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文檔簡介
第二步大題得高分
考點(diǎn)05因式分解
真題回顧
1.(2020?四川內(nèi)江市?中考真題)我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)x都可以進(jìn)行這樣的分解:
x=mxn(m,”是正整數(shù),且,〃4〃),在*的所有這種分解中,如果m,〃兩因數(shù)之差
的絕對(duì)值最小,我們就稱WX〃是*的最佳分解.并規(guī)定:/(X)=一.
n
例如:18可以分解成1x18,2x9或3x6,因?yàn)?8-1>9-2>6-3,所以3x6是18的
最佳分解,所以/(18)===彳.
62
(1)填空:〃6)=;〃9)=;
(2)一個(gè)兩位正整數(shù)t(r=10a+b,l<a<b<9,a,b為正整數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)
字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54,求出所有的兩位正整數(shù);并求了。)
的最大值;
(3)填空:
①/(22X3X5X7)=;
②7(23x3x5x7)=;
③[24x3x5x7)=;
@/(25X3X5X7)=
.一、2、,,*420142014
【答案】《1)—:1:(2)t為39,28,17:/(f)的瑕大值,;(3)
1
【分析】
2
(1)6=1X6=2X3,由已知可求f(6)=-;9=1X9=3X3,由已知可求〃9)=1;
(2)由題意可得:交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為:10b+a-10a-b=9(b-a)—54,得
到b~a=6,可求t的值,故可得到了(。的最大值;
(3)根據(jù)〃x)=‘?的定義即可依次求解.
【詳解】
(1)6=1X6=2X3,
V6-l>3-2,
,,⑹=9;
9=1X9=3X3,
:9T>33
???"9)=1,
故答案為:—;1;
(2)由題意可得:交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為:
10b+a-10a-b=9(b-a)=54,
,b-a=6,
〈I-
.,.b=9,a=3或b=8,a=2或b=7,a=l?
為39,28,17;
,??39=1X39=3X13,
2
"(39)=?
28=1X28=2X14=4X7,
/(28)=,
17=1X17,
???的最大值,.
(3)①:22X3X5X7=20X21
*22x3x5x7)言
②23x3x5x7=28X30
/(23X3X5X7)=||14
15
③;24x3x5x7=40X42
/./(24x3x5x7)=^20
21
@V25X3X5X7=56X60
/./(25X3X5X7)5614
60-15
20142014
故答案為:
21,15,2?,15
【點(diǎn)睛】
3
本題考查因式分解的應(yīng)用;理解題意,從題目中獲取信息,列出正確的代數(shù)式,再由數(shù)的特
點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵.
2.(2020?浙江嘉興市?中考真題)比較點(diǎn)+1與2%的大小.
(1)嘗試(用“V","="或">"填空):
①當(dāng)x=l時(shí),解+12國
②當(dāng)k0時(shí),聲+12x;
③當(dāng)k-2時(shí),京+12x.
(2)歸納:若x取任意實(shí)數(shù),y+1與2*有怎樣的大小關(guān)系?試說明理由.
【答案】(1)①二;②〉;③〉;(2)/+l22x,理由見解析
【分析】
(1)根據(jù)代數(shù)式求值,可得代數(shù)式的值,根據(jù)有理數(shù)的大小比較,可得答案;
(2)根據(jù)完全平方公式,可得答案.
【詳解】
解:(1)①當(dāng)尸1時(shí),/+l=2x;
②當(dāng)x=0時(shí),解+1>2*;
③當(dāng)-2時(shí),求+l>2x.
故答案為:=;>;>.
(2)*+l>2x.
證明:Vx2+1-2x=(x-1)220,
二/+122*.
【點(diǎn)睛】
4
本題考查了求代數(shù)式的值,有理數(shù)的大小比較,兩個(gè)整式大小比較及證明,公式法因式分解、
不完全歸納法,解題關(guān)鍵是理解根據(jù)“A-B”的符號(hào)比較"A、B"的大小.
模擬預(yù)測(cè)
3.(2021?河北石家莊市?九年級(jí)一模)如圖,A,5兩張卡片除內(nèi)容外完全相同,現(xiàn)將兩
張卡片扣在桌面上,隨機(jī)抽取一張,將抽中卡片上的整式各項(xiàng)改變符號(hào)后與未抽中卡片上
的整式相加,并將結(jié)果化簡得到整式C.
(1)若抽中的卡片是反
①求整式C;
②當(dāng)尸&-1時(shí),求整式C的值.
