因式分解-（江蘇專用）初中數(shù)學(xué)

第二步大題得高分

考點(diǎn)05因式分解

真題回顧

1.(2020?四川內(nèi)江市?中考真題)我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)x都可以進(jìn)行這樣的分解：

x=mxn(m,”是正整數(shù)，且，〃4〃)，在*的所有這種分解中，如果m,〃兩因數(shù)之差

的絕對(duì)值最小，我們就稱WX〃是*的最佳分解.并規(guī)定：/(X)=一.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6,因?yàn)?8-1>9-2>6-3,所以3x6是18的

最佳分解，所以/(18)===彳.

62

(1)填空：〃6)=；〃9)=；

(2)一個(gè)兩位正整數(shù)t(r=10a+b,l<a<b<9,a,b為正整數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)

字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54,求出所有的兩位正整數(shù)；并求了。)

的最大值；

(3)填空：

①/(22X3X5X7)=；

②7(23x3x5x7)=；

③[24x3x5x7)=；

@/(25X3X5X7)=

.一、2、，，*420142014

【答案】《1)—：1:(2)t為39,28,17：/(f)的瑕大值,；(3)

1

【分析】

2

(1)6=1X6=2X3,由已知可求f(6)=-；9=1X9=3X3,由已知可求〃9)=1；

(2)由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：10b+a-10a-b=9(b-a)—54,得

到b~a=6,可求t的值，故可得到了(。的最大值；

(3)根據(jù)〃x)=‘?的定義即可依次求解.

【詳解】

(1)6=1X6=2X3,

V6-l>3-2,

，，⑹=9；

9=1X9=3X3,

：9T>33

???"9)=1，

故答案為：—;1;

(2)由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：

10b+a-10a-b=9(b-a)=54,

，b-a=6,

〈I-

.,.b=9,a=3或b=8,a=2或b=7,a=l?

為39,28,17；

,??39=1X39=3X13,

2

"（39）=?

28=1X28=2X14=4X7,

/（28）=，

17=1X17,

???的最大值，.

（3）①：22X3X5X7=20X21

*22x3x5x7）言

②23x3x5x7=28X30

/（23X3X5X7）=||14

15

③；24x3x5x7=40X42

/./（24x3x5x7）=^20

21

@V25X3X5X7=56X60

/./（25X3X5X7）5614

60-15

20142014

故答案為:

21，15,2?，15

【點(diǎn)睛】

3

本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數(shù)式，再由數(shù)的特

點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?浙江嘉興市?中考真題)比較點(diǎn)+1與2%的大小.

(1)嘗試(用“V"，"="或">"填空)：

①當(dāng)x=l時(shí)，解+12國

②當(dāng)k0時(shí)，聲+12x；

③當(dāng)k-2時(shí)，京+12x.

(2)歸納：若x取任意實(shí)數(shù)，y+1與2*有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

【答案】(1)①二；②〉；③〉；(2)/+l22x,理由見解析

【分析】

(1)根據(jù)代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案;

(2)根據(jù)完全平方公式，可得答案.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)尸1時(shí)，/+l=2x；

②當(dāng)x=0時(shí)，解+1>2*；

③當(dāng)-2時(shí)，求+l>2x.

故答案為：=;>;>.

(2)*+l>2x.

證明：Vx2+1-2x=(x-1)220,

二/+122*.

【點(diǎn)睛】

4

本題考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的大小比較，兩個(gè)整式大小比較及證明，公式法因式分解、

不完全歸納法，解題關(guān)鍵是理解根據(jù)“A-B”的符號(hào)比較"A、B"的大小.

模擬預(yù)測(cè)

3.（2021?河北石家莊市?九年級(jí)一模）如圖，A,5兩張卡片除內(nèi)容外完全相同，現(xiàn)將兩

張卡片扣在桌面上，隨機(jī)抽取一張，將抽中卡片上的整式各項(xiàng)改變符號(hào)后與未抽中卡片上

的整式相加，并將結(jié)果化簡得到整式C.

（1）若抽中的卡片是反

①求整式C；

②當(dāng)尸&-1時(shí)，求整式C的值.

