概率論-數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

概率論-數(shù)理統(tǒng)計的基本概念匯報人：AA2024-01-19目錄contents概率論基本概念數(shù)理統(tǒng)計基本概念常用離散型隨機變量及其分布常用連續(xù)型隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布大數(shù)定律和中心極限定理概率論基本概念01樣本空間與事件事件必然事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合。包含樣本空間中所有樣本點的事件。樣本空間基本事件不可能事件所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。只包含一個樣本點的事件。不包含任何樣本點的事件。概率定義及性質(zhì)概率定義表示事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率性質(zhì)非負性、規(guī)范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可加性（互斥事件的概率之和等于它們并的概率）。條件概率在已知另一事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。要點一要點二事件的獨立性如果事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨立。條件概率與獨立性全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意一個事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以求出事件Bi已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]。全概率公式與貝葉斯公式數(shù)理統(tǒng)計基本概念0203樣本容量樣本中包含的個體數(shù)目，用n表示。01總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述。02樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)?？傮w與樣本樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量統(tǒng)計量的概率分布，描述了統(tǒng)計量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。常用抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布點估計用樣本統(tǒng)計量的某個值來估計總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計總體均值。區(qū)間估計根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布，構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的置信區(qū)間，并給出該區(qū)間的置信水平。評價估計量的標準無偏性、有效性、一致性等。參數(shù)估計方法原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)是研究者想要拒絕的假設(shè)，備擇假設(shè)是研究者想要接受的假設(shè)。顯著性水平與第一類錯誤顯著性水平是事先設(shè)定的一個概率值，用于控制第一類錯誤（即錯誤地拒絕原假設(shè)）的概率。第二類錯誤與功效函數(shù)第二類錯誤是指當原假設(shè)不成立時，未能正確地拒絕原假設(shè)的錯誤。功效函數(shù)描述了在不同參數(shù)值下，檢驗?zāi)軌蛘_地拒絕原假設(shè)的概率。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域檢驗統(tǒng)計量是用于判斷原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計量，拒絕域是檢驗統(tǒng)計量取值的范圍，當檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗原理常用離散型隨機變量及其分布03定義二項分布是一種離散型概率分布，描述了在n次獨立重復(fù)的伯努利試驗中成功次數(shù)的概率分布。概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示組合數(shù)，即從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)。期望和方差二項分布的期望E(X)=n*p，方差D(X)=n*p*(1-p)。二項分布泊松分布是一種離散型概率分布，用于描述在給定時間間隔或給定區(qū)域內(nèi)某一事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。定義P(X=k)=λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ表示單位時間或單位面積內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。概率質(zhì)量函數(shù)泊松分布的期望E(X)=λ，方差D(X)=λ。期望和方差泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p，其中p表示每次試驗成功的概率。期望和方差幾何分布的期望E(X)=1/p，方差D(X)=(1-p)/p^2。定義幾何分布是一種離散型概率分布，描述了在伯努利試驗中首次成功所需要的試驗次數(shù)的概率分布。幾何分布超幾何分布是一種離散型概率分布，描述了在不放回的抽樣中抽取到指定數(shù)量成功樣本的概率分布。定義概率質(zhì)量函數(shù)期望和方差P(X=k)=C(m,k)*C(N-m,n-k)/C(N,n)，其中N表示總體樣本數(shù)，m表示總體中成功樣本數(shù)，n表示抽取的樣本數(shù)。超幾何分布的期望E(X)=n*m/N，方差D(X)=n*m*(N-m)*(N-n)/[N^2*(N-1)]。超幾何分布常用連續(xù)型隨機變量及其分布04在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，均勻分布也叫矩形分布，它是對稱概率分布，在相同長度間隔的分布概率是等可能的。定義均勻分布由兩個參數(shù)a和b定義，它們是數(shù)軸上的最小值和最大值，通?？s寫為U(a,b)。性質(zhì)均勻分布指數(shù)分布是一種連續(xù)概率分布。指數(shù)分布可以用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔等。