概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第2版 課件 第一章 隨機(jī)事件與概率

概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科理論基礎(chǔ)應(yīng)用延伸發(fā)展和應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象可能出現(xiàn)哪些結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大小HT概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版，人大社）參考書

曹顯兵,莫立坡,梁新剛,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版），

中國人民大學(xué)出版社,2023.

王勇,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),高等教育出版社,科學(xué)出版社,2019.

M.H.DeGroot,M.J.Schervish,ProbabilityandStatistics,HigherEducationPress,2012.

RickDurrett,ElementaryProbabilityforApplication,CambridgeUniversityPress,2012.

曹顯兵,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義,西安交通大學(xué)出版社,2020.第一章隨機(jī)事件與概率第二章隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律與中心極限定理第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第七章參數(shù)估計(jì)第八章假設(shè)檢驗(yàn)基本內(nèi)容§1.1基本概念§1.2事件的概念及其性質(zhì)§1.3等可能概型§1.4條件概率§1.5全概公式與貝葉斯公式§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念一、隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)試驗(yàn)三、樣本空間與隨機(jī)事件四、事件的關(guān)系和運(yùn)算必然現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象)自由落體擲一枚均勻的骰子,出7點(diǎn)是不可能的隨機(jī)現(xiàn)象(不確定現(xiàn)象)擲一枚硬幣,可能正面朝上,也可能朝下投籃(射擊、抽簽),結(jié)果:中或不中

一、隨機(jī)現(xiàn)象:指在一定的條件下,并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念定義1具有下列特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡稱試驗(yàn),常以字母E表示.1.試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(可重復(fù)性)對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察或?yàn)橛^察隨機(jī)現(xiàn)象而進(jìn)行的試驗(yàn).二、隨機(jī)試驗(yàn)：

2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(可觀察性)3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn).(隨機(jī)性)第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念(1)擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);(2)觀察某一時(shí)間段通過一路口的車輛數(shù);(3)觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度;(4)在某品牌手機(jī)中任意抽取一部,測試其待電時(shí)長(單位:小時(shí));(5)測量某物理量(長度,單位:米)的誤差.隨機(jī)試驗(yàn)例：第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念三、樣本空間與隨機(jī)事件1.樣本空間定義2:隨機(jī)試驗(yàn)E的一切可能結(jié)果所構(gòu)成的集合,稱為樣本空間,常用

或

S表示.稱為E的樣本空間.樣本點(diǎn):樣本空間的元素,即隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),用e或表示.樣本點(diǎn)e.

S第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念(1)從一批含有次品的產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件產(chǎn)品,檢查它是否為合格品;

(2)擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);(3)將一枚梗幣拋三次,觀察出現(xiàn)正面,反面的情況;(4)將一枚硬幣拋三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù);(5)觀察某一時(shí)間段通過一路口的車輛數(shù);(6)測量某物理量(長度,單位:米)的誤差.例1

(P2例1)寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念解(1)

1={合格品,次品}.

(2)設(shè)i表示擲出i點(diǎn)數(shù),則

Ω2={1,2,3,4,5,6}.

(3)設(shè)H表示出現(xiàn)正面,T表示出現(xiàn)反面,則Ω3={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.

(4)設(shè)i表示拋三次硬幣出現(xiàn)i次正面,則Ω4={0,1,2,3}.

(5)設(shè)i表示某一時(shí)間段通過路口i輛車數(shù),則Ω5={0,1,2,3,}.(6)

6={t|

<t<

}.

定義3

隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間

的一個(gè)子集稱為E的隨機(jī)事件,簡稱事件.常用大寫字母A,B,C,

表示.2.隨機(jī)事件

在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情或結(jié)果.

稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn).基本事件:由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件.“事件A發(fā)生”的含義是:A

且存在某一

,使得

A.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念

定義5在一定的條件下肯定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件.記為．

定義4在一定的條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然事件.記為S或

.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念3.隨機(jī)事件的表示文字描述.樣本點(diǎn),即集合表示.文氏圖.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念例2(P3例2)

擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),用樣本點(diǎn)表示下列隨機(jī)事件：

A=“擲出偶數(shù)點(diǎn)”,B=“擲出的點(diǎn)數(shù)大于3”,

C=“擲出的點(diǎn)數(shù)是大于3的奇數(shù)”,

D=“擲出的點(diǎn)數(shù)小于1”.解擲一顆骰子,樣本空間Ω

={1,2,3,4,5,6},有

A

={2,4,6},

B

={4,5,6},

C

={5},

D

=

.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念四、事件的關(guān)系和運(yùn)算

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為

,而

A,B,C,

,A1,A2,

,An,

是

的子集.

在下列敘述中,為直觀起見,用平面上的一個(gè)矩形域來表示樣本空間

,矩形內(nèi)的每一點(diǎn)表示樣本點(diǎn),矩形內(nèi)的圓表示事件.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念

若事件A中的每一個(gè)樣本點(diǎn)都屬于事件B,即A為B的子集,則稱事件B包含事件A,或稱事件A包含于事件B.

記為:A

B

或

B

A.A

B表示事件A

發(fā)生,必然導(dǎo)致事件B

發(fā)生.即若

A,則

B.1.包含關(guān)系圖1-1對任意事件A,有

A

.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念2.相等關(guān)系此時(shí)A與B包含的樣本點(diǎn)完全相同,即表示同一個(gè)事件.

若兩個(gè)事件A、B滿足:A

B

且B

A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念

事件A,B中至少一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為A與B的和(并)事件.記作A∪B(或A+B),表示屬于事件A,B的所有樣本點(diǎn)所構(gòu)成的集合.圖1-2表示了A與B的和事件(陰影部分).3.事件的和(并)圖1-2(1)n個(gè)事件A1,A2,

,An的和(并):事件A1,A2,

,An中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為

A1,A2,

,An的和(并)事件,記為(2)可列個(gè)事件A1,A2,

,An

的和(并):事件A1,A2,

,An

中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為

A1,A2,

,An

的和(并)事件,記為

A∪B={

|

A或

B}.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念

事件A,B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為

A與

B的積(交)事件，記作A∩B(或

AB),表示同時(shí)屬于事件A,B的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的集合.圖1-3表示了A與B的和事件(陰影部分).4.事件的積(交)

A∩B={

|

A且

B}.(1)n個(gè)事件A1,A2,

,An的積(交):

事件A1,A2,

,An同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為

A1,A2,

,An的積(交)事件,記為(2)可列個(gè)事件A1,A2,

,An

的積(交):

事件A1,A2,

,An

同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為

A1,A2,

,An

的積(交)事件,記為圖1-3第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念5.事件的差圖1-4表示了A與B的差事件(陰影部分).即A

B={

|

A但

B}.

事件A發(fā)生但B不發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為A與B的差,記作A

B.圖1-4第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念圖1-5表示了A與B的互斥關(guān)系.6.互不相容(互斥)事件

如果事件A1,A2,

,An,

中任意兩個(gè)事件是互不相容的,則稱

A1,A2,

,An,

互不相容.

若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生,即A∩B=

,則稱A與B互不相容(或互斥),記作

A∩B=

或

AB=

.

圖1-5第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念7.對立(互逆)事件={

|

A}=

A.

若事件A,B不能同時(shí)發(fā)生,且必有一個(gè)發(fā)生,即

A,B滿足

AB=

且

A∪B=

,則稱A與B互為對立事件(或互逆事件).記作

A=,或

B=,或

B=AC.

圖1-6圖1-6表示了A的對立事件為B(陰影部分).A的對立事件

就是A不發(fā)生的事件.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念8.完全(備)事件組構(gòu)成一個(gè)完全事件組或完備事件組.