（2）若無論才取何值，整式C的值都是非負(fù)數(shù)，請(qǐng)通過計(jì)算，判斷抽到的是哪張卡片？

X2-9x-15x2-x+3

AB

【答案】（1）①C=一4/一8x-4，②-8；（2）抽中的卡片是4

【分析】

（1）①根據(jù)卡片/各項(xiàng)改變符號(hào)后得出-5/+刀_3，再與整式工相加，合并同類項(xiàng)

即可；

②先利用完全平方公式化簡整式C,再把戶血-1代入整式C即可；

（2）分和抽中的卡片是6和抽中的卡片是/兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【詳解】

解：⑴①：8=5/_%+3，/=/一阻一1，

5

?*-C=-5/+-3+/_9X_I=-4/—8x—4，

②。=-Ax2-8x-4=-4(/++1)=—4(x+,

當(dāng)aa-1時(shí)，原式=—4(次—1+1，=-8

(2)當(dāng)抽中的卡片是3時(shí)，

由②得C=-4/-8x—4=—4(/+2x+1)=-4(x+I)?<o

，不符合題意；

當(dāng)抽中的卡片是月時(shí)，

B=5%2—x+3>A=x2—9x—1，

C=—x2+9x+1+5x2-x+3=4x2+8x+4，

=4+2x+1)=4(x+1)~>0,

.?.無論x取何值，整式C的值都是非負(fù)數(shù)，

，抽中的卡片是4

【點(diǎn)睛】

此題考查整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.

4.(2021?河北九年級(jí)一模)用因式分解法解一元二次方程￥-5#=6,下列是排亂的解題

過程：

①升1=0或X-6=0,②5*-6=0,③為=-1,照=6,?(A+1)(.X-6)=0

(1)解題步驟正確的順序是;

(2)請(qǐng)用因式分解法解方程：(葉3)(x-1)=12

【答案】(1)②④①@；(2)的=-5,2=3

6

【分析】

(1)先移項(xiàng)，再利用十字相乘法將等式左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)一元一次方程，解之

即可得出答案；

(2)先整理為一般式，再利用因式分解法求解即可.

【詳解】

解：⑴,:*-5x=6,

:**-5x-6=0,

(x+1)(x-6)=0,

則x+1=0或x-6=0,

解得xi--1,X2—6,

故答案為：②④①③；

(2),/(x+3)(x-1)=12,

：.}fi+2x-15=0,

則(x+5)(x-3)=0,

；.x+5=0或x-3=0,

解得xi=-5,X2=3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平

方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、筒便的方法是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?四川達(dá)州市?九年級(jí)一模)對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)數(shù)m,若其千位與百位上的

數(shù)字之和為9,十位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9,那么稱m為“重九數(shù)”，如：1827、3663.將

7

“重九數(shù)”m的千位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的四位

正整數(shù)數(shù)“如：zn=2718,貝！I〃=1827,記〃(m,n)—mVn.

(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)四位“重九數(shù)“：,.

(2)求證：對(duì)于任意一個(gè)四位“重九數(shù)”m,其〃(m,〃)可被101整除.

(3)對(duì)于任意一個(gè)四位“重九數(shù)"m,記/'(m,n)=,當(dāng)，(力，而是一個(gè)完

全平方數(shù)時(shí)，且滿足力>〃，求滿足條件的功的值.

【答案】(1)3645,7263；(2)見解析：(3)9054、8163、6318、5427、4536

【分析】

(1)根據(jù)“重九數(shù)“定義寫出兩個(gè)符合要求的數(shù)即可；

(2)將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字用字母表示，得出D(m,n)的表達(dá)式，一定有因數(shù)101；

(3)先得出f(m,n)的表達(dá)式，再根據(jù)完全平方數(shù)的特征得出不定方程，解不定方程即

可求出m的值.

