金融數(shù)學(xué)課件

風(fēng)險(xiǎn)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)

資產(chǎn)定價(jià)理論的微觀經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)

經(jīng)濟(jì)理論通常假定：投資人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)有多種定義，不確定性從定量模型化解釋風(fēng)險(xiǎn)投資人面臨風(fēng)險(xiǎn)的決策（第一節(jié)）Rothschild和Stiglitz提出隨機(jī)占優(yōu)（第二節(jié)）對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一般認(rèn)識(shí)：經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中狀態(tài)變數(shù)的事前不確定性對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡引發(fā)投資人的投資組合的分散化問題以及對(duì)所需交換的資產(chǎn)的合理定價(jià)問題金融經(jīng)濟(jì)學(xué)框架的核心問題：如何分散風(fēng)險(xiǎn)如何確定風(fēng)險(xiǎn)的合理價(jià)格第二章第一節(jié)風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)偏好風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性與風(fēng)險(xiǎn)偏好的數(shù)學(xué)表述

伯努利（Bernoulli）效用函數(shù)（確定值）Von-Neumann-Morgenstern預(yù)期效用函數(shù)“預(yù)期”有“期望”之義，隨機(jī)變數(shù)的數(shù)學(xué)期望例2.1。Page46風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)定義如果F(x)是二項(xiàng)分佈，則，風(fēng)險(xiǎn)厭惡——伯努利效用函數(shù)為凹函數(shù)嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)厭惡——嚴(yán)格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：對(duì)任意F，有風(fēng)險(xiǎn)厭惡——效用函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)證明需要使用Jensen不等式。同樣：可以定義風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)偏好絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有大有小，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)ρ，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，數(shù)學(xué)定義如下Pratt(1964)定義絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)越大，越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，必需給予的溢價(jià)補(bǔ)償也越大相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Pratt(1964)定義相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)越大，所要求的單位方差的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)補(bǔ)償也越高

風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)投資人決策影響的實(shí)例說明

例2.2。當(dāng)前財(cái)富為W=a+(W－a)今後財(cái)富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，優(yōu)化問題關(guān)於a是凹函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)＝0，（2.17）a＊是解，是W的函數(shù)，（2.17）中對(duì)W求導(dǎo)數(shù)，（2.18）。隨W的變化，風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的a的動(dòng)態(tài)變化假設(shè)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)不隨W增加而增加對(duì)r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）從（2.17）得（2.21）u是凹函數(shù)，得（2.21a）最後風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資人投資於風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富隨著總財(cái)富的上升而增加

關(guān)於絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)不隨W增加而增加經(jīng)過推導(dǎo)可知，要求三階導(dǎo)數(shù)為正數(shù)度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡在於比較不同投資人對(duì)同一風(fēng)險(xiǎn)決策的態(tài)度。在資產(chǎn)定價(jià)理論中，一般假定存在一個(gè)典型性投資人。需要處理典型投資人對(duì)不同資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益的判斷，即資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的度量問題。第一章第二節(jié)隨機(jī)占優(yōu)怎樣才能認(rèn)為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風(fēng)險(xiǎn)？簡(jiǎn)化的風(fēng)險(xiǎn)比較：均值-方差效用用方差作為唯一標(biāo)準(zhǔn)不可行（期望可能越大）即使一種資產(chǎn)X預(yù)期收益等於另一資產(chǎn)Y，而X方差小於Y，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者也不一定偏好於X

如下面的例子E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果選擇風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當(dāng)包括三階矩以上為0時(shí)，均值方差效用才與真實(shí)的預(yù)期效用一致。兩端取期望（w是期望值，數(shù)值），利用資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分析框架比較資產(chǎn)收益的分佈，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數(shù)。一階隨機(jī)占優(yōu)、二階隨機(jī)占優(yōu)以及均值不變下的分佈擴(kuò)展MPS假設(shè)有兩種資產(chǎn)A和B。A收益服從分佈F（·），B服從G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬於區(qū)間[0，1]）。一階隨機(jī)占優(yōu)FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定義：對(duì)任意非減的函數(shù)u：R→R，定理2.1是FSD的等價(jià)條件。注意不等號(hào)方向FSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z二階隨機(jī)占優(yōu)SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定義：F二階占優(yōu)於G，當(dāng)且僅當(dāng)且對(duì)某些X值的集合，不等號(hào)成立。符號(hào)可以證明，如果SSD成立，則，投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風(fēng)險(xiǎn)SSD的三個(gè)等價(jià)條件SSD圖形表示取正號(hào)取正號(hào)+z取負(fù)號(hào)FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD其他特性SSD的3個(gè)等價(jià)表述“d”表示“依分佈相等”引入“展形spread”的概念均值不變下的分佈展形MPSmeanpreservingspreads——MSP討論限定於兩種資產(chǎn)相同的預(yù)期收益圖形表示命題2-2命題2-3G是F的MPS，等價(jià)於F，SSD，GJensen’sinequality證明

u是凹函數(shù)證明過程：在均值點(diǎn)泰勒展開連續(xù)時(shí)間金融初步連續(xù)時(shí)間金融理論是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的分支衍生品的定價(jià)(比如期權(quán))正是建立在連續(xù)時(shí)間金融理論之上本章共分為4節(jié)第一節(jié)，連續(xù)時(shí)間金融的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)；第二節(jié)，Merton(1969)的開創(chuàng)性論文；第三節(jié)，講解Black—Scholes模型；第四節(jié)，簡(jiǎn)單回顧最新連續(xù)時(shí)間金融理論研究第一節(jié)

連續(xù)時(shí)間金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

涉及到的數(shù)學(xué)：測(cè)度論、實(shí)變函數(shù)、隨機(jī)過程、隨機(jī)微分方程、馬爾可夫鏈等等已經(jīng)超過本教材的範(fàn)圍，詳細(xì)內(nèi)容，參閱下麵經(jīng)典著作：Protter(1992)Karatzas和Shreve(1988)Ikeda和Watanabe（1989）Chung和Williams（1990）Williams（1991）布朗運(yùn)動(dòng)與幾何布朗運(yùn)動(dòng)

定義：稱隨機(jī)過程為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（BrownianMotion）或維納過程（Wienerprocess），如果滿足4個(gè)條件：（1）該運(yùn)動(dòng)起始於0點(diǎn)，即，B0=0；（2）該運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)性和獨(dú)立增量性；（3）對(duì)任意的t＞0，Bt服從均值為0，方差為t的正態(tài)分佈，即，Bt～N（0，t）。（4）該運(yùn)動(dòng)樣本軌跡連續(xù)，即，不存在跳躍結(jié)論：隨機(jī)變數(shù)Bt－Bs(t＞s)與隨機(jī)變數(shù)Bt-s的分佈相同，都服從均值為0，方差為t-s的正態(tài)分佈分佈的相等並不意味著樣本路徑的相等結(jié)論：布朗運(yùn)動(dòng)為高斯過程，並且，均值E(Bt)=0協(xié)方差E(BtBs)=min(s,t)性質(zhì)6-1：布朗運(yùn)動(dòng)為0.5自相似性質(zhì)6-2：布朗運(yùn)動(dòng)相對(duì)於自然過濾Ft=σ(Bs，t＞s)而言，為一個(gè)鞅幾何布朗運(yùn)動(dòng)在Black—Scholes（1973）和Merton（1973）的論文中，都假定價(jià)格的波動(dòng)（運(yùn)動(dòng)）服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即Taylor展開以雙變數(shù)的Taylor展開為例。三階略去。Ito引理第二節(jié)

不確定情形下的

連續(xù)時(shí)間資產(chǎn)組合決策以Merton（1969）的經(jīng)典論文為例在Merton（1969）之前，有少量的文章分析多期下的資產(chǎn)組合問題，或者在分析經(jīng)濟(jì)問題的時(shí)候運(yùn)用多期分析的框架例如，Tobin（1965）、Phelps（1962）和Samuelson（1969）從嚴(yán)格的意義上講，Merton（1969）的文章是連續(xù)時(shí)間金融領(lǐng)域的奠基之作Merton連續(xù)時(shí)間金融模型

假設(shè)存在一個(gè)典型代表性的經(jīng)濟(jì)人W(t)表示該經(jīng)濟(jì)人在t時(shí)刻的總財(cái)富Xi(t)表示t時(shí)刻第i種資產(chǎn)的價(jià)格（i=1,2,…,m）C(t)表示t時(shí)刻的單位時(shí)間消費(fèi)假定任一資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)某一時(shí)間段資產(chǎn)收益服從大漂移的布朗運(yùn)動(dòng)投資者面臨的決策問題是：在給定的投資期限下（無限期的情形更簡(jiǎn)單），如何進(jìn)行消費(fèi)決策以及投資決策，使得投資期限內(nèi)的總效用最大化在這個(gè)決策系統(tǒng)裏，消費(fèi)水準(zhǔn)以及投資於m種資產(chǎn)的比例為控制變數(shù)求解Bellman方程時(shí)，必須清楚哪些是控制變數(shù)，哪些是狀態(tài)變數(shù)為了求解優(yōu)化問題，先進(jìn)行必要計(jì)算，以便在求解優(yōu)化問題的時(shí)候?qū)⒆⒁饬徐稊?shù)學(xué)背後的經(jīng)濟(jì)學(xué)簡(jiǎn)單思路財(cái)富變化的平均速率兩種資產(chǎn)的簡(jiǎn)化情況投資者的問題：選擇最優(yōu)的S(t)和C(t)，使得效用函數(shù)最大化約束：預(yù)算方程（6.15），C(t)≥0，W(t)≥0，W(0)=W0＞0。效用函數(shù)u’＞0，u’’＜0T表示終結(jié)期。B(W(T),T)是一個(gè)設(shè)定的殘值函數(shù)，在W(t)上是凹函數(shù)最優(yōu)消費(fèi)和投資策略給定約束條件和優(yōu)化條件,偏微分方程系統(tǒng)可以通過Matlab用數(shù)值方法求出給定參數(shù)下的解對(duì)具有不變的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡係數(shù)類的效用函數(shù)最優(yōu)消費(fèi)為該時(shí)刻財(cái)富的線性函數(shù)投資與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重與時(shí)間及財(cái)富都無關(guān)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)性、經(jīng)濟(jì)人偏好有關(guān)第三節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式