若有限個(gè)或可列個(gè)事件

A1,A2,

,An,

,滿足:AiAj=

(i

j),且

=

,則稱

A1,A2,

,An,

第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念

符號

概率論

集合論

AA

BA=BA∪BA∩BA

BA∩B=

樣本空間,必然事件

不可能事件

基本事件(樣本點(diǎn))

事件A的對立事件,A的逆事件事件A

發(fā)生必然導(dǎo)致事件B

發(fā)生事件A

與事件B

相等事件A與事件B中至少一個(gè)發(fā)生事件A與事件B同時(shí)發(fā)生事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生

事件A與B互不相容

全集空集元素子集A的余集A是B的子集A

與B

相等A

與B

的并集A

與B

的交集A

與B

的差集A

與B沒有公共元素事件的概念、關(guān)系、運(yùn)算與集合論中相應(yīng)部分對照列表:第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念9.事件的運(yùn)算性質(zhì)(1)交換律：(2)結(jié)合律：(3)分配律：

A(B

C)=AB

AC,A(B∪C)=(AB)∪(AC)

,A∪(BC)=(A∪B)(A∪C),第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念(7)排中律

(6)雙重否定律(5)吸收律(8)差積轉(zhuǎn)換律(4)對偶律(De·Morgan律)：A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A.第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念例3(P8例5)

設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,試用A,B,C表示下列事件：(1)A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生;(2)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；(3)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生；(4)A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；(5)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生,但C不發(fā)生.解(1)(3)(2)(4)(5)第一章隨機(jī)事件與概率§1.1基本概念解例4

設(shè)A,B

為兩個(gè)事件,試化簡下列各式：=A.=

.一、頻率二、概率的公理化定義第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是刻畫該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)值.一、頻率1.定義1在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA

稱為事件A發(fā)生的頻數(shù),稱為事A發(fā)生的頻率.記為第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)(1)非負(fù)性:對任意事件A,有0

fn(A)

1;(2)規(guī)范性:

fn(Ω)=1;(3)可加性:對任意兩兩互不相容的事件A1,A2,

,An,有

fn

(A1∪A2∪

∪An)=fn

(A1)+

fn

(A2)+

+

fn

(An).2.頻率的基本性質(zhì)第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)試驗(yàn)者

投擲次數(shù)（n）正面次數(shù)（

）正面頻率德

莫根204810610.5181浦豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979K

皮爾森24000120120.5005歷史上統(tǒng)計(jì)學(xué)家們所作的拋硬幣試驗(yàn)記錄如下表:第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小.3.頻率的穩(wěn)定性

在實(shí)際中,當(dāng)隨機(jī)事件的概率不易求出時(shí),人們常取試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件發(fā)生的頻率作為概率的估計(jì)值,并稱此概率為統(tǒng)計(jì)概率,這種確定概率的方法稱為頻率方法.

在足夠多次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的頻率總在一個(gè)定值附近擺動,而且試驗(yàn)次數(shù)越多,一般來說擺動幅度越小,這個(gè)性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.

第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)4.概率的統(tǒng)計(jì)定義

定義2

在相同條件下,獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),則事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)稱為A發(fā)生的頻數(shù),記為nA,比值fn(A)=稱為A發(fā)生的頻率.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí),頻率fn(A)呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性,即它在某一常數(shù)p附近波動,且n越大,波動的幅度一般越小,則稱p為事件A發(fā)生的概率.第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)公理2(規(guī)范性)

公理1(非負(fù)性)二、概率的公理化定義

對任意事件A,有P(A)0,公理3(可列可加性)對任意兩兩互不相容的事件列A1,A2,A3,

,有1.概率的定義

定義3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為

,

對E的任意一個(gè)事件A,

規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對應(yīng),若集合函數(shù)P(·)滿足下列述公理:P(

)=1,則稱P(A)為事件A的概率.第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)2.概率的基本性質(zhì)Ａ性質(zhì)1對不可能事件

,P(

)=0.性質(zhì)2(有限可加性)若A1,A2,

,An

,兩兩互斥,則有P(A1∪A2∪

∪An)

=P(A1)+P(A2)+

+P(An).性質(zhì)3(求逆公式)第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)性質(zhì)4(減法公式)

設(shè)A,B是任意兩個(gè)事件,則

P(A

B)=P(A)

P(AB).特別地,當(dāng)B

A時(shí),P(B)≤P(A).A

BP(A

B)=P(A)

