考點27-空間向量求空間距離(講解)-(原卷版)

考點27空間向量求空間距離【思維導(dǎo)圖】【常見考法】考法一兩點距1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A．3 B．1 C． D．2【答案】C【解析】故選：C2．連續(xù)擲三次骰子，先后得到的點數(shù)分別為x，y，z，那么點到原點O的距離不超過3的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】點到原點O的距離不超過3，則，即連續(xù)擲三次骰子，得到的點的坐標(biāo)共有個其中滿足條件則點到原點O的距離不超過3的概率為故選：B考法二點線距1.已知A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，則點A到直線BC的距離為A．223 B．1 C．2 【答案】A【解析】∵A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，AB=(1,0，0)∴點A到直線BC的距離為：d=故選A．2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，則點B到直線A1C的距離為()A． B． C． D．1【答案】B【解析】過點B作BE垂直A1C，垂足為E，設(shè)點E的坐標(biāo)為(x，y，z)，則A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．因為，所以，解得，所以＝(－，，)，所以點B到直線A1C的距離||＝，故答案為B考法三點面距1.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，，點E是CD邊的中點，將沿AE折起，使點D到達(dá)點P的位置，且.（1）求證；平面平面ABCE；（2）求點E到平面PAB的距離.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）∵在平行四邊形ABCD中，，，，點E是CD邊的中點，將沿AE折起，使點D到達(dá)點P的位置，且.∴，∴，∵，∴，∵，∴平面PAE，∵平面ABCE，∴平面平面ABCE.（2）∵，，，∴，∴.∵平面PAE，，∴平面PAE，∴EA，EC，EP兩兩垂直，以E為原點，EA，EB，EP為x，y，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面PAB的法向量，則，取，得，∴點E到平面PAB的距離.3．如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】以為原點，所在直線分別為軸建系，設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設(shè)是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為.4．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且平面，，M，N分別為，的中點.（1）記平面與底面的交線為l，試判斷直線l與平面的位置關(guān)系，并證明.（2）點Q在棱上，若Q到平面的距離為，求線段的長.【答案】（1）直線平面，證明見解析.（2）.【解析】（1）直線與平面平行，證明如下：連接，如下圖所示：M，N分別為，的中點，則由中位線定理可得，因為平面，平面，所以平面，平面與底面的交線為，由線面平行的性質(zhì)可得，又因為，則由平行線傳遞性可得因為，且平面，平面，所以直線平面.（2）根據(jù)題意，以A為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則設(shè)，，（），所以解得，所以則由中點坐標(biāo)公式可得，則設(shè)平面的法向量為，則，即所以，令，代入解得.即而，所以Q到平面的距離，解得，因為，所以.所以考法四線面距1．已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰為的中點,又知.(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求到平面的距離；(Ⅲ)求二面角的大小．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,又,∴平面,得,又,∴平面.(Ⅱ)如圖,取的中點,則,∵,∴,又平面,以為軸建立空間坐標(biāo)系,則,,,,,,,,由,得.設(shè)平面的法向量,為,,,,設(shè),則.∴點到平面的距離.(Ⅲ)設(shè)面的法向量為,,,∴.設(shè),則,故,根據(jù)法向量的方向可知二面角的大小為.2．已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)建立以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，,,設(shè)平面PEF的法向量＝(x，y，z)，則·＝0且·＝0，所以令x＝2，則y＝2，z＝3，所以＝(2,2,3)，所以點D到平面PEF的距離為d＝，因此，點D到平面PEF的距離為.(2)因為，所以點A到平面PEF的距離為d＝，所以AC到平面PEF的距離為.考法五面面距1.．兩平行平面，分別經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩平行平面，分別經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，，且兩平面的一個法向量兩平面間的距離，故選B.2．在棱長