Black和Scholes的期權(quán)定價(jià)模型，利用無套利定價(jià)模型，不依賴於投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無套利定價(jià)，是指如果金融市場(chǎng)上的期權(quán)是正確定價(jià)的，那麼，投資者就不能通過買入或者賣空期權(quán)及其標(biāo)的資產(chǎn)來建立投資組合得到超過無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的確定的回報(bào)給出Black-Scholes模型的定義以及在此模型下的期權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)主要基於Black和Scholes(1973)Black-Scholes模型

Black和Scholes(1973)用幾何布朗運(yùn)動(dòng)作為股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程。假設(shè)股票價(jià)格St過程服從線性隨機(jī)微分方程（SDE）μ∈R為股票價(jià)格的期望收益率σ＞0為波動(dòng)性係數(shù)S0＞0為股票的初始價(jià)格。假定它們都是常數(shù)Wt表示含σ-代數(shù)流的概率空間上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)利用Ito公式，得到股票價(jià)格波動(dòng)過程

假定無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按照無風(fēng)險(xiǎn)利率r計(jì)連續(xù)複利，則，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程為

Black-Scholes對(duì)金融市場(chǎng)的假設(shè)1．短期利率已知，且不隨時(shí)間變化；2．股票價(jià)格服從連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)遊走，其方差與股票價(jià)格的平方成比例。在任何有限時(shí)間區(qū)間的期末，股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分佈，且股票收益的方差為常數(shù)；3．股票不支付紅利，也沒有其他支出；4．期權(quán)是“歐式的”；5．買賣股票和期權(quán)不存在交易費(fèi)；6．能夠以短期利率借入證券價(jià)格的任意比例的資金用以購(gòu)買證券；7．賣空沒有交易費(fèi)。

自融資策略

交易策略是指概率空間上的一對(duì)循序可測(cè)的隨機(jī)過程循序可測(cè)的概念參見嚴(yán)加安的《測(cè)度論》交易策略為自融資的是指財(cái)富過程滿足某條件（略）在Black和Scholes(1973)中沒有明顯地提出自融資策略，但是已經(jīng)使用了這個(gè)概念如果不限制投資者所使用的策略為自融資的，則，在無約束的Black-Scholes模型中也能夠構(gòu)造一個(gè)套利機(jī)會(huì)。具體可參見Musiela和Rutkowski（1997）

期權(quán)定價(jià)公式兩種推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式的辦法第一，基於無風(fēng)險(xiǎn)收益能夠用期權(quán)及其標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)調(diào)整的頭寸來複製的事實(shí)——無風(fēng)險(xiǎn)組合方法第二，基於均衡的要求。也就是說，期權(quán)作為一種資產(chǎn)必須使得期望的收益率與其風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)應(yīng)——均衡推導(dǎo)無風(fēng)險(xiǎn)組合方法

Black-Scholes的均衡推導(dǎo)

第四節(jié)

連續(xù)時(shí)間金融的簡(jiǎn)單概括

一、分析投資者最優(yōu)組合決策問題至少包括兩種分析框架其一，假定資產(chǎn)價(jià)格服從一個(gè)擴(kuò)散過程；其二，假定資產(chǎn)價(jià)格服從仿射跳擴(kuò)散過程Longstaff（2001）利用連續(xù)時(shí)間方法分析存在事件風(fēng)險(xiǎn)下的投資者優(yōu)化組合決策問題。價(jià)格假定服從一個(gè)擴(kuò)散過程（AJD），也即擴(kuò)散過程加上一個(gè)跳過程Duffie-Pan-Liu（2001）提出了一個(gè)更一般的存在AJD過程的理論分析框架二、對(duì)公司債券定價(jià)包括兩類分析思路其一，對(duì)無違約風(fēng)險(xiǎn)的公司債券定價(jià)Turbull以及Jarrow在這方面做出了貢獻(xiàn)其二，對(duì)存在違約風(fēng)險(xiǎn)、評(píng)級(jí)突然降低等風(fēng)險(xiǎn)的公司債券定價(jià)。需要相應(yīng)引入跳過程來處理這些問題三、處理利率期限結(jié)構(gòu)問題Cox-Ingersoll-Ross（1985），簡(jiǎn)稱CIR模型。後來者包括Heath.D、Jarrow.R、Singleton.K等

四、利用連續(xù)方法處理公司財(cái)務(wù)相關(guān)問題問題包括公司的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略問題、公司資本結(jié)構(gòu)、公司複合證券的定價(jià)問題等等Leland（1994）是這方面的優(yōu)秀論文五、各種期權(quán)定價(jià)問題從一定意義上講，這可以被認(rèn)為是連續(xù)時(shí)間金融的分析方法應(yīng)用得最緊密的一個(gè)領(lǐng)域；同時(shí)，期權(quán)定價(jià)的經(jīng)濟(jì)思想有被廣泛運(yùn)用於其他衍生證券的定價(jià)問題。因此，這一領(lǐng)域一直是連續(xù)時(shí)間金融的活躍之地。

六、解析解不存在下的數(shù)學(xué)處理連續(xù)時(shí)間方法在一定程度上簡(jiǎn)化了對(duì)經(jīng)濟(jì)問題的分析；然而，在求解連續(xù)時(shí)間問題的時(shí)候，卻出現(xiàn)了技術(shù)上的困難。如果沒有特殊設(shè)定，難以得到分析解方法包括：有限差分近似法（Brennan-Schwartz（1076a，1976b，1976c））、數(shù)值積分法（Parkinson（1976）），以及Boyle（1976）提供的MonteCarlo模擬

七、連續(xù)時(shí)間金融的實(shí)證分析指出這一方向，目的在於表明連續(xù)時(shí)間方法在實(shí)證領(lǐng)域同樣具有重要的地位

關(guān)於連續(xù)時(shí)間金融的著作，以供理論工作者參考閱讀：Merton（1990）、Duffie（1992，1996），以及Edgar公司組織編寫的一套經(jīng)濟(jì)學(xué)叢書，其中包括了“期權(quán)市場(chǎng)”卷、“公司債務(wù)”卷、“連續(xù)時(shí)間金融基礎(chǔ)”卷，

均值方差證券投資組合選擇模型馬科維茨Markowitz《證券組合選擇》投資選擇：風(fēng)險(xiǎn)（低）收益（高）之間的“平衡”基於期望收益率上的投資決策，最多只能獲得最高的平均收益率

風(fēng)險(xiǎn)收益的“數(shù)量化”前沿組合、無差異曲線數(shù)學(xué)性質(zhì)第一節(jié)

風(fēng)險(xiǎn)和收益的數(shù)學(xué)度量

用隨機(jī)變數(shù)表示未來的收益率用期望代表：平均收益率方差代表風(fēng)險(xiǎn)（得到平均收益率的不確定性）從分佈函數(shù)（條件太強(qiáng)）計(jì)算收益和風(fēng)險(xiǎn)從“歷史”樣本估計(jì)收益和風(fēng)險(xiǎn)證券之間關(guān)聯(lián)性——相關(guān)係數(shù)

某一證券價(jià)格的變動(dòng)可能伴隨著另一證券價(jià)格的變動(dòng)。關(guān)聯(lián)性普遍存在。需要度量關(guān)聯(lián)性的方向和程度隨機(jī)變數(shù)的協(xié)方差和相關(guān)係數(shù)從聯(lián)合分佈可計(jì)算。用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算（3.10）(3.11)三種相關(guān)程度：1、完全線性相關(guān)：完全決定另一個(gè)ρAB＝1或ρAB＝-1rA＝a＋b×rB,σ2A＝b2×σ2B2、不完全線性相關(guān)：“部分”決定另一個(gè)rA＝a＋b×rB＋ε

σ2A＝b2×σ2B＋σ2（ε）

3、不相關(guān)：一證券的變化對(duì)另一證券的變化“沒有貢獻(xiàn)”ρAB＝0或cov（rA，rB）＝0

組合的期望和方差計(jì)算方法以兩組合為例，多組合類推“兩證券組合”的收益率數(shù)學(xué)表示法證券A和B，以總資金的WA的比例投資於A，以WB於B。WA＋WB＝1，則擁有證券組合P＝（WA，WB）WA，WB為組合P中A的權(quán)數(shù)和B的權(quán)數(shù)假設(shè)AB的收益率為rA和rB，則P的收益率為rP＝WA×rA＋WB×rB權(quán)數(shù)可以為負(fù)。WA＜0，表示該組合投資者賣空證券A

兩證券組合的期望收益率與方差計(jì)算方法必須知道相關(guān)係數(shù)或協(xié)方差E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB）σ2P＝W2A×σ2A＋W2B×σ2B

＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB選擇不同的組合權(quán)數(shù)，得到不同的組合，從而得到不同的期望收益率和方差。WA和WB有無限種取法，投資者有無限多種證券組合可供選擇。每個(gè)投資者根據(jù)自己對(duì)收益和方差（風(fēng)險(xiǎn)）的偏好，選擇符合自己要求的證券組合兩種證券的結(jié)合線