P(B),第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)例1

(P13例1)設(shè)事件A,B滿足P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求解由

P(A

B)=P(A)

P(AB),得

P(AB)=P(A)

P(A

B)=0.70.3

=0.4.于是=10.4

=0.6.第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)

性質(zhì)6(加法公式)

對任意兩個(gè)事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)

P(AB).性質(zhì)7(廣義加法公式,也稱多除少補(bǔ)原理)(1)對任意三個(gè)事件A,B,C,有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC).(2)對任意n個(gè)事件A1,A2,…,An

,有第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)解例2(P14例4)若事件A,B,C

滿足

則A,B,C三個(gè)事件中至少發(fā)生一個(gè)的概率為________.P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概率及其性質(zhì)例3(P14例5)設(shè)事件A,B,C

滿足求A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生的概率.解=1

[P(AB)+P(BC)+P(AC)

P(ABC)

P(ABC)

P(ABC)+P(ABC)]§1.3等可能概型一、古典概型二、幾何概型第一章隨機(jī)事件與概率滿足下述兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型,也叫做古典概型

.

(1)

樣本空間的元素只有有限個(gè);

(2)

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.一、古典概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

P(

1)=P(

2)=

=P(

n).

設(shè)試驗(yàn)E為古典概型,則樣本空間可表示為

={

1

,

2,

,

n}.由古典概型的等可能性,得

定義1

若隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω只包含有限個(gè)樣本點(diǎn),即有限個(gè)基本事件,且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,則稱試驗(yàn)E為古典概型.此時(shí),事件A

的概率定義為1.

概率的古典定義第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型上式計(jì)算出的概率稱為古典概率,A中包含的基本事件數(shù)也常稱為有利事件數(shù).這種確定概率的方法稱為古典方法..例1(P15例1)將一枚均勻硬幣擲2次,試求至少出現(xiàn)一次正面的概率.第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

故P(A)=易知試驗(yàn)為古典概型,令A(yù)={至少出現(xiàn)一次正面},2.古典概型中事件概率的計(jì)算解于是樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},A={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面)}213245623479108615

例2一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的兩種顏色的球.將球編號為1~10,把球攪勻,從中任取一球.求下列事件的概率(1)A={取到2號球};(2)B={取到紅球}.解(1)A={取到2號球}(2)B={取到紅球}第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型例3

(P15例3)設(shè)100件產(chǎn)品中有10件次品,現(xiàn)從中不放回地任取5件進(jìn)行檢驗(yàn),求所取的5件產(chǎn)品中至多有1件次品的概率.第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

故所求概率基本事件總數(shù)為解所取的5件產(chǎn)品中至多有1件次品的事件數(shù)為0.9231.例4(P16例5)從0,1,2,…,9等十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字,試求下列事件的概率：A1={三個(gè)數(shù)字中不含0和5},

A2={三個(gè)數(shù)字中不含0或5},A3={三個(gè)數(shù)字中含0但不含5}.第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型因不必考慮三個(gè)數(shù)字的順序,故按組合進(jìn)行計(jì)算,基本事件總數(shù)為解故所求概率A1包含的基本事件數(shù)為

A2包含的基本事件數(shù)為

A3包含的基本事件數(shù)為

第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型解例5(P16例6)

袋中有a個(gè)紅球,b個(gè)白球,現(xiàn)從袋中每次任取一球,取后不放回抽樣,求“第k次取到紅球”的概率(1≤k≤a+b).設(shè)

A={第k次取到紅球},

方法1排列法:設(shè)各個(gè)球是有區(qū)別的,基本事件總數(shù)為(a+b)!第k

次取到紅球的事件數(shù)為

a(a+b1)!,

所以

方法2組合法:將各個(gè)球看作沒有區(qū)別,基本事件總數(shù)為

故所求概率第k

次取到紅球的事件數(shù)為第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

例6(P17例7)

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)在分別按不放回抽樣和有放回抽樣,從中任取n件,問其中恰有k(k

M)件次品的概率是多少?