定義許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況。性質(zhì)指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布，也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。是一個在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學(xué)的許多方面有著重大的影響力。定義正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。性質(zhì)t分布在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，t-分布用于根據(jù)小樣本來估計呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值。如果總體方差已知，則應(yīng)該用正態(tài)分布來估計總體均值。F分布是1924年英國統(tǒng)計學(xué)家Ronald.A.Fisher爵士提出，并以其姓氏的第一個字母命名的。它是一種非對稱分布，且位置不可互換。F分布有著廣泛的應(yīng)用，如在方差分析、回歸方程的顯著性檢驗中都有著重要的地位?？ǚ椒植际歉怕收撆c統(tǒng)計學(xué)中常用的一種概率分布。k個獨立的標準正態(tài)分布變量的平方和服從自由度為k的卡方分布。F分布χ^2分布t分布、F分布和χ^2分布多維隨機變量及其分布05二維隨機變量設(shè)$X$和$Y$是兩個隨機變量，由它們構(gòu)成的二維數(shù)組$(X,Y)$稱為二維隨機變量。聯(lián)合分布函數(shù)對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意實數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。010203二維隨機變量及其聯(lián)合分布第二季度第一季度第四季度第三季度邊緣分布函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)條件分布函數(shù)條件概率密度函數(shù)邊緣分布與條件分布二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的分布函數(shù)分別稱為$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)，記作$F_X(x)$和$F_Y(y)$。設(shè)二維隨機變量$(X,Y)$的概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣概率密度函數(shù)分別為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。設(shè)$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$，則對于任意給定的實數(shù)$x_0$和$y_0$，條件分布函數(shù)定義為$F_{X|Y}(x|y_0)=frac{F(x,y_0)}{F_Y(y_0)}$和$F_{Y|X}(y|x_0)=frac{F(x_0,y)}{F_X(x_0)}$。設(shè)$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，邊緣概率密度函數(shù)分別為$f_X(x)$和$f_Y(y)$，則對于任意給定的實數(shù)$x_0$和$y_0$，條件概率密度函數(shù)定義為$f_{X|Y}(x|y_0)=frac{f(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$和$f_{Y|X}(y|x_0)=frac{f(x_0,y)}{f_X(x_0)}$。相互獨立隨機變量如果對于任意實數(shù)$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱二維隨機變量$(X,Y)$是相互獨立的。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)設(shè)$(X,Y)$是二維隨機變量，若$E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$存在，則稱它為$(X,Y)$的協(xié)方差，記作$text{Cov}(X,Y)$。若$text{Cov}(X,Y)=0$，則稱$(X,Y)$是不相關(guān)的。若$rho_{XY}=frac{text{Cov}(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$存在且不為零，則稱它為$(X,Y)$的相關(guān)系數(shù)。協(xié)方差矩陣設(shè)$(X_1,ldots,X_n)$是一個多維隨機變量，則其協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣，其元素為$text{Cov}(X_i,X_j)$。相互獨立隨機變量和協(xié)方差矩陣VS如果多維隨機變量的概率密度函數(shù)可以表示為$frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}exp[-frac{1}{2}(X-mu)^TSigma^{-1}(X-mu)]$，其中$muinmathbb{R}^n,Sigmainmathbb{R}^{ntimesn}$是正定矩陣，則稱該多維隨機變量服從多維正態(tài)分布，記作$N(mu,Sigma)$。多維正態(tài)分布性質(zhì)多維正態(tài)分布具有許多重要的性質(zhì)，如線性變換不變性、邊緣分布仍為正態(tài)分布等。這些性質(zhì)使得多維正態(tài)分布在實際應(yīng)用中具有廣泛的應(yīng)用價值。多維正態(tài)分布定義多維正態(tài)分布簡介大數(shù)定律和中心極限定理06123大數(shù)定律是描述隨機事件在大量重復(fù)試驗中呈現(xiàn)出的規(guī)律性，即當試驗次數(shù)足夠多時，隨機事件的頻率趨于一個穩(wěn)定值。含義常見的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律等。種類在保險、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，大數(shù)定律被廣泛應(yīng)用于風險評估和決策分析。應(yīng)用大數(shù)定律含義中心極限定理是指當隨機變量的數(shù)量足夠多時，這些隨機變量的和的分布將近似于正態(tài)分布，而與這些隨機變量本身的分布無關(guān)。前提條件要求隨機變量相互獨立且具有有限的期望和方差。應(yīng)用中心極限定理在統(tǒng)計學(xué)中具有重要地位，被廣泛應(yīng)用于參數(shù)估計和假設(shè)檢驗等。中心極限