分多種情況：雙曲線、直線、折線構(gòu)建0風(fēng)險(xiǎn)組合、存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況第二節(jié)馬克維茨模型的運(yùn)作過程模型的假設(shè)條件假設(shè)1：收益率的概率分佈是已知的；假設(shè)2：風(fēng)險(xiǎn)用收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)方差表示；假設(shè)3：影響決策的因素為期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)；假設(shè)4：投資者遵守占優(yōu)原則，即，同一風(fēng)險(xiǎn)水準(zhǔn)下，選擇收益率較高的證券；同一收益率水準(zhǔn)下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。投資組合幾何表示和可行域選定了證券的投資比例，就確定了組合。可以計(jì)算該組合的期望收益率EP和標(biāo)準(zhǔn)差σP以EP為縱坐標(biāo)、σP為橫坐標(biāo)，在EP-σP坐標(biāo)系中可以確定一個(gè)點(diǎn)。每個(gè)組合對(duì)應(yīng)EP-σP中的一個(gè)點(diǎn)反過來，EP-σP中的某個(gè)點(diǎn)有可能反映某個(gè)組合選擇“全部”有可能選擇的投資比例，那麼，全部組合在EP-σP中的“點(diǎn)”組成EP-σP中的區(qū)域可行域（feasibleset）可行域中的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的組合才是“有可能實(shí)現(xiàn)”的組合?？尚杏蛑獾狞c(diǎn)是不可能實(shí)現(xiàn)的證券組合。可行域＝機(jī)會(huì)集可行域必須滿足的形狀

左上邊緣部分向外凸或直線—“凸集”可以證明，邊界是雙曲線。有效邊界和有效組合

判斷組合好壞的公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)——投資者共同偏好

第一：以期望衡量收益率，方差衡量風(fēng)險(xiǎn)，僅關(guān)心期望和方差第二：期望收益率越高越好，方差越小越好可行域內(nèi)部和右下邊緣上的任意組合，均可以在左上邊界上找到一個(gè)比它好的組合。淘汰最佳組合“必須來自”左上邊界——有效邊界有效組合——有效邊界對(duì)應(yīng)的組合對(duì)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)钠煤蜔o差異曲線

增加同樣的風(fēng)險(xiǎn)，不同的投資者所要求得到的期望收益率補(bǔ)償?shù)母叩涂赡懿灰粯印Ｑa(bǔ)償數(shù)額越高，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)越厭惡對(duì)某個(gè)特定投資者，根據(jù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，可以得到一系列滿意程度相同（無差異）的組合無差異曲線的特徵波動(dòng)方向一定是從左下方向右上方，單調(diào)性曲線將變得越來越陡，凸函數(shù)無差異曲線的形狀（彎曲程度）因人而異，反映投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度無差異曲線族中的曲線互不相交，等高線不相交根據(jù)無差異曲線可以比較任意兩個(gè)組合的好壞無差異曲線位置越靠左上，滿意程度越高C＞A＝B＞D切點(diǎn)是最佳證券組合點(diǎn)

第三節(jié)

組合有效前沿的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

定義：一個(gè)證券組合被稱為是前沿證券組合，如果它在所有“等均值收益率”的證券組合中，方差最小每個(gè)前沿證券組合一定對(duì)應(yīng)一個(gè)收益率“前沿證券組合q”＝對(duì)應(yīng)收益率q的前沿組合前沿證券組合的數(shù)學(xué)表示假定在無摩擦市場(chǎng)上存在N(＞1)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許無限制賣空。假設(shè)收益率的方差有限，並且均值不相等，而且，任何一個(gè)資產(chǎn)的收益率不能由其他資產(chǎn)收益率的線性組合表出（收益率線性無關(guān)）。它們收益率的方差——協(xié)方差矩陣V是正定矩陣

前沿組合的數(shù)學(xué)表述和求解前沿組合權(quán)重向量Wp是下列二次規(guī)劃問題的解是前沿證券對(duì)應(yīng)的收益率用拉格朗日乘子法求解證券組合前沿

任何前沿證券組合可以表示成上述形式。任何能寫成上述形式的組合是一個(gè)前沿證券組合對(duì)應(yīng)不同的收益率，優(yōu)化問題可以得到不同的解，進(jìn)而得到不同的前沿證券組合。“取遍”所有可能的收益率，其“軌跡”就是一條曲線。由全體“前沿證券組合”構(gòu)成的“集合”——證券組合前沿（portfoliofrontier）。是今後定義有效邊界（有效前沿）的基礎(chǔ)證券組合前沿的性質(zhì)

g和h是兩個(gè)特殊“解向量”性質(zhì)3-1：g對(duì)應(yīng)的收益率是0，g+h對(duì)應(yīng)1。性質(zhì)3-2：任何前沿證券組合可以由g和g＋h通過再組合得到?？梢员硎境伞熬€性組合”。性質(zhì)3-2ａ：前沿證券組合可以由任意兩個(gè)不相同的前沿證券組合進(jìn)行再組合而得。證券組合有效前沿的幾何結(jié)構(gòu)

收益率標(biāo)準(zhǔn)差（方差）——均值空間機(jī)會(huì)集（可行域）是雙曲線所圍的區(qū)域前沿組合的協(xié)方差（3.22）方差這是一條雙曲線。漸進(jìn)線中心點(diǎn)為（0，A／C）雙曲線圖形A/CE(r

)0MVP機(jī)會(huì)集雙曲線在收益率的方差——均值空間中，機(jī)會(huì)集是頂點(diǎn)為（C-1/2，A/C）的拋物線圖形

最小方差證券組合mvpmvp＝minimum

variance

portfolio所有可行證券組合中mvp的方差最小mvp是雙曲線（拋物線）的頂點(diǎn)mvp的座標(biāo)（C－1/2，A/C）mvp的投資權(quán)重性質(zhì)3-3：對(duì)所有的證券組合p（不僅限於前沿證券組合）有效證券組合（或有效邊界）efficientportfolios雙曲線從mvp開始：向右上方的一支，是有效的向右下方的一支，是無效的“有效組合”＝“前沿組合”＋“期望>A/C”凸組合定義：非負(fù)，和為1。性質(zhì)3-4：有效證券組合集是凸集第四節(jié)零協(xié)方差前沿證券組合

zc(p)與p是有特殊關(guān)係的前沿證券組合，非前沿組合也有0協(xié)方差zc(p)的概念前沿證券p的零協(xié)方差前沿證券組合

zc(p)，之間的協(xié)方差為0性質(zhì)3-5：對(duì)於的任意一個(gè)有效前沿證券組合p（p≠mvp），存在唯一的零協(xié)方差前沿證券組合zc（p）。前沿證券組合zc（p）和p的地位是“對(duì)稱的”從證明中可以看出，不同時(shí)是有效組合zc(p)的幾何含義

雙曲線：切線在縱軸上的截距拋物線：p和mvp的連線的截距zc(p)mvppE(r)A/C0非前沿組合的零協(xié)方差組合

對(duì)非前沿證券組合q，與q協(xié)方差為零的全部組合中，組合Q的方差最小。仍記，Q＝zc（q）數(shù)學(xué)表達(dá)為規(guī)劃問題用拉格朗日求解zc(q)Q＝zc(q)是q與mvp的再組合，Wq是負(fù)數(shù)。期望收益率為zc(q)的幾何含義證券組合q的0協(xié)方差前沿組合zc(q)的收益率的期望值是證券組合q和mvp的連線在縱軸上的截矩。圖3.11apZc(q)zc(p)垂直傳導(dǎo)性

定理3.1：任意非前沿證券組合q及前沿證券組合pE(r)0qZc(p)水準(zhǔn)傳導(dǎo)性

定理3.2：任意非前沿證券組合q及前沿組合pE(r)0pqZc(q)q零協(xié)方差組合生成的前沿曲線FqFq是規(guī)劃問題隨E的變動(dòng)，得到曲線FqFq上的點(diǎn)是zc（q）和zc（p）的再組合Fq與有效前沿F0在zc（p）點(diǎn)相切取不同的q，得到不同的Fq

，F(xiàn)0是Fq的包絡(luò)線

第五節(jié)用前沿組合對(duì)任意組合定價(jià)

利用零協(xié)方差證券組合對(duì)資產(chǎn)定價(jià)任意證券組合i與前沿組合期望方面的關(guān)係任意證券組合i，任選一個(gè)前沿組合p（mvp除外），PI是p和i的結(jié)合線（仍然是雙曲線）可以證明，PI與證券組合前沿（由所有資產(chǎn)生成）相切於p點(diǎn)，“最外層”。兩條曲線在p點(diǎn)的斜率相等，得到定價(jià)公式。定價(jià)公式推導(dǎo)的圖形說明E(r)pmvpzc(p)qA/Ci0另一種推導(dǎo)方法利用I和p的協(xié)方差的運(yùn)算式，將p的具體投資比例代入可得定理3.3：任意一個(gè)證券組合q的收益率期望值都可以表示成任意一個(gè)前沿證券組合p（除mvp外）與其對(duì)應(yīng)的前沿證券組合zc（p）的收益率均值的線性組合zc(p)和p的地位是對(duì)稱的，zc（zc（p）＝pzc(p)和p互換，定價(jià)公式另一種形式（3.28）

定價(jià)公式的事後形式事前形式（式中有期望E），不含隨機(jī)變數(shù)事後形式（沒有期望E），含隨機(jī)變數(shù)或誤差將定價(jià)公式中的E去掉，得定理3.4：對(duì)於兩個(gè)協(xié)方差為零的前沿證券組合p和zc（p），總可以將任意證券組合q表示為這兩個(gè)前沿證券組合的線性組合，即如果q是前沿組合，則沒有誤差項(xiàng)。前巖組合可以被線性表示（性質(zhì)3.2a）第六節(jié)