(1)不放回抽樣:基本事件總數(shù)為解任取n件恰有k

件次品的事件數(shù)為

于是所求概率

(2)放回抽樣:基本事件總數(shù)為

N

n,

故所求概率任取n件恰有k

件次品的事件數(shù)為第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型例7

(P17例8)

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),求取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率.解則所求概率為故設(shè)A=“取到的數(shù)能被6整除”,B=“取到的整數(shù)能被8整除”,因所以=1

[P(A)+P(B)

P(AB)]第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

例8(盒子模型)(P18例9)

設(shè)有n個(gè)球和N(N≥n)個(gè)盒子,現(xiàn)將n個(gè)球隨機(jī)分配到N個(gè)盒子中,且每個(gè)盒子可容納的球數(shù)不限.試分別求事件A={某指定的n個(gè)盒子中各有1個(gè)球}和B={n個(gè)球分到n個(gè)不同的盒子中}的概率.球盒子解A包含的基本事件數(shù)為

n!,基本事件總數(shù)為

N

n,所以,B包含的基本事件數(shù)為

定義2

若隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω為空間中的一個(gè)有界區(qū)域(這個(gè)區(qū)域可以是一維、二維、三維、甚至n維的),且Ω中每個(gè)樣本點(diǎn),即基本事件出現(xiàn)的可能性相同,則稱試驗(yàn)E為幾何概型.

此時(shí),事件A

的概率定義為1.概率的幾何定義二、幾何概型:

注：幾何概型中事件A發(fā)生的概率與A的度量(長度、面積、體積)成正比,而與A的位置及形狀無關(guān).第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型由幾何概型概率計(jì)算公式有樣本空間Ω={(x,

y)|0<y<(a>0)},其面積為解事件A={(x,y)|(x,y)∈Ω,x>y},其面積為例9(P19例11)

隨機(jī)地向半圓0<y<(a>0)內(nèi)擲一個(gè)點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該區(qū)域的面積成正比,求該點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于

的概率.2.幾何概型中事件概率的計(jì)算第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

Ω={(x,

y)|0≤x,y≤60},

設(shè)

x,y分別表示兩人在7點(diǎn)之后的到達(dá)時(shí)刻(單位:分鐘),則樣本空間為

記A=“兩人能會面”,則有于是例10

(P20例12約會問題)

兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會面,先到者等候另一人10分鐘,過時(shí)就離去,試求兩人能會面的概率.解A={(x,y)|(x,y)∈Ω,|x

y|≤10}一、引例二、條件概率三、乘法公式第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

當(dāng)牌分發(fā)完后,東家拿到了自己的13張牌,其中有6張紅桃,此時(shí)東家更關(guān)心自己的同伴(西家)手中有幾張紅桃,即計(jì)算A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率將更有實(shí)際意義.這種概率以后稱為A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的條件概率,記為P(B|A).根據(jù)古典概型,此概率應(yīng)該是例1

考慮四人打橋牌,52張牌,隨機(jī)分發(fā)給每個(gè)人13張牌.記事件A={東家拿到6張紅桃},事件B={西家拿到2張紅桃}.由古典概型容易得到兩個(gè)事件的概率分別為一、引例第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

例2(P21例2)從1至10中任取一數(shù),記事件

A={取到的數(shù)比3大},B={取到偶數(shù)},則樣本空間

={1,2,,10},A={4,5,,10},B={2,4,6,8,10}.第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率二、條件概率

定義1

設(shè)兩個(gè)事件A和B,且P(A)>0,則稱

為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率,記為P(B|A),即第一章隨機(jī)事件與概率§1.2事件的概念及其性質(zhì)對于固定的事件A,條件概率P(B|A)具有概率的一切性質(zhì).定理1條件概率P(·|A)滿足概率的三條基本性質(zhì),即三條公理:非負(fù)性:對任意事件B,有

P(B|A)≥0;(2)規(guī)范性:P(Ω|A)=1;(3)可列可加性:對任意兩兩互不相容的事件列B1,B2,

,Bn,

,第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

例3

(P22例3)考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭,并且假定小孩為男孩和女孩是等可能的.若已知某家庭有一個(gè)男孩,試求另一個(gè)為女孩的概率.解設(shè)

