概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第2版 課件 3.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布新

第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、隨機(jī)變量的和§3.4

隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.離散情形

設(shè)Z=X+Y

,則Z的取值為0,1,2,···，且第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

特別地,若X與Y相互獨(dú)立且只取非負(fù)整數(shù),且

則稱之為離散的卷積公式.若X與Y同分布,則稱該卷積公式為自卷積.

證顯然Z的可能取值為0,1,2,···,且第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布注該例子說(shuō)明泊松分布具有可加性,該結(jié)論可以推廣到任何有限個(gè)相互獨(dú)立的泊松分布的和上去.例2

(見(jiàn)教材P102)設(shè)X～B(n

,p),Y～B(m

,p),

且X與Y

獨(dú)立,證明Z=X+Y～B(m+n

,p).證顯然Z的取值為0,1,2,···,m+n,且第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

當(dāng)k-i>m時(shí)，{Y=k-i}=Ф；我們只去考慮i≤n且i≥k-m,記a=max{0,k-m},b=min{n,k},則第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布注該例子說(shuō)明相互獨(dú)立的二項(xiàng)分布在參數(shù)p相同時(shí),其和仍為二項(xiàng)分布.上面用到了公式因此設(shè)(X

,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,f

(x

,y)為其聯(lián)合概2.連續(xù)情形定理1第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布密度,則Z=X+Y

是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為證Z的分布函數(shù)為第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布故同理可證注

若X與Y相互獨(dú)立,且fX(x),fY(y)分別為X與Y的概率密度函數(shù),則

例3

(見(jiàn)教材P103)設(shè)二維隨機(jī)變量(X

,Y)

的概率密度函數(shù)為解由于第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Z=X+Y

的密度函數(shù).第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布因此,Z的密度函數(shù)為注本例子還可以直接使用二重積分先計(jì)算Z

的分布函數(shù),然后對(duì)其分布函數(shù)求導(dǎo)得到.解根據(jù)上述定理可知，第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布例4

(見(jiàn)教材P103)設(shè),且X與Y獨(dú)立,證明第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布注本例子說(shuō)明,相互獨(dú)立的正態(tài)分布之和仍然服從正態(tài)分布.第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、隨機(jī)變量的最值

(3)

Xi為連續(xù)型隨機(jī)變量,且f(x)為其密度函數(shù)(同分布),i=1,2,···,n;第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布解第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(3)

Xi為連續(xù)型隨機(jī)變量,且f(x)為其密度函數(shù),i=1,2,···,n;第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布解

解

第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、一般隨機(jī)變量函數(shù)的分布

解顯然(X

,Y)的聯(lián)合密度為

第三章

多維隨機(jī)變量及其分布§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布故Z的密