存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下的證券組合前沿和定價(jià)

如果投資對(duì)象中含有無風(fēng)險(xiǎn)證券，有效前沿組合（有效邊界）的“模樣”有特殊性有效前沿組合以及其有關(guān)幾何結(jié)構(gòu)性質(zhì)有所加強(qiáng)，其結(jié)論更細(xì)化曲線變成直線無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下組合前沿問題的數(shù)學(xué)提法和求解

Wp是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重（N維向量）無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf

無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下證券組合前沿是直線型

截距，斜率都可以計(jì)算“斜率一正一負(fù)兩條直線

無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下組合前沿的組合含義和幾何結(jié)構(gòu)

無風(fēng)險(xiǎn)收益率的大小將會(huì)影響證券前沿具體是直線的“模樣”，分三種情況rf

＜A/C、rf

＞A/C、rf

＝A/CA/C表示，“不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下”，mvp的期望值存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之後，證券組合前沿由雙曲線向左進(jìn)行了擴(kuò)張。是由兩條射線所“圍成”的區(qū)域?qū)秗f＜A/C正斜率直線與雙曲線相切，切點(diǎn)是e點(diǎn)直線e左側(cè)上的點(diǎn)是e和rf的凸組合直線e右側(cè)側(cè)上的點(diǎn)是賣空rrf

，買入e負(fù)斜率直線不與雙曲線相交賣空e，買入rfrrf＜A/C的幾何圖形mvpezc(p)E(r)0A/Crf＞A/C正斜率直線不雙曲線相切賣空e’，買入r負(fù)斜率直線與雙曲線相切，e’點(diǎn)e’左側(cè)的點(diǎn)是e和r的凸組合e’右側(cè)的點(diǎn)是賣空r，買入e’rf＝A/C正、負(fù)斜率直線是雙曲線的漸近線直線上任何一點(diǎn)的投資權(quán)重之和＝0將資產(chǎn)全部投資於r持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例之和＝0存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下定價(jià)問題

定理3.3：任意證券組合q，收益率均值均可以被表示成任意一個(gè)前沿證券組合p（除mvp外）與其對(duì)應(yīng)的zc(p)的收益率均值的線性組合。類似結(jié)果。切點(diǎn)e的權(quán)重計(jì)算（3.2）：只考慮rf＜A/C。從幾何圖形角度計(jì)算e的權(quán)重

切點(diǎn)e的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重We是規(guī)劃問題之解幾何含義是最大斜率。結(jié)果與前面相同E(r)0peA/C資產(chǎn)定價(jià)公式

存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，類似於定理3.3的定價(jià)公式對(duì)第i個(gè)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)。（3.34）中的e，換成其他前沿曲線（此時(shí)是直線）上的組合p，該公式也成立p是前沿組合（直線上一點(diǎn)），q是任意組合該定價(jià)關(guān)係式不考慮rf與A/C之間的大小關(guān)係夏普率（Sharpe

Ratio）對(duì)於任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合p稱為夏普率，或標(biāo)準(zhǔn)差（σ）風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格從圖3-14中知，前沿證券組合曲線（直線）上的組合的夏普率都相等，同時(shí)也具有最大的夏普率上面的切點(diǎn)e是一個(gè)特殊的證券組合。它是夏普率最大的純風(fēng)險(xiǎn)證券組合，它就是CAPM中的“市場(chǎng)組合”（marketportfolio）所謂純風(fēng)險(xiǎn)證券組合是指

，證券組合中不含有無風(fēng)險(xiǎn)證券，全部由風(fēng)險(xiǎn)證券組成

*第七節(jié)一般證券投資組合選擇模型

前面的推導(dǎo)是在均值方差效用下所作出的引入效用函數(shù)後，才能真正具體確定最優(yōu)證券組合，這就是一般的含義一般證券選擇模型內(nèi)容比較多，複雜只介紹初級(jí)的內(nèi)容大部分只給出結(jié)果不進(jìn)行證明

一般證券選擇模型的數(shù)學(xué)敘述

沿用“常規(guī)”的記號(hào)。共有N種資產(chǎn)，Wi第i個(gè)證券的投資權(quán)重。W表示N維權(quán)重向量。最優(yōu)證券選擇問題就是優(yōu)化問題定理3.5：給定一組資產(chǎn)，對(duì)於嚴(yán)格凹的效用函數(shù)u(·)來說，如果最優(yōu)證券選擇問題存在解，那麼，最優(yōu)證券組合收益的概率分佈是惟一的。此外，如果不存在“多餘”資產(chǎn)（指風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益線性無關(guān)），那麼，最優(yōu)證券組合（即W）也是惟一的。一般意義下的有效證券組合

稱組合k為有效證券組合（efficientportfolio），如果存在嚴(yán)格凹的增函數(shù)

u(·)（效用函數(shù)），使得組合k的收益率（下標(biāo)e表示“有效”）滿足，一階條件細(xì)節(jié)性內(nèi)容參閱

Ross(1978)，ChenandIngersoll(1983)，DybvigandRoss(1982)，Nielssen(1986)證券的b值

用有效組合對(duì)任意證券定價(jià)

對(duì)應(yīng)前面定價(jià)公式中的β值，這裏有b值定理3.6：若存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則，對(duì)任意的證券i，下式成立用b代替β,從形式上講，兩個(gè)定價(jià)公式一樣的b值的風(fēng)險(xiǎn)含義及其相關(guān)性質(zhì)

從β值的含義可以“延伸”瞭解b值的含義兩個(gè)證券i和j比較b值，如果bki＞bkj，則證券i的預(yù)期將收益大於j的（設(shè)有效組合期望大於無風(fēng)險(xiǎn)收益率），或者說證券i比j風(fēng)險(xiǎn)更大。證券i的b值是對(duì)證券i的風(fēng)險(xiǎn)一種度量，是證券i相對(duì)於證券組合k的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)證券組合b值等於該組合中單個(gè)證券b值的加權(quán)平均，稱為“證券組合性質(zhì)”（portfolio

property）在這種度量下，b值大的證券有更大風(fēng)險(xiǎn)。這種“順序關(guān)係”具有完全性，也即是用這種度量可以對(duì)任意兩證券進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)大小比較有關(guān)b值的三個(gè)定理定理3.7：設(shè)k和k1是任意兩個(gè)有效組合，則具有保持順序性，

1）bki＞bkj

當(dāng)且僅當(dāng)bk1i＞bk1j2）bki＝bkj

當(dāng)且僅當(dāng)bk1i＝bk1j定理3.8設(shè)證券k和L是兩個(gè)有效證券組合，那麼，1）bkk＝1，bkL＞0，即，有效證券組合的b值是正數(shù)2）“鏈導(dǎo)”法則，對(duì)任意證券組合p，

bkp＝

bkL×bLp

定理3.9：對(duì)於證券組合p，，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的有效證券組合k，bkp＝0利用有效證券組合進(jìn)行事前定價(jià)

定理3.10：設(shè)k是有效證券組合，對(duì)於任意的證券組合p，則，定理的要點(diǎn)是說明誤差部分滿足兩個(gè)性質(zhì)定理3.11：用多個(gè)可行證券組合進(jìn)行定價(jià)的公式不存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下

定價(jià)公式變形設(shè)k是有效證券組合，是相對(duì)於k的b值等於0（bk0＝0）的證券組合的收益率兩種特殊效用函數(shù)情況下

定價(jià)公式的簡(jiǎn)化

第一，效用函數(shù)u(?)是平方函數(shù)，u’(?)線性第二，有效證券組合收益率和證券i的收益率是正態(tài)分佈在這兩種情況下，b值的運(yùn)算式中的效用函數(shù)u(?)可以被“隱去”第八節(jié)無差異曲線性質(zhì)數(shù)學(xué)證明

無差異曲線的函數(shù)運(yùn)算式，E和σ是變數(shù)給定d，上式可以確定一條無差異曲線d不同，無差異曲線就不同，等高線第i是投資者，p是某投資組合第二個(gè)等式是隨機(jī)變數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化。這是對(duì)收益率常用的假設(shè)——幾何布朗運(yùn)動(dòng)無差異曲線的單調(diào)性需要證明一階導(dǎo)數(shù)＞0。兩種計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的思路第一，計(jì)算U關(guān)於兩個(gè)變數(shù)E和σ的偏導(dǎo)數(shù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)相除，得到一階導(dǎo)數(shù)第二，對(duì)於上述無差異曲線的運(yùn)算式，關(guān)於E和σ求全微分其中假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化後的z是正態(tài)分佈無差異曲線的凸性

同一無差異線上的兩點(diǎn)，期望效用相等考慮兩點(diǎn)凸組合，即，連接兩點(diǎn)連線上的任意一點(diǎn)。根據(jù)凸性的定義證明無差異曲線的凸性要用到Jensen不等式E(r)0E1E2σ1σ2無差異曲線與縱軸正交定理3.12：無差異曲線與縱軸垂直相交無差異曲線與縱軸的交點(diǎn)為Q需要證明無差異曲線在Q點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等於0使用了正態(tài)條件

E(r)0Q附錄3-1組合風(fēng)險(xiǎn)收益數(shù)學(xué)表示

資產(chǎn)的收益風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表示，N種資產(chǎn)收益向量期望向量方差向量協(xié)方差陣比例向量組合收益組合期望組合方差組合協(xié)差附錄3-4最優(yōu)解唯一存在定理如果V是凹函數(shù)，約束集合Q是緊集（有界閉集），那麼，上面規(guī)劃問題存在最優(yōu)解；如果V是嚴(yán)格凹函數(shù)，那麼，最優(yōu)解唯一。資本資產(chǎn)定價(jià)模型CAPM均值方差模型提出了的證券選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組合，即在同等收益水準(zhǔn)之下風(fēng)險(xiǎn)最小的證券組合夏普等人在該模型基礎(chǔ)上發(fā)展了經(jīng)濟(jì)含義任何證券組合收益率與某個(gè)共同因素的關(guān)係資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）第一節(jié)傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)CAPM的

