概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第2版 課件 1.2 事件的概率及其性質(zhì)

一、頻率二、概率的公理化定義第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)隨機事件發(fā)生的概率是刻畫該事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)值.一、頻率1.定義1在相同的條件下,進行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA

稱為事件A發(fā)生的頻數(shù),稱為事A發(fā)生的頻率.記為第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)(1)非負性:對任意事件A,有0

fn(A)

1;(2)規(guī)范性:

fn(Ω)=1;(3)可加性:對任意兩兩互不相容的事件A1,A2,

,An,有

fn

(A1∪A2∪

∪An)=fn

(A1)+

fn

(A2)+

+

fn

(An).2.頻率的基本性質(zhì)第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)試驗者

投擲次數(shù)（n）正面次數(shù)（

）正面頻率德

莫根204810610.5181浦豐404020480.5069費勒1000049790.4979K

皮爾森24000120120.5005歷史上統(tǒng)計學家們所作的拋硬幣試驗記錄如下表:第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小.3.頻率的穩(wěn)定性

在實際中,當隨機事件的概率不易求出時,人們常取試驗次數(shù)很大時事件發(fā)生的頻率作為概率的估計值,并稱此概率為統(tǒng)計概率,這種確定概率的方法稱為頻率方法.

在足夠多次試驗中,事件發(fā)生的頻率總在一個定值附近擺動,而且試驗次數(shù)越多,一般來說擺動幅度越小,這個性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.

第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)4.概率的統(tǒng)計定義

定義2

在相同條件下,獨立重復進行n次試驗,則事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)稱為A發(fā)生的頻數(shù),記為nA,比值fn(A)=稱為A發(fā)生的頻率.當試驗次數(shù)n增大時,頻率fn(A)呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性,即它在某一常數(shù)p附近波動,且n越大,波動的幅度一般越小,則稱p為事件A發(fā)生的概率.第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)公理2(規(guī)范性)

公理1(非負性)二、概率的公理化定義

對任意事件A,有P(A)0,公理3(可列可加性)對任意兩兩互不相容的事件列A1,A2,A3,

,有1.概率的定義

定義3設隨機試驗E的樣本空間為

,

對E的任意一個事件A,

規(guī)定一個實數(shù)P(A)與之對應,若集合函數(shù)P(·)滿足下列述公理:P(

)=1,則稱P(A)為事件A的概率.第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)2.概率的基本性質(zhì)Ａ性質(zhì)1對不可能事件

,P(

)=0.性質(zhì)2(有限可加性)若A1,A2,

,An

,兩兩互斥,則有P(A1∪A2∪

∪An)

=P(A1)+P(A2)+

+P(An).性質(zhì)3(求逆公式)第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)性質(zhì)4(減法公式)

設A,B是任意兩個事件,則

P(A

B)=P(A)

P(AB).特別地,當B

A時,P(B)≤P(A).A

BP(A

B)=P(A)

P(B),第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)例1

(P13例1)設事件A,B滿足P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求解由

P(A

B)=P(A)

P(AB),得

P(AB)=P(A)

P(A

B)=0.70.3

=0.4.于是=10.4

=0.6.第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)

性質(zhì)6(加法公式)

對任意兩個事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)

P(AB).性質(zhì)7(廣義加法公式,也稱多除少補原理)(1)對任意三個事件A,B,C,有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC).(2)對任意n個事件A1,A2,…,An

,有第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)解例2(P14例4)若事件A,B,C

滿足

則A,B,C三個事件中至少發(fā)生一個的概率為________.P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)第一章隨機事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)例3(P14