A={兩個(gè)小孩中有一個(gè)為男孩},B={兩個(gè)小孩中有一個(gè)為女孩},選取樣本空間

={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},則

注

條件概率P(B|A)的計(jì)算一般有兩種方法:一種是利用條件概率公式P(A|B)=在原樣本空間Ω中計(jì)算;另一種是根據(jù)直觀在縮小的樣本空間A中直接計(jì)算.第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

例4(P23例5)已知隨機(jī)事件A的概率P(A)=0.5,隨機(jī)事件B的概率P(B)=0.6,以及條件概率

P(B|A)=0.8,求事件A∪B的概率P(A∪B).解由

P(B|A)=0.8得=0.7.P(AB)=0.8P(A)=0.4,故P(A∪B)=P(A)+P(B)

P(AB)=0.5+0.60.4第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

定理2

設(shè)A,B為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,若P(A)>0,則有

P(AB)=P(A)P(B|A);

若P(B)>0,則有

P(AB)=P(B)P(A|B).三、乘法公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的n個(gè)事件,若P(A1A2…An-1)>0,則有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1).第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

例5(P24例6)某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字,因而他隨意地?fù)芴?假設(shè)撥過了的數(shù)字不再重復(fù),試求下列事件的概率:(1)第3次撥號才接通電話;(2)撥號不超過3次而接通電話.解設(shè)Ai={第i次撥號接通電話},i=1,2,3.(1)第3次撥號才接通電話可表示為積事件第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

例5(P24例6)某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字,因而他隨意地?fù)芴?假設(shè)撥過了的數(shù)字不再重復(fù),試求下列事件的概率:(1)第3次撥號才接通電話;(2)撥號不超過3次而接通電話.解設(shè)Ai={第i次撥號接通電話},i=1,2,3.(2)撥號不超過3次而接通電話可表示為第一章隨機(jī)事件與概率§1.4條件概率

例6(P24例7)(波里亞罐子模型)設(shè)袋中裝有r只紅球和t只白球.每次自袋中隨機(jī)地抽取一只球,觀看顏色后放回袋中,并且再加進(jìn)a只與所抽出的球具有相同顏色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解設(shè)Ai={第i

次取到紅球}

,i=1,2,3,4,則第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率為一、引例二、全概率公式三、貝葉斯公式第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式例1(P24例1)設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品,任意抽取兩次,每次抽取一件,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的概率.一、引例設(shè)Ai={第i

次取到次品},i

=1,2.解方法1直接利用古典概型得方法2因?yàn)樗缘谝徽码S機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式1.完備事件組

定義1設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,A1,A2,…,An為一組事件,若AiAj=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,則稱A1,A2,…,An為樣本空間的一個(gè)劃分,也稱為完全事件組或完備事件組.第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式2.全概率公式

定理1設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,而且A1,A2,…,An為一完備事件組,即AiAj=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意E的事件B,有第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式證

由事件列A1,A2,

,An兩兩互不相容知,事件列BA1,BA2,

,BAn也兩兩互不相容.因此P(B)=P[B(A1∪A2∪

∪An)]=P(BA1∪BA2∪

∪BAn)=P(BA1)+P(BA2)+

+P(BAn)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

+P(An)P(B|An)第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式

例2

(P25例2)甲、乙文具盒內(nèi)都有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆,現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒,然后再從乙文具盒中任取2支筆.試求最后取出的2支筆都是黑色筆的的概率.