定價(jià)公式推導(dǎo)

一般所說的CAPM就是傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)的在一定假設(shè)條件下成立不“傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)的”CAPM，是對(duì)假設(shè)條件的一些放寬本章主要介紹“傳統(tǒng)的”CAPM的假設(shè)條件及其說明

根據(jù)“版本”不同，假設(shè)條件略有差異，但基本含義相同本教材列舉了9條假設(shè)1．投資者僅依據(jù)投資收益率的均值和方差作決策，投資者永不滿足2．投資者對(duì)預(yù)期回報(bào)率、標(biāo)準(zhǔn)差和證券之間的協(xié)方差具有相同的理解。3．單期（singleperiod）投資4．資產(chǎn)都無限可分，可以購(gòu)買一個(gè)股份的任意比例的部分。市銷的（Marketed），即，可以隨意買入賣出5．對(duì)賣空沒有約束6．存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，可以以無風(fēng)險(xiǎn)利率貸出或借入任意數(shù)量的該種資產(chǎn)。利率對(duì)所有投資者相同7．忽略稅收和交易成本，資訊是免費(fèi)並可立即得到8．沒有通貨膨脹和利率的變化9．單個(gè)投資者不能通過其買賣行為影響資產(chǎn)價(jià)格，即完全競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)條件的放寬問題這些假設(shè)條件是標(biāo)準(zhǔn)的CAPM的假設(shè)有一些明顯與實(shí)際情況相違背本章後面將討論這些假設(shè)的放寬問題用效用函數(shù)的方式等方式討論更一般形式的最優(yōu)證券組合選擇的問題這些定價(jià)公式的“模樣”基本相同市場(chǎng)有效性假設(shè)EMH（efficient

Market

hypothesis）假設(shè)2是以有效性假設(shè)EMH為前提EMH是指價(jià)格已經(jīng)反映了所有可能得到的資訊?；赌骋毁Y訊集的交易是否賺取較高的收益，若不能，則說明價(jià)格反映了該資訊集的所有資訊3種形式：弱、半強(qiáng)、強(qiáng)有效弱有效（weakform

efficiency）：資訊集僅包含價(jià)格或收益的歷史記錄資訊；現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格反映了有關(guān)該證券的所有歷史記錄中的資訊半強(qiáng)有效（semi-strong

form

efficiency）：資訊集包括所有公開的，投資者共知的所有資訊；現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格不僅反映了該證券過去的資訊，而且還反映了有關(guān)該證券的所有公佈於眾的資訊強(qiáng)有效（strong

form

efficiency）：資訊集包括任何市場(chǎng)參與者所掌握的一切資訊；現(xiàn)在的市場(chǎng)不僅反映了有關(guān)該證券過去的資訊和公佈於眾的資訊，而且還反映任何交易者掌握的私人資訊強(qiáng)有效表明，即使是內(nèi)線人（insider）也無法壟斷資訊，研究者的成果與基金管理者對(duì)市場(chǎng)的評(píng)估均已反映到市場(chǎng)價(jià)格中一些學(xué)者用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法證明，對(duì)於半強(qiáng)有效，在一些規(guī)範(fàn)成熟的證券市場(chǎng)中成立證券市場(chǎng)中許多異?，F(xiàn)象（anormalphenomenon）說明，市場(chǎng)不符合強(qiáng)有效在實(shí)際證券市場(chǎng)中應(yīng)用CAPM，還有很大障礙資本市場(chǎng)線CML

（capitalmarketline）

投資者的最優(yōu)證券組合是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合e和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)P0的線性組合所有的投資者面對(duì)同一個(gè)有效前沿進(jìn)行最優(yōu)組合選擇，他們的差異體現(xiàn)在無差異曲線上如果有效前沿是“直的”射線，最優(yōu)組合有“簡(jiǎn)單的”敘述——用點(diǎn)P0和e將最優(yōu)組合線性表示用無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合e的線性組合將最優(yōu)證券組合表示；線性組合中的係數(shù)就是投資的權(quán)重投資者之間，無差異曲線的不同將導(dǎo)致選擇的最優(yōu)組合中，無風(fēng)險(xiǎn)P與有風(fēng)險(xiǎn)組合e的比例發(fā)生變化願(yuàn)意“冒險(xiǎn)”的投資者，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合e的比例大CMLe＝mE(r)0P0分離定理

separationtheorem如果把投資者持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)“挑出來”比較相對(duì)於總的資產(chǎn)，單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的權(quán)重不相同僅僅相對(duì)於風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來說，每種單個(gè)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在總的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中占的比例，對(duì)於每個(gè)投資者來說是相同的，而且與組合e點(diǎn)“同結(jié)構(gòu)”投資者投資於風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的“相對(duì)權(quán)重”與投資者個(gè)人的“風(fēng)險(xiǎn)喜好”程度無關(guān)兩者是分離的——分離定理市場(chǎng)組合Marketportfolio

——切點(diǎn)e投資者通過持有e，間接地體現(xiàn)持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而不直接考慮單獨(dú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)持有情況定義：證券組合P被稱為市場(chǎng)組合，當(dāng)且僅當(dāng)該證券組合P投資於每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)j的權(quán)重正好等於WmjWmj表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)j的市值與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總值的比例

用m表示市場(chǎng)組合切點(diǎn)e就是市場(chǎng)組合（書上有證明過程）兩個(gè)結(jié)論引理4.1：如果投資者的效用函數(shù)u（·）是嚴(yán)格遞增和凹函數(shù)的時(shí)候，投資者一定不會(huì)持有期望收益率＜rf的證券組合定理4.1：

如果風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者都具有嚴(yán)格遞增的效用函數(shù)，那麼當(dāng)所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都是嚴(yán)格正的供給時(shí)，在CAPM假設(shè)下，市場(chǎng)證券組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，一定是嚴(yán)格正的從而，rf＜A/C一定成立CML的方程式CML表示有效證券組合p的收益與風(fēng)險(xiǎn)之間關(guān)係的函數(shù)每個(gè)投資者的最優(yōu)組合選擇均取自該直線運(yùn)算式中用到了市場(chǎng)組合的收益風(fēng)險(xiǎn)假定市場(chǎng)組合的收益風(fēng)險(xiǎn)可以計(jì)算出來從圖上可以簡(jiǎn)單推導(dǎo)出該方程資本資產(chǎn)定價(jià)模型—CAPM第三章結(jié)論：在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，對(duì)任意證券或組合q，可以用（3.35）定價(jià)用市場(chǎng)組合m取代（3.35）中的前沿證券P得到CAPMq的β係數(shù)證券市場(chǎng)線

SML＝securitiesmarketline將CAPM看成一條直線，就是SML位於SML與CML對(duì)比：都是組合p的收益與風(fēng)險(xiǎn)之間關(guān)係的函數(shù)SML對(duì)任意的證券組合成立CML僅對(duì)前沿證券組合成立“橫坐標(biāo)”不同：標(biāo)準(zhǔn)差，β係數(shù)SML的含義處在SML上的投資組合點(diǎn)，處?kù)毒鉅顟B(tài)。如圖中的m、Q點(diǎn)和O點(diǎn)高於或低於直線SML的點(diǎn)，表示投資組合不是處?kù)毒鉅顟B(tài)。如圖中的

O’點(diǎn)和Ｑ’點(diǎn)市場(chǎng)組合m的β係數(shù)βmm＝1，表示其與整個(gè)市場(chǎng)的波動(dòng)相同，即，其預(yù)期收益率等於市場(chǎng)平均預(yù)期收益率EmSML對(duì)證券組合價(jià)格有制約作用市場(chǎng)處?kù)毒鉅顟B(tài)時(shí)，SML可以決定單個(gè)證券或組合的預(yù)期收益率，也可以決定其價(jià)格高於SML的點(diǎn)（圖中的O’點(diǎn)）表示價(jià)格偏低的證券。（可以買入，需求增加）其市價(jià)低於均衡狀況下應(yīng)有的價(jià)格預(yù)期收益率相對(duì)於其系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)而言，必高於市場(chǎng)的平均預(yù)期收益率價(jià)格偏低，對(duì)該證券的需求就會(huì)“逐漸”增加，將使其價(jià)格上升隨著價(jià)格的上升，預(yù)期收益率將下降，直到下降到均衡狀態(tài)為止O’點(diǎn)下降到其SML所對(duì)應(yīng)的O點(diǎn)低於SML的點(diǎn)（圖中的Q’點(diǎn)）表示價(jià)格偏高的證券。（應(yīng)該賣出，供給增加）其市價(jià)高於均衡狀況下應(yīng)有的價(jià)格預(yù)期收益率相對(duì)於其系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)而言，必低於於市場(chǎng)的平均預(yù)期收益率價(jià)格偏高，對(duì)該證券的供給就會(huì)“逐漸”增加，將使其價(jià)格下降隨著價(jià)格的下降，預(yù)期收益率將上升，直到上升到均衡狀態(tài)為止Q’點(diǎn)上升到其SML所對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)BAEO’mE(r)0βimEQ’EmO’OQ’Qβmm=1β係數(shù)含義β係數(shù)表示證券或組合的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)根據(jù)β係數(shù)將證券或組合分為兩種SML上的B點(diǎn)在m點(diǎn)的左邊，其β係數(shù)值小於1。表明證券B的變動(dòng)幅度小於整個(gè)市場(chǎng)的變動(dòng)，稱為防衛(wèi)性證券或證券組合（defensivesecurities）SML上的A點(diǎn)在m點(diǎn)的右邊，其β係數(shù)值大於1。表明A的變動(dòng)幅度大於整個(gè)市場(chǎng)的變動(dòng)，稱為攻擊性證券或證券組合（Aggressivesecurities）CAPM的事後形式—“特徵線”類似於計(jì)量經(jīng)濟(jì)中回歸的運(yùn)算式風(fēng)險(xiǎn)的分解由事後形式，忽略聯(lián)動(dòng)性，近似認(rèn)為誤差項(xiàng)不相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)由系統(tǒng)和非系統(tǒng)兩部分組成（等式右邊兩項(xiàng)）公式中X表示投資權(quán)重非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)趨向於0非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是方差運(yùn)算式中第二項(xiàng)引理4.2：如果每個(gè)證券的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)有界，即則，在高度分散化的情況下，組合p的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)趨向於0，即組合p高度分散化是一個(gè)極限的過程，應(yīng)該從“密度”的觀點(diǎn)看待。詳細(xì)內(nèi)容第五章因?yàn)槟軌虮槐苊?，所以稱為可分散風(fēng)險(xiǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的近似公式βim作為證券i對(duì)組合p的風(fēng)險(xiǎn)做出的“貢獻(xiàn)”的度量證券的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)體現(xiàn)在證券的β係數(shù)上βim作為對(duì)證券i的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的度量把β係數(shù)看成對(duì)證券i的總風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)度量——β風(fēng)險(xiǎn)。β風(fēng)險(xiǎn)具有線性可加性是市場(chǎng)真正給予補(bǔ)償或估值的風(fēng)險(xiǎn)單個(gè)證券對(duì)組合風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)用風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格解釋CAPM在CAPM的運(yùn)算式中，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（補(bǔ)償）———風(fēng)險(xiǎn)（橫坐標(biāo)）————風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格（直線斜率）—單位風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)—————度量風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的

