基于混沌理論的太陽黑子時間序列預測

基于混沌理論的太陽黑子時間序列預測摘要研究基于最大Lyapunov指數(shù)的預測方法在太陽黑子時間序列預測中的應用,并在原方法中運用Wolf算法的思想對原方法進行了改進.預測結(jié)果表明改進后的方法比原方法和用回歸模型預測的方法有更高的精度。關(guān)鍵詞最大Lyapunov指數(shù),Wolf算法,太陽黑子數(shù),混沌PredictingontheTimeSeriesofSunspotNumberBasedonChaosTheoryAbstractResearchedtheapplicationofthepredictingmethodbasedonlargestLyapunovexponentinpredicatingonthetimeseriesofsunspotnumber.AndaccordingtotheideaofWolfalgorithmimprovedontheoriginalmethod.Thepredictiveresultsprovethattheimprovemethodismoreaccuratethantheoriginalmethodandthemethodbasedonrecurrentmodel.KeyWordsLargestLyapunovexponent;Wolfalgorithm;sunspotnumber;chaos

引言太陽黑子的活動直接影響著地球氣候的變化，在最多太陽黑子的時候，太陽溫度會上升，太陽的火焰和磁場會十分活躍，直接影響地球的天氣及通訊系統(tǒng)，也可能損害地球上空的人造衛(wèi)星。因此，準確的預報未來時刻的太陽黑子數(shù)有著十分重大的意義。由于太陽黑子數(shù)變化的高度復雜性（圖1），使得人們通過建模的方法描述其變化規(guī)律的嘗試遇到了巨大的困難。隨著混沌科學的發(fā)展，使得可以不必事先建立主觀模型，而直接根據(jù)數(shù)據(jù)序列本身所計算出來的客觀規(guī)律（如Lyapunov指數(shù)等）進行預測，這樣可以避免人為主觀性，提高預測的精度和可信度。2基于混沌理論的時間序列預測方法2.1問題的提出文獻［2］已經(jīng)證明太陽黑子數(shù)是一個低維的混沌系統(tǒng)。由于太陽黑子月均值具有變化強烈而又缺乏規(guī)則性的特點，可以采用文獻［1］中混沌時間序列基于最在Lyapunov指數(shù)的預測方法。對基于最大Lyapunov指數(shù)預測方法的一點改進混沌系統(tǒng)由相空間中的不規(guī)則軌道奇怪吸引子來描述，奇怪吸引子的明顯特征是吸引子的鄰近點指數(shù)離析，而鄰近點的指數(shù)離析意味著初始狀態(tài)完全確定的系統(tǒng)，在長時間情況下會不可避免的發(fā)生變化，這種行為反映了系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性[3]。Lyapunov指數(shù)是相空間中相近軌道的平均收斂性或平均發(fā)散性的一種度量。所以Lyapunov指數(shù)恰可定量表示奇怪吸引子的這種運動性態(tài)。Lyapunov指數(shù)的正負性用來判定系統(tǒng)是否混沌，正的Lyapunov指數(shù)的大小表征相空間中相近軌道的平均發(fā)散的指數(shù)率。在基于最大Lyapunov指數(shù)的預測方法中，正是應用了Lyapunov指數(shù)的這種性質(zhì)。然而在基于最大Lyapunov指數(shù)的預測方法中，在尋找中心點的鄰近點時，只考慮了其與中心點的距離。但與中心點距離最近的點并不能保證其一定在中心點所在軌道的相近軌道上，從而使得預測點并不與中心點以最大Lyapunov指數(shù)率離析，從而產(chǎn)生預測誤差。Wolf[[4]等人在計算最大Lyapunov指數(shù)時，為了確定當前點（在預測時即為中心點）的演化點（在預測時即為預測值）在限定距離的同時還限定其與當前點之間的夾角，從而保證了演化點一定在當前點鄰近的軌道上。