新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)課標(biāo)要求1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．2．能用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單的空間線面位置關(guān)系問(wèn)題．素養(yǎng)要求在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的_交線__，那么這條直線與另一個(gè)平面_垂直__符號(hào)語(yǔ)言α⊥β，α∩β＝l，_a?α__，_a⊥l__?a⊥β圖形語(yǔ)言[提醒]對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理成立的條件有三個(gè)：①兩個(gè)平面互相垂直；②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直．(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來(lái)證明線面垂直．(3)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．[拓展]平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論(1)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(2)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面．即α⊥β，γ∥β?γ⊥α.(3)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi)．即α⊥β，b⊥β?b∥α或b?α.(4)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.(5)三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直．即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n?l⊥m，m⊥n，l⊥n.練一練：平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是_平行__.[解析]因?yàn)棣痢挺拢痢搔拢絣，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.題|型|探|究題型一理解面面垂直典例1(多選題)已知兩個(gè)平面垂直，下列命題中不正確的是(ACD)A．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線B．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線C．一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面D．過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面[解析]一個(gè)平面內(nèi)只有垂直交線的線和另一個(gè)平面垂直，才和另一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線垂直，所以A，C錯(cuò)誤；因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線垂直于該平面，都與該直線是垂直的，所以B正確；過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，該垂線在平面內(nèi)時(shí)，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面，若點(diǎn)在交線上時(shí)，作交線的垂線，則垂線不一定在平面內(nèi)，此垂線不一定垂直于另一個(gè)平面．[歸納提升]對(duì)于D，很容易認(rèn)為是正確的，其實(shí)與面面垂直的性質(zhì)定理是不同的，“兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線與另一個(gè)平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作的直線不一定在平面內(nèi)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是(C)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β[解析]對(duì)于C選項(xiàng)，在β內(nèi)取兩條相交直線a與b，因?yàn)閚⊥β，所以n⊥a，n⊥b，又m∥n，所以m⊥a，m⊥b，又a與b相交，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，所以C正確.題型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用典例2如圖，在六面體ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，四邊形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.證明：平面BCE⊥平面BDE.[證明]因?yàn)锳B∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，所以BD＝BC＝eq\r(2)，CD＝2，所以BC⊥BD，因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四邊形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED?平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，因?yàn)锽C?平面ABCD，所以BC⊥ED，因?yàn)锽D，ED?平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，因?yàn)锽C?平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.[歸納提升]若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD＝BD＝BC＝1，AB＝CD＝eq\r(2)，PA＝PB，平面PBD⊥平面ABCD.求證：PD⊥AB.[解析]因?yàn)锳D＝BD＝BC＝1，AB＝CD＝eq\r(2)，所以四邊形ABCD是平行四邊形，且AD⊥BD.因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面PBD，所以AD⊥PD，因?yàn)镻A＝PB，所以△PAD≌△PBD，所以∠PDB＝∠PDA＝90°，即BD⊥PD，又因?yàn)锳D∩BD＝D，所以PD⊥平面ABCD，因?yàn)锳B?平面ABCD，所以PD⊥AB.題型三面面垂直的綜合應(yīng)用典例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過(guò)A，D，N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[證明](1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．∴MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又∵E為AD的中點(diǎn)，∴MN∥DE且MN＝DE.∴四邊形DENM為平行四邊形．∴EN∥DM，且DM?平面PDC，EN?平面PDC，∴EN∥平面PDC.(2)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點(diǎn)，∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.