另外兩種方式

CAPM公式變形第二節(jié)CAPM應(yīng)用和β係數(shù)估計(jì)

運(yùn)用CAPM公式就需要瞭解3個(gè)數(shù)據(jù)1.β係數(shù)2.市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)3.無風(fēng)險(xiǎn)利率運(yùn)用CAPM的難點(diǎn)就在於如何計(jì)算或估計(jì)這3個(gè)數(shù)據(jù)β係數(shù)的估計(jì)

沒有理由認(rèn)為證券或證券組合的β係數(shù)恒定不變真正的β係數(shù)的取值是未來的β係數(shù)只有當(dāng)認(rèn)為未來的情況不會(huì)有大的差別時(shí)，才將現(xiàn)在的β係數(shù)用於未來先看過去和現(xiàn)在如何，再看將來會(huì)發(fā)生什麼變化對(duì)β係數(shù)的預(yù)測(cè)還有很多，這裏是幾種方法最基本1）用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)出的β值作為β係數(shù)的預(yù)測(cè)值；2）用歷史的β值調(diào)整後得到的值作為β係數(shù)預(yù)測(cè)值3）用基礎(chǔ)β係數(shù)作為β係數(shù)的預(yù)測(cè)值

事後β係數(shù)的估計(jì)所謂事後β係數(shù)，是從市場(chǎng)的實(shí)際表現(xiàn)，來估計(jì)過去到現(xiàn)在一段時(shí)期以來，實(shí)際表現(xiàn)的β值是多大，因而它屬於一個(gè)實(shí)證而非預(yù)測(cè)的範(fàn)疇由於用的是歷史的數(shù)據(jù)，所以也稱為歷史的β方法假定αi，βi為常數(shù)。用資產(chǎn)i的收益率和市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)收益（市場(chǎng)組合收益率替代物）的歷史數(shù)據(jù)，建立線性回歸模型，得到αi和βi的估計(jì)值α*i，β*i：rit＝αi+βirmt+εit

，t＝1，2，…，T具體估計(jì)過程分選取樣本和估計(jì)兩個(gè)步驟分段計(jì)算β係數(shù)

布魯姆（Blume）歷史調(diào)整β法布魯姆1971年提出將樣本期0—T分為兩段，0—T1和T1—T估計(jì)第1段和第2段的β值βi1和βi2用橫截面數(shù)據(jù)β12，…，βN2，對(duì)β11，β21，…，βN1；作最小二乘回歸N＝在樣本期都存在的股票個(gè)數(shù)將其作為證券i在下一個(gè)時(shí)期的β係數(shù)的預(yù)測(cè)值經(jīng)驗(yàn)表明，比直接用βi2預(yù)測(cè)誤差小查看Blume(1971)基礎(chǔ)β方法

上市公司的基礎(chǔ)因素（例如公司的規(guī)模、流動(dòng)性等）影響股票風(fēng)險(xiǎn)?；A(chǔ)=fundamental選擇市場(chǎng)變數(shù)或者反映公司基本特徵的基礎(chǔ)變數(shù)。如股利支付率（＝股利／每股盈利）、資本增長(zhǎng)率（＝資本增長(zhǎng)量／總資本）、流動(dòng)性（流動(dòng)資產(chǎn)／流動(dòng)負(fù)債）、公司規(guī)模（總資產(chǎn)）和盈利變動(dòng)性（市盈率的標(biāo)準(zhǔn)差）用基於歷史的β值對(duì)基礎(chǔ)變數(shù)的橫截面數(shù)據(jù)（公司i的基礎(chǔ)變數(shù)X1，…，Xk的平均值）進(jìn)行回歸估計(jì)X1，…，Xk，進(jìn)而估計(jì)β值假定所有公司的β對(duì)基礎(chǔ)變數(shù)的反應(yīng)程度一樣對(duì)未來β係數(shù)的預(yù)測(cè)

用歷史的β係數(shù)作為預(yù)測(cè)，承認(rèn)未來的風(fēng)險(xiǎn)等於過去的風(fēng)險(xiǎn)美林公司公佈的β係數(shù)是修正的β係數(shù)，以5年中的舊數(shù)據(jù)為抽樣單位國(guó)外一些機(jī)構(gòu)定期公市股票β係數(shù)可採(cǎi)用某一機(jī)構(gòu)公佈的β係數(shù)，也可對(duì)機(jī)構(gòu)公佈的β係數(shù)平均預(yù)測(cè)未來β係數(shù)的最簡(jiǎn)單辦法是用最近一段時(shí)間的事後β係數(shù)估計(jì)值作為未來某個(gè)時(shí)間段的β係數(shù)的預(yù)測(cè)值用移動(dòng)取樣計(jì)算事後估計(jì)比較合理如果認(rèn)為時(shí)間上相鄰的β係數(shù)之間存在線性關(guān)係，可以首先明瞭這種關(guān)係，然後利用這種關(guān)係預(yù)測(cè)未來的β係數(shù)1.計(jì)算每個(gè)分段時(shí)期的β係數(shù)2.利用回歸分析等工具明確β係數(shù)之間的線性關(guān)係3.分析各個(gè)時(shí)間段計(jì)算出的β係數(shù)之間的相關(guān)性，建立線性關(guān)係

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格和無風(fēng)險(xiǎn)收益率估計(jì)短期國(guó)債收益率作為無風(fēng)險(xiǎn)收益率的估計(jì)股票是長(zhǎng)期證券，計(jì)算股權(quán)資本成本，用長(zhǎng)期國(guó)債收益率真正的市場(chǎng)組合M是理想化的，是不可觀測(cè)的用股票價(jià)格指數(shù)作為M的替代物如果組合中含有債券，用股票指數(shù)和債券指數(shù)構(gòu)造一個(gè)綜合的指標(biāo)作為M的替代物選擇股票指數(shù)有“人為性”

市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是變化的。如果要用CAPM估算股權(quán)收益成本，應(yīng)該採(cǎi)用本期最新的預(yù)測(cè)值第四節(jié)有關(guān)市場(chǎng)組合的替代物是否“勝任”的問題用CAPM確定資產(chǎn)價(jià)格是否合理

資產(chǎn)j在投資期末的預(yù)期價(jià)格是隨機(jī)變數(shù)資產(chǎn)j在投資期末的預(yù)期收益率資產(chǎn)j的均衡收益率是期初的市場(chǎng)價(jià)格為（已知的）市場(chǎng)組合的收益率資產(chǎn)j的期初均衡價(jià)格問題：投資期初的（現(xiàn)在的）市場(chǎng)價(jià)格是否合理可否利用該資產(chǎn)的定價(jià)偏高或偏低獲得收益用α係數(shù)判斷定價(jià)合理定價(jià)適當(dāng)定價(jià)偏低定價(jià)偏高實(shí)際中尋找市價(jià)與均衡價(jià)格有差異的資產(chǎn)

選定過去某時(shí)刻到現(xiàn)在（現(xiàn)期）作為樣本期用作線性回歸，得到檢驗(yàn)常數(shù)項(xiàng)是否與0有顯著差異如果有差異，定價(jià)不合理發(fā)現(xiàn)不合理定價(jià)後

證券組合調(diào)整

發(fā)現(xiàn)了定價(jià)不當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)j後，可以構(gòu)造新的證券組合PN證券組合PN在坐標(biāo)系中的點(diǎn)位於市場(chǎng)組合m點(diǎn)的左邊

PN與無風(fēng)險(xiǎn)證券的再組合的前沿為超有效證券前沿（supperefficientportfoliofrontier）

PN的公式複雜Pagexx第三節(jié)關(guān)於市場(chǎng)組合的替代物的兩個(gè)結(jié)論

市場(chǎng)組合的收益率是不可觀測(cè)的只能觀測(cè)替代物（MarketProxy）替代物而在什麼情況下可以代表真正的市場(chǎng)組合m兩個(gè)有用的結(jié)論