在應用Lyapunov指數(shù)進行預測的時候，為了保證預測點在中心點的鄰近軌道上也應該采用限制夾角的方法。改進后的基于Lyapunov指數(shù)的時間序列預測方法首先根據(jù)G-P(Grassberger-Procaccia)算法計算出關(guān)聯(lián)維，確定嵌入維數(shù)，計算時間序列的平均峰值時間（mtbp）作為時間窗，根據(jù)公式，確定時間延遲。對于給定的時間序列重構(gòu)維相空間表示為：，，根據(jù)文獻［5］的算法計算最大Lyapunov指數(shù)。以為預報的中心點，相空間中的鄰近點的確定方法為：設(shè)在用Wolf算法計算最大Lyapunov指數(shù)時所計算的最后一個點的近似相點為，與的距離為，時間演化一步，演化為，演化為，演化為。再按以下兩原則尋找的鄰近點：它與演化后的基準點的距離很小，且與的夾角很小。距離為，即：則有：其中點只有最后一個分量未知，故可由上式計算出，即是可預報的。距離和夾角的確定設(shè)相空間兩點間距離的平均值為距點最近距離（非零）為，其中表示歐氏模。則記平均距離和最近距離之差為:記搜索范圍下界為:記搜索范圍下界為:其中為限制分離系數(shù),一般取3%～10%，n為放大系統(tǒng)，取。對于，按下列方法確定：若滿足的點數(shù)至少為2，記為。否則，放大搜索范圍，令；注：在搜索過程中，為了限制局部分離，搜索范圍應滿足：，其中時間序列的平均周期。若向量與的夾角均小于45○，則取最大者對應的，記為，其中否則，令。重復以上步驟確定，則：。結(jié)果取1749年１月～2002年12月的太陽黑子數(shù)構(gòu)成時間序列，，。計算時間序列的平均峰值時間為：mtbp=155。由文獻［6］可取時間延遲，這樣由公式計算得嵌入維數(shù)m=6，與文獻［2］根據(jù)G－P算法求得的最佳嵌入維數(shù)一致。根據(jù)文獻［5］的算法計算最大Lyapunov指數(shù)為＝0.1648。用2.3節(jié)改進后的基于Lyapunov指數(shù)的時間序列預測方法對2003年1月～10月太陽黑子數(shù)進行預測。表12003.01~2003.10太陽黑子數(shù)預測結(jié)果月份2003.012003.022003.032003.042003.052003.062003.072003.082003.092003.10實際值79.746.061.160.054.677.485.072.748.865.6預測值79.345.560.961.354.778.186.970.143.160.5誤差(%)0.501.090.332.170.180.132.243.5811.687.77圖1太陽黑子月均值時間序列圖2太陽黑子時間序列預測結(jié)果由表1和圖2可見，前七個月的誤差都在3％以內(nèi)，精度很高，并且預測的效果明顯好于文獻［2］和文獻［7］。同時可以看出，由于混沌系統(tǒng)的耗散性和對初值的極端敏感性，在短期內(nèi)預測精度很高，但長時間預測誤差急劇增大，說明混沌動力系統(tǒng)只能作短期預測，這一點與文獻［2］中的結(jié)論一致。

參考文獻1呂金虎陸君安陳士華.《混沌時間序列分析及應用》.武漢.武漢大學出版社.2002.106~108.2顧圣士王志謙程極泰.太陽黑子時間序列的分形研究及預測.應用數(shù)學和力學，第20卷第1期，1999年1月3王興元.《復雜非線性系統(tǒng)中的混沌》.北京.電子工業(yè)出版社.2003.32~33.4A.Wolf.j.B.Swift,H.L..SwinneyandJ.A.Vastano.DetermingLyapunovexponentsfromatimeseries,Physica16D.1985.285~317.5楊紹清章新華趙長安。一種最大李雅普諾夫指數(shù)估計的穩(wěn)健算法。物理學報。第49卷第4期，2000年4月6TongHa