【詳解】

解：⑴根據(jù)“重九數(shù)“定義寫出兩個(gè)符合要求的數(shù)即可，3645,7263,(答案不唯一，符

合題意即可)，

故答案為：3645,7263；

(2)證明：設(shè)任意一個(gè)“重九數(shù)"m為向，(a,b,c,d均為1?9的自然數(shù))，則n

為cdab>

D(m,n)=m+n=1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b=101(10a+10c+b+d),

AD(m,n)可被101整除：

(3)由(2)可知，對(duì)于任意的“重九數(shù)"m=abed-WD(m,n)=101(10a+10c+b+d),

8

.*.f(m,n)=10a+10c+b+d,

Va4-b=9,c+d=9,

.\b=9-a,d=9-c,

.'.f(m,n)=10a+10c+b+d=10a+10c+9-a+9-c=9a+9c+18=9(a+c+2),

Vf(m,n)是完全平方數(shù)，9是完全平方數(shù)，

???a+c+2是完全平方數(shù)，

?.,lWaW9,lWc<9,且m>n,

/.a>c,5Wa+c+2<19,

.■?a+c+2=9或16,

a=6ci=5a=4

當(dāng)a+c+2=9時(shí)，解得〈或，

c=1叫c=2

a=9a=8

當(dāng)a+c+2=16時(shí)，解得〈或〈，.

c=51c=6

綜上所述，滿足要求的m的值有：9054、8163、6318、5427、4536.

【點(diǎn)睛】

本題以新定義的命題形式考查/整數(shù)的位值原理、整除、因式分解、完全平方數(shù)、不定方程

等知識(shí)點(diǎn)，正確理解“重九數(shù)”的含義、熟悉完全平方數(shù)的性質(zhì)以及會(huì)解不定方程是解答本

題的關(guān)鍵.

6.(2021?浙江杭州市?九年級(jí)一模)給出三個(gè)多項(xiàng)式：a2+3ab-2b2,b2-3ab,ab+6b2,

任請(qǐng)選擇兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果分解因式.

【答案】(a+b)(a-b)

【詳解】

9

試題分析?：根據(jù)平方差公式，可得答案.

試題解析：

(a2+3ab-2b2)+(b2-3ab)

=a2+3ab-2b2+b2-3ab

=a2-b2

=(a+b)(a-b).

v2r2_1

7.(2021?遼寧鞍山市?九年級(jí)一模)先化簡(/=—x+l),再從一1,

x+1x+2x+1

0,1中選擇合適的x值代入求值.

【答案】一-1

x-\

【分析】

先將小括號(hào)內(nèi)的分式通分化簡，再根據(jù)除以一個(gè)分式等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù)，結(jié)合完全平

方公式、平方差公式解題，約分、化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件代入x=0,計(jì)算求值

即可.

【詳解】

X2X2-1

(-----X+l)4---------

X+1A*-+2x+1

X2x(x+l)x+l-|x2+2x+l

=---------------1-----X-----------

X+1X+lX+lJX-1

%?——X+X+l(X+1)~

——X

x+l(x—l)(x+l)

(1、(X+l)?

-x+l(x-l)(x+l)

10

1

x-1

?jxw-l,x=0

當(dāng)x=0時(shí),

原式=」一=」一=一1

x-10-1

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的化簡求值,其中涉及分式有意義的條件、完全平方公式、平方差公式等知識(shí),

是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

22"41

8.（2021?山東省青島第二十六中學(xué)九年級(jí)其他模擬）計(jì)算：-+--

a-\a'-12-a

【答案】號(hào)

【分析】

利用分式的乘除法，結(jié)合提公因式、平方差公式進(jìn)行分解因式，最后根據(jù)分式的加減法法則

解題即可.

【詳解】

2(Q+1)(Q-1)1

解：原式=

a-2(。-2)2—a

。+11

d—2a—2

a

a-2

【點(diǎn)

本題考查分式的化簡、分式的加減乘除混合運(yùn)算、利用提公因式法、平方差公式進(jìn)行分解因

式等知識(shí)，掌握分式的知識(shí)是解題關(guān)鍵.

11

（?遼寧朝陽市?中考真題）先化簡，再求值：［―+%3—2廠+x

9.20201其中

2

Ix+17x-l

X=\/34-1?

【答案】二：；空

x-13

【分析】

先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把關(guān)的值代入式子進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

原式=(￡+I)xU-D2

(x+l)(x-l)

2x(x+l)(x-l)

x+1x(x-l)2

2

當(dāng)X=J§+1時(shí)，原式=—------=-----

V3+1-13

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是分式的化簡求值，最簡二次根式,在解答此類型題目時(shí)，要注意因式分解、

通分和約分的靈活運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

10.（2020?河北中考真題）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上"，

同時(shí)8區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去3