線性代數(shù)特征值與特征向量

在數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，如微分方程、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、振動(dòng)、自動(dòng)控制、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、航空、航天等等，常常遇到矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題。而解決這一問(wèn)題的重要工具就是特征值與特征向量。為此，本章從介紹特征值與特征向量的概念和計(jì)算開(kāi)始，進(jìn)而討論矩陣與對(duì)角形矩陣相似的條件，最后介紹相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題。第五章特征值與特征向量一.特征值與特征向量的定義和求法

§5.1特征值與特征向量

定義5.1.1設(shè)A=[]是n階方陣。若存在數(shù)λ及非零列向量，或則稱λ為矩陣A的特征值，X為矩陣A的屬于（或?qū)?yīng)于）特征值λ的特征向量。

X=使得注意:1.只有方陣才有特征值與特征向量;2.特征向量必須是非零向量，而特征值不一定非零。下面討論特征值和特征向量的解法：式子可寫成以下線性方程組如果是方程組的非零解，則有是的根。反之，如果有是的根，方程組有非零解。是的特征值的特征向量，是的特征根。

定義5.1.2設(shè)A為n階方陣，稱為矩陣A的特征矩陣，為矩陣A的特征多項(xiàng)式，

=0為矩陣A的特征方程，為矩陣A的特征方程組。綜上，可得矩陣的特征值與特征向量的求法：（1)寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，它的全部根就是矩陣的全部特征值;

(2)

設(shè)是矩陣的全部互異的特征值.將的每個(gè)互異的特征值分別代入特征方程組，得分別求出它們的根底解系這就是特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量。非零線性組合是的屬于特征值的全部特征向量，其中為任意常數(shù)。例1

設(shè)求A的特征值與特征向量．解1l=-1當(dāng)時(shí)解方程組〔-I-A)X=0得根底解系為：例2

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證再繼續(xù)施行上述步驟次，就得顯然單位矩陣的特征值全是1；零矩陣的特征值全是0；上〔下〕三角陣的特征值是它的全部主對(duì)角元。矩陣的全部特征值的集合常稱為的譜。二、特征值和特征向量的性質(zhì)設(shè)，易見(jiàn)，它的特征多項(xiàng)式是關(guān)于的次多項(xiàng)式，不妨設(shè)為即考慮上式左端行列式的展開(kāi)式，它除了這一項(xiàng)含有個(gè)形如的因式外，其余各項(xiàng)最多含有個(gè)這樣的因式。于是只能由（5.1.6)產(chǎn)生。比較（5.1.5)兩端的系數(shù)，得在式（5.1.5)中，令，得另外,根據(jù)多項(xiàng)式理論，次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上有個(gè)根，不妨設(shè)為，又由于的首項(xiàng)系數(shù)，于是有比較和，得于是可得特征值的重要性質(zhì):由易見(jiàn)，矩陣可逆的充要條件是它的所有特征值都不為零。矩陣的主對(duì)角線上的所有元素之和稱為矩陣的跡，記作。于是，性質(zhì)又可寫成還可證明，特征值和特征向量還有如下性質(zhì)：并可證明，的屬于特征值的全部特征向量，再添加零向量，便可以組成一個(gè)子空間，稱之為的屬于特征值的特征子空間，記為。不難看出，正是特征方程組的解空間。假設(shè)都是矩陣的屬于特征值的特征向量，那么其非零線性組合也是A的屬于特征值的特征向量。若是矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量，則有是矩陣的特征值（其中為正整數(shù)）；是矩陣的特征值（其中為任意常數(shù)）；是的特征值（這里是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)）;當(dāng)可逆時(shí)，是的特征值；并且仍是矩陣的分別對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量；例n階可逆方陣A的全部特征值為求的全部特征值及解由特征值的性質(zhì)知，又可逆，從而的全部特征值為由伴隨矩陣的性質(zhì)知，當(dāng)可逆時(shí)，從而有于是，由上述性質(zhì)中的知，的全部特征向量值為于是三.矩陣的相似定義設(shè)A、B是兩個(gè)n階矩陣。若存在n階可逆矩陣P，使得則稱Ａ相似于Ｂ，記作Ａ～Ｂ，Ｐ稱為由Ａ到Ｂ的相似變換矩陣。