(2)若無論才取何值,整式C的值都是非負(fù)數(shù),請(qǐng)通過計(jì)算,判斷抽到的是哪張卡片?
X2-9x-15x2-x+3
AB
【答案】(1)①C=一4/一8x-4,②-8;(2)抽中的卡片是4
【分析】
(1)①根據(jù)卡片/各項(xiàng)改變符號(hào)后得出-5/+刀_3,再與整式工相加,合并同類項(xiàng)
即可;
②先利用完全平方公式化簡整式C,再把戶血-1代入整式C即可;
(2)分和抽中的卡片是6和抽中的卡片是/兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.
【詳解】
解:⑴①:8=5/_%+3,/=/一阻一1,
5
?*-C=-5/+-3+/_9X_I=-4/—8x—4,
②。=-Ax2-8x-4=-4(/++1)=—4(x+,
當(dāng)aa-1時(shí),原式=—4(次—1+1,=-8
(2)當(dāng)抽中的卡片是3時(shí),
由②得C=-4/-8x—4=—4(/+2x+1)=-4(x+I)?<o
,不符合題意;
當(dāng)抽中的卡片是月時(shí),
B=5%2—x+3>A=x2—9x—1,
C=—x2+9x+1+5x2-x+3=4x2+8x+4,
=4+2x+1)=4(x+1)~>0,
.?.無論x取何值,整式C的值都是非負(fù)數(shù),
,抽中的卡片是4
【點(diǎn)睛】
此題考查整式的混合運(yùn)算,掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.
4.(2021?河北九年級(jí)一模)用因式分解法解一元二次方程¥-5#=6,下列是排亂的解題
過程:
①升1=0或X-6=0,②5*-6=0,③為=-1,照=6,?(A+1)(.X-6)=0
(1)解題步驟正確的順序是;
(2)請(qǐng)用因式分解法解方程:(葉3)(x-1)=12
【答案】(1)②④①@;(2)的=-5,2=3
6
【分析】
(1)先移項(xiàng),再利用十字相乘法將等式左邊因式分解,繼而得出兩個(gè)一元一次方程,解之
即可得出答案;
(2)先整理為一般式,再利用因式分解法求解即可.
【詳解】
解:⑴,:*-5x=6,
:**-5x-6=0,
(x+1)(x-6)=0,
則x+1=0或x-6=0,
解得xi--1,X2—6,
故答案為:②④①③;
(2),/(x+3)(x-1)=12,
:.}fi+2x-15=0,
則(x+5)(x-3)=0,
;.x+5=0或x-3=0,
解得xi=-5,X2=3.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平
方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、筒便的方法是解題的關(guān)鍵.
5.(2021?四川達(dá)州市?九年級(jí)一模)對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)數(shù)m,若其千位與百位上的
數(shù)字之和為9,十位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9,那么稱m為“重九數(shù)”,如:1827、3663.將
7
“重九數(shù)”m的千位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào),百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的四位
正整數(shù)數(shù)“如:zn=2718,貝!I〃=1827,記〃(m,n)—mVn.
(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)四位“重九數(shù)“:,.
(2)求證:對(duì)于任意一個(gè)四位“重九數(shù)”m,其〃(m,〃)可被101整除.
(3)對(duì)于任意一個(gè)四位“重九數(shù)"m,記/'(m,n)=,當(dāng),(力,而是一個(gè)完
全平方數(shù)時(shí),且滿足力>〃,求滿足條件的功的值.
【答案】(1)3645,7263;(2)見解析:(3)9054、8163、6318、5427、4536
【分析】
(1)根據(jù)“重九數(shù)“定義寫出兩個(gè)符合要求的數(shù)即可;
(2)將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字用字母表示,得出D(m,n)的表達(dá)式,一定有因數(shù)101;
(3)先得出f(m,n)的表達(dá)式,再根據(jù)完全平方數(shù)的特征得出不定方程,解不定方程即
可求出m的值.