定理4.2：如果市場(chǎng)組合m的替代物具有單位β值，即，並且，單個(gè)證券j的收益率與替代物之間的線性回歸的餘項(xiàng)（誤差項(xiàng)）與真正市場(chǎng)組合m不相關(guān)，那麼，證券j真正的β係數(shù)是可以估計(jì)的，

定理4.3：如果選N個(gè)證券為樣本，並且知道它們真正的貝塔值βm＝（β1m，β2m，…，βNm）T，那麼可以由這N個(gè)樣本證券構(gòu)造出一個(gè)市場(chǎng)組合的替代物，使得這N個(gè)樣本證券相對(duì)於替代物的β係數(shù)與相對(duì)於真正市場(chǎng)組合m的β係數(shù)一致

證明：構(gòu)造組合的權(quán)重如下第四節(jié)

兩組合分離性

兩組合分離性的=twofundsseparation放寬CAPM模型中假設(shè)1的條件將“馬可維茨擁護(hù)者”變?yōu)椤帮L(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者”

“風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者”如何選擇最優(yōu)證券組合所有證券組合前沿上的組合可以用任意兩個(gè)不相同的前沿證券組合的組合表示“空間的維數(shù)＝2”兩組合分離性定義定義：稱資產(chǎn)集具有兩組合分離性，如果存在兩個(gè)資產(chǎn)組合α1和α2，使得，對(duì)於任意證券組合ｑ可以找到實(shí)數(shù)λ（與ｑ有關(guān)），使得下麵的不等式對(duì)所有凹函數(shù)u成立“二維空間”

因?yàn)閮蓚€(gè)組合α1和α2的組合可以“優(yōu)於”任何一個(gè)證券組合只需要考慮α1和α2就夠了儘管不能確定具體是哪兩個(gè)組合但是，數(shù)量是確定的＝2類似於線性空間的“維數(shù)”

兩組合分離可以理解為是“二維空間”兩組合分離的性質(zhì)

CAPM中的假設(shè)1放寬後，在什麼情況下，風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者會(huì)偏好於前沿證券組合定理4.4：滿足兩組合分離中定義中的α1和α2一定是前沿證券組合定理4.5：如果資產(chǎn)集具有兩組合分離性，那麼，任何兩個(gè)不相同的前沿證券都可作為定義中的兩分離組合α1和α2

。特別地，可以任意取某個(gè)前沿證券p（≠mvp）和它的零協(xié)方差證券組合zc(p)。

兩組合分離的等價(jià)條件

定理4.6：設(shè)p是某個(gè)給定的前沿證券組合，下麵3種說法等價(jià)1）存在兩組合分離性；2）對(duì)任意的組合q和所有的凹函數(shù)u3）對(duì)任意的組合q，

定理4.7：p是某個(gè)前沿證券組合，則，如果存在兩組合分離現(xiàn)象，那麼，對(duì)所有的凹函數(shù)u和任意組合q，λ=0是下麵優(yōu)化問題的解定理的證明過程分為兩個(gè)部分單組合分離設(shè)想：兩組合分離性中的兩個(gè)證券組合“相距很近”，其極限結(jié)果就是單組合分離性單組合分離性可以理解成兩組合分離性的退化形式定義：對(duì)於資產(chǎn)集，如果存在證券組合α，使得，

對(duì)任意證券組合ｑ和所有凹函數(shù)u成立，稱資產(chǎn)集具有單組合分離性

單組合分離性是指：對(duì)於每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者，存在單獨(dú)一個(gè)證券組合，它優(yōu)於任何其他可行的證券組合定理4.8：?jiǎn)谓M合分離性中的證券組合α必定是最小方差的證券組合（mvp）。定理4.9：?jiǎn)谓M合分離的充要條件是兩組合分離性資產(chǎn)集的存在性如果資產(chǎn)集如果具有兩組合分離性，那麼，任何風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者都會(huì)在證券組合前沿上尋找其最佳投資策略，此時(shí)，CAPM的假設(shè)1可以去掉，只要求投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型。實(shí)際市場(chǎng)中，存在具有兩組合分離性的資產(chǎn)集某些證券收益的分佈都會(huì)產(chǎn)生兩組合分離的現(xiàn)象正態(tài)分佈具有兩組合分離性一些穩(wěn)定的Paretian分佈和具有相對(duì)更極端值的肥尾分佈的非穩(wěn)定Paretian分佈，也具有兩組合分離性正態(tài)分佈情況下隨機(jī)變數(shù)（資產(chǎn)集）服從正態(tài)分佈第一，正態(tài)分佈的線性組合仍然是正態(tài)分佈第二，兩個(gè)正態(tài)分佈隨機(jī)變數(shù)，不相關(guān)等價(jià)於獨(dú)立結(jié)論4.1：如果資產(chǎn)集服從多元正態(tài)分佈，則，具有兩組合分離性結(jié)論4.2：如果資產(chǎn)集合不僅服從多元正態(tài)分佈，而且，具有相等的期望值，那麼，具有單組合分離性結(jié)論4.3：假設(shè)投資者的效用函數(shù)都是遞增和嚴(yán)格凹的（風(fēng)險(xiǎn)厭惡），則，市場(chǎng)組合是有效前沿證券第五節(jié)

不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

情況下的CAPM對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的CAPM中假設(shè)6的放寬假設(shè)條件6具體內(nèi)容是：存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，單個(gè)投資者能以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入或貸出任意數(shù)量的該種資產(chǎn)，這個(gè)利率對(duì)所有投資者都相同現(xiàn)在假設(shè)，沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)存在針對(duì)這種情況，布萊克（Black）1972年得到了一個(gè)一般的CAPM，稱之布萊克CAPM用zc(m)代替無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)根據(jù)第3章第5節(jié)的定價(jià)公式，任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i，可以按照下麵的公式進(jìn)行定價(jià)本來公式中雙曲線上任何一個(gè)非左端點(diǎn)的點(diǎn)這裏指定m是市場(chǎng)組合，就是布萊克的CAPM布萊克CAPM中的zc(m)是未觀察的變數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)的CAPM複雜得多zc(m)相對(duì)於m的β係數(shù)βzc(m)m=0布萊克CAPM又被稱為0貝塔CAMPZero-betaCAPM第六節(jié)對(duì)賣空和無風(fēng)險(xiǎn)證券

條件的放寬

標(biāo)準(zhǔn)CAPM模型的假設(shè)5：對(duì)賣空沒有約束，允許無限制地賣空實(shí)際中，對(duì)賣空是有限制的。我國(guó)的上海和深圳證券交易所都不允許賣空。在允許賣空情況下，所有投資者都持有的風(fēng)險(xiǎn)證券的“結(jié)構(gòu)”與市場(chǎng)組合中的風(fēng)險(xiǎn)證券“結(jié)構(gòu)”相同?？紤]連接無風(fēng)險(xiǎn)證券和市場(chǎng)組合m的直線的斜率km。限制賣空與否不改變CAPM可賣空的規(guī)劃問題P1最大斜率不賣空的規(guī)劃問題P2市場(chǎng)組合M是P1的解，M的權(quán)重非負(fù)兩個(gè)問題的解相同對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)借人貸出假定的修正標(biāo)準(zhǔn)的CAPM假定6：存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，單個(gè)投資者可以以一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)利率貸出（即投資）或借入任意數(shù)量的該種資產(chǎn)。這個(gè)利率對(duì)所有投資者都相同分為三種情況第一，不能以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入，也不能貸出；第二，能貸出，但不能借入；第三，能貸能借，但是借入和貸出的利率不相等情形1：不能借也不能貸

相當(dāng)於不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)第四節(jié)的Black0βCAPM模型注：羅斯（ROSS）證明：在既不允許以無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸，又不允許風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)賣空時(shí)，不能導(dǎo)出簡(jiǎn)單的均衡關(guān)係情形2：能以無風(fēng)險(xiǎn)利率貸出

但不能以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入考慮這種情況下的證券前沿組合因可以貸入，切點(diǎn)e點(diǎn)左邊，前沿組合是直線因不能借入，切點(diǎn)e右邊是原來的曲線有效證券前沿＝直線段pe＋曲線ec投資者持有的有效組合中所包含的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合要麼是e，要麼是e右邊的位於ec上的組合e是點(diǎn)p(0，rf)引出射線與雙曲線的切點(diǎn)結(jié)論4.3：市場(chǎng)組合m必位於e右側(cè)的雙曲線上

zc(m)PceE(r)0m情形2的定價(jià)公式m點(diǎn)趨向於e點(diǎn)。上式“退化成”

Black的0貝塔CAPM有效邊界＝pe＋emc投資者在pe上的選擇是，一部分資金投資於組合e，而另一部分資金投資於無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。切點(diǎn)組合e可視為市場(chǎng)組合m和零協(xié)方差組合zc(m)的某個(gè)凸組合。投資者在em上的選擇是對(duì)市場(chǎng)組合m和組合zc(m)的凸組合；投資者在me上的選擇是賣空zc(m)，並用所的資金加上原先的資金投資於市場(chǎng)組合m。在這種情況下，將涉及到“三組合分離性”m點(diǎn)趨向於e點(diǎn)。上式“退化成”