設(shè)A1={從甲文具盒中取到2支藍(lán)色筆},A2={從甲文具盒中取到2支黑色筆},A3={從甲文具盒中取到1支藍(lán)色筆和1支黑色筆},B={從乙文具盒中取到2支黑色筆}.顯然A1,A2,A3構(gòu)成一個(gè)完全事件組,且解第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式

例2

甲、乙文具盒內(nèi)都有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆,現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒,然后再從乙文具盒中任取2支筆.試求最后取出的2支筆都是黑色筆的的概率.解由全概率公式得P(B)

=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式三、貝葉斯公式

定理2設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,而且A1,A2,…,An為一完備事件組,即AiAj

=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意概率不為零的事件B,有證1≤k≤n.由條件概率的定義及全概率公式,對任意1≤k≤n,有第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式記C={取的產(chǎn)品是A廠生產(chǎn)的},

D={取到次品}.解例3(P26例3)設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A廠和B廠的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,發(fā)現(xiàn)是次品,求該次品是A廠生產(chǎn)的概率.P(C)

=0.6,P(D|C)=0.01,由已知有由貝葉斯公式得第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式設(shè)Ai={取到第i個(gè)箱子},Bi={第i次取到一等品},i=1,2.解

例4(P27例5)

假設(shè)有兩箱同種零件:第一箱內(nèi)裝50件,其中10件為一等品;第二箱內(nèi)裝30件,其中18件一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱,然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件(取出的零件均不放回),試求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.(1)由全概率公式有P(B1)

=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式(2)所求概率為P(B2|B1),由條件概率的定義及全概率公式有

0.4856.第一章隨機(jī)事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式

設(shè)B表示事件“被檢查者患有癌癥”,A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”,解

例5(P27例6)用某種試驗(yàn)方法對自然人群進(jìn)行癌癥普查,若患有這種癌癥的人經(jīng)過檢查,“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”的概率為0.95,而沒患此癌癥的人經(jīng)過檢查,“試驗(yàn)反應(yīng)為陰性”的概率為0.95.設(shè)被普查人群患有此種癌癥的概率為0.005,現(xiàn)有一人用此法檢查,診斷為有此癌癥,求此人確實(shí)患有癌癥的概率．已知

P(B)=0.005,P(A|B)=0.95,由貝葉斯公式,得于是

0.087.一、引例二、兩個(gè)事件的獨(dú)立性三、多個(gè)事件的獨(dú)立性四、伯努利概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型例1

(P28例1)設(shè)一個(gè)袋中有5個(gè)球,其中紅球2個(gè),白球3個(gè),現(xiàn)從袋中取球2次,每次任取1球.試在有放回與不放回情況下,計(jì)算(1)第二次取到紅球的概率;(2)已知第一次取到紅球的條件下,第二次取到紅球的概率.一、引例設(shè)Ai={第i

次取到紅球},i

=1,2.解

上面結(jié)果表明,在有放回情況下第一次取到紅球的條件下,第二次取到紅球的概率等于第二次取到紅球的概率.也就是說事件A1的發(fā)生并不影響事件A2發(fā)生的可能性.我們稱這樣的兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的.(1)在有放回的情況下(2)在不放回的情況下二、兩個(gè)事件的獨(dú)立性定理1當(dāng)P(A)>0時(shí),

P(B|A)=P(B)等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).

定義1設(shè)兩個(gè)事件A,B,如果

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與B相互獨(dú)立,簡稱

A,B獨(dú)立.第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型若

P(B|A)=P(B),則由概率的乘法公式得證P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).反之,若

P(AB)=P(A)P(B),則由條件概率定義

定理2

若A與B相互獨(dú)立,則A與

與B,與

也分別相互獨(dú)立.于是第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型=P(A)

P(AB)設(shè)A與B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B).

證=P(A)

P(A)P(B)=P(A)[1

P(B)]即A與

相互獨(dú)立.其他同理可證.第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型注1

定理2中四對事件中若有一對獨(dú)立,則另外三對也相互獨(dú)立.注2必然事件Ω,不可能事件Φ與任何事件相互獨(dú)立.進(jìn)一步,概率為1或0的事件與任何事件相互獨(dú)立.解第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型

例2從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},問事件A、B是否獨(dú)立?因此,事件A、B相互獨(dú)立.=P(A)P(B)三、多個(gè)事件的獨(dú)立性

定義2

設(shè)三個(gè)事件A,B,C,如果

P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，則稱事件A,B,C兩兩獨(dú)立.第一章隨機(jī)事件與概率§1.6事件的獨(dú)立性與伯努利概型

定義2

設(shè)三個(gè)事件A,B,C,如果

P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P