【詳解】
解:⑴根據(jù)“重九數(shù)“定義寫出兩個(gè)符合要求的數(shù)即可,3645,7263,(答案不唯一,符
合題意即可),
故答案為:3645,7263;
(2)證明:設(shè)任意一個(gè)“重九數(shù)"m為向,(a,b,c,d均為1?9的自然數(shù)),則n
為cdab>
D(m,n)=m+n=1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b=101(10a+10c+b+d),
AD(m,n)可被101整除:
(3)由(2)可知,對(duì)于任意的“重九數(shù)"m=abed-WD(m,n)=101(10a+10c+b+d),
8
.*.f(m,n)=10a+10c+b+d,
Va4-b=9,c+d=9,
.\b=9-a,d=9-c,
.'.f(m,n)=10a+10c+b+d=10a+10c+9-a+9-c=9a+9c+18=9(a+c+2),
Vf(m,n)是完全平方數(shù),9是完全平方數(shù),
???a+c+2是完全平方數(shù),
?.,lWaW9,lWc<9,且m>n,
/.a>c,5Wa+c+2<19,
.■?a+c+2=9或16,
a=6ci=5a=4
當(dāng)a+c+2=9時(shí),解得〈或,
c=1叫c=2
a=9a=8
當(dāng)a+c+2=16時(shí),解得〈或〈,.
c=51c=6
綜上所述,滿足要求的m的值有:9054、8163、6318、5427、4536.
【點(diǎn)睛】
本題以新定義的命題形式考查/整數(shù)的位值原理、整除、因式分解、完全平方數(shù)、不定方程
等知識(shí)點(diǎn),正確理解“重九數(shù)”的含義、熟悉完全平方數(shù)的性質(zhì)以及會(huì)解不定方程是解答本
題的關(guān)鍵.
6.(2021?浙江杭州市?九年級(jí)一模)給出三個(gè)多項(xiàng)式:a2+3ab-2b2,b2-3ab,ab+6b2,
任請(qǐng)選擇兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算,并把結(jié)果分解因式.
【答案】(a+b)(a-b)
【詳解】
9
試題分析?:根據(jù)平方差公式,可得答案.
試題解析:
(a2+3ab-2b2)+(b2-3ab)
=a2+3ab-2b2+b2-3ab
=a2-b2
=(a+b)(a-b).
v2r2_1
7.(2021?遼寧鞍山市?九年級(jí)一模)先化簡(/=—x+l),再從一1,
x+1x+2x+1
0,1中選擇合適的x值代入求值.
【答案】一-1
x-\
【分析】
先將小括號(hào)內(nèi)的分式通分化簡,再根據(jù)除以一個(gè)分式等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù),結(jié)合完全平
方公式、平方差公式解題,約分、化簡,最后根據(jù)分式有意義的條件代入x=0,計(jì)算求值
即可.
【詳解】
X2X2-1
(-----X+l)4---------
X+1A*-+2x+1
X2x(x+l)x+l-|x2+2x+l
=---------------1-----X-----------
X+1X+lX+lJX-1
%?——X+X+l(X+1)~
——X
x+l(x—l)(x+l)
(1、(X+l)?
-x+l(x-l)(x+l)
10
1
x-1
?jxw-l,x=0
當(dāng)x=0時(shí),
原式=」一=」一=一1
x-10-1
【點(diǎn)睛】
本題考查分式的化簡求值,其中涉及分式有意義的條件、完全平方公式、平方差公式等知識(shí),
是重要考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
22"41
8.(2021?山東省青島第二十六中學(xué)九年級(jí)其他模擬)計(jì)算:-+--
a-\a'-12-a
【答案】號(hào)
【分析】
利用分式的乘除法,結(jié)合提公因式、平方差公式進(jìn)行分解因式,最后根據(jù)分式的加減法法則
解題即可.
【詳解】
2(Q+1)(Q-1)1
解:原式=
a-2(。-2)2—a
。+11
d—2a—2
a
a-2
【點(diǎn)
本題考查分式的化簡、分式的加減乘除混合運(yùn)算、利用提公因式法、平方差公式進(jìn)行分解因
式等知識(shí),掌握分式的知識(shí)是解題關(guān)鍵.
11
(?遼寧朝陽市?中考真題)先化簡,再求值:[―+%3—2廠+x
9.20201其中
2
Ix+17x-l
X=\/34-1?
【答案】二:;空
x-13
【分析】
先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡,再把關(guān)的值代入式子進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】
原式=(£+I)xU-D2
(x+l)(x-l)
2x(x+l)(x-l)
x+1x(x-l)2
2
當(dāng)X=J§+1時(shí),原式=—------=-----
V3+1-13
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是分式的化簡求值,最簡二次根式,在解答此類型題目時(shí),要注意因式分解、
通分和約分的靈活運(yùn)算,熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
10.(2020?河北中考真題)有一電腦程序:每按一次按鍵,屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上",
同時(shí)8區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去3
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