望家長能夠注重孩子的計算能力的培養(yǎng)，從

數(shù)字感的培養(yǎng)練就孩子基本的奧數(shù)素質(zhì)能力哦。

技巧2：培養(yǎng)孩子敏銳的觀察能力

奧數(shù)題目中有一類題目就是移動火柴或者根據(jù)已有圖案進行圖案相關(guān)的規(guī)律的填充，此類型

的題目考核的就是學(xué)生的觀察能力，所以我們希望家長從小就開始培養(yǎng)孩子的觀察能力。

比如，給孩子的額外作業(yè)就是觀察家里的變化，寫日記，或者觀察老師講課的方式等等，這

都是比較不錯的培養(yǎng)孩子觀察能力的方法。

技巧3：培養(yǎng)孩子的快速記憶能力

快速記憶能力的提升，利于孩子快速構(gòu)建奧數(shù)題型，快速記憶題目中給出的信息，從而快速

解題，孩子快速記憶力的提升，可以從語文古詩下手。

要求孩子在10分鐘內(nèi)熟記并默寫一篇古詩，漸漸按照這個標準去要求他干其他的事情，久

而久之孩子就能夠養(yǎng)成快速記憶的習(xí)慣，對其后續(xù)學(xué)習(xí)奧數(shù)會有很大的幫助的！

技巧4：注重孩子發(fā)散思維的培養(yǎng)

奧數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，很多時候需要孩子的發(fā)散思維，但是孩子在學(xué)數(shù)學(xué)時，養(yǎng)成了定向思維，

遇到問題就將格局定性為固定方式，因此遇到稀奇古怪，考點比較靈活的題型，孩子就無從

下手了，所以我們