相似矩陣具有如下性質(zhì)：顯然，假設(shè)~，那么另外，可以證明，相似矩陣還有以下性質(zhì)：為任意數(shù)。其中均為階矩陣，為階可逆矩陣。特別地，當(dāng)時(shí)，有〔4〕假設(shè)A~B，那么f(A)~f(B)，這里為任一多項(xiàng)式函數(shù)。其證明如下：設(shè)那么由A~B可知，存在可逆矩陣，使得于是即得f(A)~f(B)。若~(yú)，則，其證明如下由~可知，存在可逆矩陣，使得于是由上易見(jiàn)，若~(yú)，則矩陣，有相同的譜。若~(yú)，則~其證明如下：由~可知，存在可逆矩陣取顯然可逆，且于是有因此~

例５.１.3設(shè)是矩陣Ａ的屬于特征值的特征向量。證明：是矩陣Ｂ的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量。證由可得于是又由得，故結(jié)論成立。2）求。例５.１.4已知

1）求；解1〕先求得于是2〕由上式得兩端同時(shí)求次冪，得思考題思考題解答§５.２矩陣的相似對(duì)角化

一.矩陣可對(duì)角化的條件不妨假設(shè)階方陣可相似于對(duì)角陣，即存在可逆矩陣，使得或令并將之代入上式，得即從而有由可逆知,且線性無(wú)關(guān)從而是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，是的個(gè)特征值。反之，若階方陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，不妨設(shè)為，則存在相應(yīng)的特征值，使得此時(shí)，令顯然可逆，且有綜上，有如下結(jié)論定理５．２．１ｎ階方陣Ａ可相似對(duì)角化的充要條件是Ａ有ｎ個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

與相對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣的主對(duì)角元正好是的全部特征值，并且的順序與的順序相對(duì)應(yīng).相似變換矩陣由的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量作為列構(gòu)成，即不唯一，因?yàn)?〕特征向量不唯一；2)的順序隨的順序改變而改變。根據(jù)定理5.2.1，階方陣的相似對(duì)角化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為是否有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的問(wèn)題.定理５.２.２ｎ階方陣Ａ的屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。

證設(shè)的互不相等特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量且有下證線性無(wú)關(guān)。當(dāng)時(shí)，顯然結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)個(gè)互異的特征值成立，下面證對(duì)個(gè)互異特征值也成立。設(shè)上式兩端同時(shí)左乘A，得由于上式可變?yōu)橛墒綔p式的倍，消去，得根據(jù)歸納假設(shè)，線性無(wú)關(guān)。于是已知，所以必有綜上，結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立。代入，得又因，所以必有，于是線性無(wú)關(guān)。推論假設(shè)ｎ階方陣Ａ有n個(gè)互異的特征值〔即特征多項(xiàng)式無(wú)重根〕，那么Ａ可相似對(duì)角化。定理５．２．３設(shè)是ｎ階方陣Ａ的ｍ個(gè)互異的特征值，是屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,那么由所有這些特征向量〔共個(gè)〕構(gòu)成的向量組是線性無(wú)關(guān)的。由定理和知，對(duì)階方陣來(lái)說(shuō)，只要屬于它的各個(gè)互異特征值的特征向量的總數(shù)不少于,就可以相似對(duì)角化。那么，對(duì)它的特征值來(lái)說(shuō)，屬于它的線性無(wú)關(guān)的特征向量最多有多少個(gè)？由§５.1知，特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量正好是特征方程組的全部非零解。因此，的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量最多有個(gè)。

這個(gè)數(shù)就是特征方程組解空間的維數(shù)，也即特征子空間的維數(shù)，稱之為特征值的幾何重?cái)?shù)，記為。另外，有被稱為特征值的代數(shù)重?cái)?shù)，且有設(shè)A的互異特征值,對(duì)應(yīng)的幾何重?cái)?shù)分別為。于是A的線性無(wú)關(guān)的特征向量最多有個(gè)。A可相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)定理５.2.4