[歸納提升]垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：對(duì)點(diǎn)練習(xí)?如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且平面PAC⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、PC的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求證：BD⊥PC.[證明](1)證法一：取PD中點(diǎn)G，連接FG，AG，在△PDC中，因?yàn)镕、G分別是PC，PD的中點(diǎn)，所以FG∥CD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD；因?yàn)镋是正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，所以AE∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD；所以AE∥GF，AE＝GF；即四邊形AEFG是平行四邊形，所以EF∥AG，又因?yàn)锳G?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.證法二：延長(zhǎng)DA交CE延長(zhǎng)線于H，連接PH，由于AE∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，所以A是DH的中點(diǎn)，E是HC的中點(diǎn)，所以EF∥PH，又因?yàn)镻H?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.證法三：取CD中點(diǎn)I，連接EI，F(xiàn)I，由于E，F(xiàn)，I均為中點(diǎn)，所以FI∥PD，EI∥AD，F(xiàn)I∩EI＝I，F(xiàn)I，EI?平面FIE，PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，平面EFI∥平面PAD，EF?平面FIE，所以EF∥平面PAD.(2)因?yàn)檎叫蜛BCD中，BD⊥AC，又平面ABCD⊥平面PAC;平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，因?yàn)镻C?平面PAC，所以BD⊥PC.拓|展|應(yīng)|用垂直的綜合應(yīng)用典例4如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求證：AD⊥CC1；(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，則AM＝MA1嗎？請(qǐng)敘述你的判斷理由．[分析](1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理易證AD⊥CC1；(2)先證C1N⊥側(cè)面BB1C1C，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；(3)先證M，E，D，A四點(diǎn)共面，再證四邊形AMED是平行四邊形，進(jìn)而即可證明．[解析](1)因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.因?yàn)榈酌鍭BC⊥側(cè)面BB1C1C，底面ABC∩側(cè)面BB1C1C＝BC，所以AD⊥側(cè)面BB1C1C.又CC1?平面BB1C1C，所以AD⊥CC1.(2)證明：延長(zhǎng)B1A1與BM交于點(diǎn)N，連接C1N.因?yàn)锳M＝MA1，所以NA1＝A1B1.因?yàn)锳1C1＝A1N＝A1B，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥側(cè)面BB1C1C.所以截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)結(jié)論正確．證明如下：過(guò)M作ME⊥BC1于點(diǎn)E，連接DE.因?yàn)榻孛鍹BC1⊥側(cè)面BB1C1C，所以ME⊥側(cè)面BB1C1C，又AD⊥側(cè)面BB1C1C，所以ME∥AD，所以M，E，D，A四點(diǎn)共面．因?yàn)镸A∥側(cè)面BB1C1C，所以AM∥DE.所以四邊形AMED是平行四邊形，又AM∥CC1，所以DE∥CC1.因?yàn)锽D＝CD，所以DE＝eq\f(1,2)CC1，所以AM＝eq\f(1,2)CC1＝eq\f(1,2)AA1.所以AM＝MA1.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分別為線段PC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥平面PBN；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．[解析](1)證明：連接BD，易得△ABD和△PAD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∵N為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥PN，AD⊥BN，∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PBN.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，PN?平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，∵BN?平面ABCD，∴PN⊥BN，易得PN＝BN＝eq\r(3).∴S△PBN＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).由(1)知AD⊥平面PBN，∵底面ABCD為菱形，∴BC∥AD，∴BC⊥平面PBN.又M為PC的中點(diǎn)，∴VP－NBM＝VM－PBN＝eq\f(1,2)VC－PBN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(1,2).1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(D)A．α∥γB．α⊥γC．α與γ相交但不垂直D．以上都有可能2．(2022·長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知直線a和平面α、β有如下關(guān)系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，則下列命題為真的是(C)A．①③?④ B．①④?③C．③④?① D．②③?④[解析]由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a?α，故A錯(cuò)誤；由α⊥β，a∥α，可得a?β或a∥β或a與β相交，故B錯(cuò)誤；由a∥α，過(guò)a作平面γ與α相交，交線為b，則a∥b，因?yàn)閍⊥β，所以b⊥β，而b?α，可得α⊥β，故C正確；由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D錯(cuò)誤．3．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(C)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[解析]因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.4．如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是_直角__三角形．[解析]設(shè)P在平面ABC上的射影為O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，