ｎ階方陣Ａ的任一特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。

特別地，對(duì)于單特征值，其幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。由定理可得同時(shí)，由上面，A可相似對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)于是有定理５．２．５設(shè)是ｎ階方陣A的全部互異的特征值，和分別是特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)，i=1，2，…,s，則A可相似對(duì)角化的充要條件是=，i=1，2，…，s

二相似對(duì)角化的方法求出的全部互異的特征值前面討論了階矩陣可相似對(duì)角化的條件，下面給出求相似對(duì)角陣及變換矩陣的方法和步驟：對(duì)每個(gè)特征值,求特征矩陣的秩，并判斷的幾何重?cái)?shù)是否等于它的代數(shù)重?cái)?shù)。只要的一組根底解系有一個(gè)不相等，就不可以相似對(duì)角化；否則可以相似對(duì)角化。當(dāng)可以對(duì)角化時(shí)，對(duì)每個(gè)特征值,求方程組那么有令其中有個(gè)。例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解解之得根底解系求得根底解系解之得根底解系故不能化為對(duì)角矩陣.A能否對(duì)角化？若能對(duì)角例2解解之得根底解系所以可對(duì)角化.注意即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．那么從而有一般地，對(duì)任意多項(xiàng)式及階方陣,若三、小結(jié)

１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算．

相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣．思考題思考題解答§５.３實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化一.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量.二.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。定理1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明一.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量.于是有兩式相減，得定理

實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。

證設(shè)于是二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化定理設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的任一特征值，p，q分別為它的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)，則定理對(duì)任一ｎ階實(shí)對(duì)稱矩陣Ａ，存在ｎ階正交矩陣Ｑ，使得

其中為矩陣Ａ的全部特征值。

由此定理知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化，而且有根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.解例

對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對(duì)角陣.(1)第一步求的特征值解之得根底解系解之得根底解系解之得根底解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化于是得正交陣?yán)O(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，4，-2，矩陣A對(duì)應(yīng)的特征值1和4的特征向量分別為〔1〕求A的特征值-2的特征向量；〔2〕求A。解

設(shè)A的特征值-2的特征向量是因此，A的特征值-2的全部特征向量為求得其一組基礎(chǔ)解系：（2）取同時(shí)從而例5.3.3已知為實(shí)對(duì)稱矩陣，且證明：存在正交矩陣，使得證由知和有相同的特征值，設(shè)為根據(jù)定理5.3.4，對(duì)和分別存在正交矩陣和,使得從而有其中由正交矩陣的性質(zhì)知，為正交矩陣。取，于是有思考題思考題解答§５．４應(yīng)用

一.求解線性方程組例５．４．１求解線性微分方程組

解令則方程組可表示成矩陣形式假設(shè)可以相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣,使得其中為的全部特征值。于是令即其中,將式代入式，得在上式兩端同時(shí)左乘,得即將上式積分得其中為積分常數(shù)。將式代入式，可得其中為矩陣的第列，也是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，另外，對(duì)于階線性齊次常系數(shù)微分方程可令于是，可得與方程同解的方程組其中式可寫成矩陣形式于是這類微分方程可以歸結(jié)為等價(jià)的線性微分方程組，然后再利用特征值和特征向量求解。解令例５．４．２求解微分方程于是，式可變?yōu)榈葍r(jià)的方程組即其中于是由例可知，可求得的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為從而其中為任意常數(shù)。二.Ｍａｒｋｏｖ過(guò)程例５．４．３某超市為了提高自己的經(jīng)營(yíng)、效勞水平，年末對(duì)附近一個(gè)小區(qū)的居民作了市場(chǎng)調(diào)查。結(jié)果說(shuō)明，該小區(qū)有６０％的居民使用該超市提供的日用品，而且在這些老顧客中，有７０％的人表示，來(lái)年仍將繼續(xù)使用該超市提供的日用品；同時(shí)，在尚未使用過(guò)該超市提供的日用品的被調(diào)查中，有３０％的人表示，來(lái)年將使用該超市提供的日用