Black的0貝塔CAPM有效邊界＝pe＋emc投資者在pe上的選擇是，一部分資金投資於組合e，而另一部分資金投資於無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)切點(diǎn)組合e可視為市場(chǎng)組合m和零協(xié)方差組合zc(m)的某個(gè)凸組合投資者在em上的選擇是對(duì)市場(chǎng)組合m和組合zc(m)的凸組合；投資者在me上的選擇是賣空zc(m)，並用所的資金加上原先的資金投資於市場(chǎng)組合m。在這種情況下，涉及到“三組合分離性”情形3：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的借出利率和貸入利率不相等的對(duì)於CAPM，在討論能以不等的無風(fēng)險(xiǎn)利率借入貸出的時(shí)候，應(yīng)該假設(shè)，借入利率高於貸出利率，即，rB＞rL表明的實(shí)際情況是，借入資金的一方所要付出的，出了貸出利率之外，還有進(jìn)行借入活動(dòng)的成本由PB（0，rB）和PL（0，rL）引出兩條射線射線的做法是與雙曲線相切，切點(diǎn)是B和L有效邊界＝線段PLL、曲線LB＋射線BC市場(chǎng)組合m位於LB之間的曲線上它是有效的風(fēng)險(xiǎn)前沿證券組合，因而，其零協(xié)方差證券組合zc(m)滿足zc(m)cLE(r)0mB情形3下的定價(jià)公式為考慮B、L和m無限地接近的極限情況“退化成”前面介紹過Black的CAPM布倫南（M．Brennan）討論了不僅借入、貸出時(shí)的無風(fēng)險(xiǎn)利率不同，而且這些利率還因人而異，得到了形同0-β的CAPM的均衡方程第四章附錄隨機(jī)變數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化一個(gè)重要定理CAPM假設(shè)條件放寬的其他兩種情況C—CAPM模型推導(dǎo)和解釋

因素模型

——套利定價(jià)理論APTCAPM斷言，證券具有不同的預(yù)期回報(bào)率是因?yàn)橛胁煌摩轮?，並進(jìn)行了均衡定價(jià)附錄2中列舉了CAPM的問題。市場(chǎng)組合難得到存在市場(chǎng)因素（市場(chǎng)組合）之外的因素，引起證券價(jià)格的共同波動(dòng)羅斯(A.Ross)1976年提出了多因素定價(jià)模型——套利定價(jià)理論（APT）

CAPM可視為APT的一個(gè)特例。單一指數(shù)模型APT的假設(shè)大大少於CAPM假設(shè)第一節(jié)

因素模型和套利

FactorArbitrage風(fēng)險(xiǎn)都是由因素風(fēng)險(xiǎn)引起，只要避免了因素風(fēng)險(xiǎn)就避免了全部的風(fēng)險(xiǎn)APT假設(shè)證券回報(bào)率與未知數(shù)量的未知因素相聯(lián)系分析每種證券對(duì)因素變動(dòng)的敏感性每個(gè)證券對(duì)於該因素的變化是如何應(yīng)對(duì)的套利行為必須是“沒有風(fēng)險(xiǎn)”的

單因素模型單因素模型假設(shè)：證券市場(chǎng)中的各個(gè)證券之間的聯(lián)動(dòng)性僅僅是由單獨(dú)一個(gè)因素對(duì)證券普遍產(chǎn)生影響例如，如果投資者認(rèn)為證券的收益率僅僅受到工業(yè)產(chǎn)值的預(yù)期增長(zhǎng)率G的影響從歷史數(shù)據(jù)出發(fā)，通過回歸分析可以建立證券收益率與G之間的線性關(guān)係

從書上的數(shù)據(jù)計(jì)算，a=4%，b=2單因素模型的一般表述單因素模型認(rèn)為：只有一個(gè)因素F對(duì)證券收益率產(chǎn)生普遍的影響建立證券I的收益率在任意時(shí)期t的估計(jì)式

Ft為t期因素F的預(yù)期值；bi為證券i對(duì)因素F的敏感性；rit為證券i在第t期的實(shí)際收益率；εit為證券i在第t期的誤差

單因素模型下期望方差計(jì)算

期望收益率方差或因素風(fēng)險(xiǎn)

證券間協(xié)方差

市場(chǎng)模型——特殊的單因素模型如果將市場(chǎng)組合m的收益率rm作為單因素模型中的F，就得到一個(gè)特殊的單因素模型M的收益率用市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)收益率代替以市場(chǎng)指數(shù)收益率作為單因素的單因素模型稱為市場(chǎng)模型，運(yùn)算式為：

敏感性＝β係數(shù)單因素模型下風(fēng)險(xiǎn)的解

總風(fēng)險(xiǎn)分解成兩部分因素風(fēng)險(xiǎn)類似系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)非因素風(fēng)險(xiǎn)類似非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)

多因素模型假設(shè)證券收益率受K個(gè)共同因素F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)K的普遍影響用多元線性回歸，建立如下的證券i的收益率與K個(gè)因素的關(guān)係式

多因素模型下證券或組合的

期望方差協(xié)方差計(jì)算

期望收益率方差或因素風(fēng)險(xiǎn)

證券間協(xié)方差套利和近似套利

“無套利”是APT的最基本假設(shè)如果每個(gè)投資者對(duì)各種證券的期望收益和敏感性均有相同的估計(jì)，那麼在均衡狀態(tài)下各種證券取得不同期望收益率的原因是什麼4個(gè)問題：第一，一個(gè)實(shí)際市場(chǎng)是否已達(dá)到均衡狀態(tài)第二，如果市場(chǎng)未達(dá)到均衡狀態(tài)，投資者如何行動(dòng)第三，投資者的行動(dòng)會(huì)如何影響市場(chǎng)，最終使市場(chǎng)達(dá)到均衡第四，均衡狀態(tài)下，證券的期望收益率由什麼決定套利的定義套利是利用同一種實(shí)物資產(chǎn)或證券的不同價(jià)格來賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的行為套利最具代表性的是以較高的價(jià)格出售證券，同時(shí)以較低價(jià)格購(gòu)進(jìn)相同的證券現(xiàn)實(shí)中難以存在套利行為是現(xiàn)代有效市場(chǎng)的一個(gè)決定性要素套利所得到利潤(rùn)是無風(fēng)險(xiǎn)的，投資者一旦發(fā)現(xiàn)這種機(jī)會(huì)就會(huì)設(shè)法利用它們一些投資者要比其他人具有更多的資源和意願(yuàn)去從事套利活動(dòng)只有極少的積極投資者能夠發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會(huì)隨著他們的買進(jìn)和賣出，套利機(jī)會(huì)將消除近似套利的定義用因素模型說明“近似套利機(jī)會(huì)”如果不同的證券或組合對(duì)各個(gè)因素的敏感性相同，那麼，除了非因素風(fēng)險(xiǎn)之外，不同的證券或組合應(yīng)該提供相同的期望收益率如果兩種證券組合所提供的收益率不同，便提供了“近似套利機(jī)會(huì)”賣出收益率低的，同時(shí)買進(jìn)收益率高的證券或組合，就肯定可以獲得正利益利用這些套利的機(jī)會(huì)後，原來的套利機(jī)會(huì)消失近似＝除了非因素風(fēng)險(xiǎn)之外如果組合完全分散化，非因素風(fēng)險(xiǎn)將“消失”套利組合為實(shí)現(xiàn)套利，需要買入一些證券，同時(shí)賣出一些證券，該過程就是構(gòu)建套利組合構(gòu)建套利組合需要滿足的3個(gè)條件第一，不增加額外資金。套利組合中買入證券需要的資金來自賣出證券所的資金第二，套利不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。因素模型中的風(fēng)險(xiǎn)是因素風(fēng)險(xiǎn)第三，套利提供正利潤(rùn)。新證券組合的收益率必須大於前組合的收益率套利組合條件公式表示對(duì)公式的說明可以用矩陣的方式表示x表示權(quán)重改變量，未知，需要求解滿足公式的x都是套利組合解一般是不唯一的構(gòu)建套利組合後的“處境”從一個(gè)舊證券組合變成了一個(gè)新的證券組合新的證券組合＝舊的證券組合＋套利組合套利組合期望收益率＞0新組合的敏感性=舊組合的敏感性新組合因素風(fēng)險(xiǎn)＝舊組合因素風(fēng)險(xiǎn)由於存在非因素風(fēng)險(xiǎn)新組合風(fēng)險(xiǎn)不一定等於舊組合的風(fēng)險(xiǎn)

套利定價(jià)方程

套利定價(jià)方程是判斷是否存在套利機(jī)會(huì)的工具Ei（i＝1，…n）滿足何種條件，解不存在，可以證明，當(dāng)且僅當(dāng)Ei是敏感性的線性函數(shù),就是說不再存在套利機(jī)會(huì)方程中λ的含義根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)證券λ0＝rf構(gòu)造特殊的證券組合δjδj對(duì)因素Fj的敏感性bj＝1，而對(duì)其他因素的敏感性bi＝0（i≠j）δj的期望收益率E（δj）＝rf＋λjλj＝E(δj)－

rf類似於標(biāo)準(zhǔn)正交基下的座標(biāo)套利定價(jià)模型的計(jì)算實(shí)例

例1。工業(yè)產(chǎn)值為單因素投資者擁有3種證券，每種證券的當(dāng)前市值均為4000000元?？傎Y金＝12000000元。3種證券預(yù)期回報(bào)率和敏感性如下表證券預(yù)期回報(bào)率(%)敏感性bi證券1證券2證券31521120.93.01.8期望和敏感性的改狀態(tài)，是否可以引起存在套利？解“方程”x1＋x2＋x3＝00.9x1＋3.0x2＋1.8x3＝015x1＋21x2＋12x3＞0解不唯一。給x1賦予一個(gè)值，例如0.1,x2＝0.075，x3＝-0.175新舊組合的比較

舊組合套利組合新組合權(quán)數(shù)X1X2X3性質(zhì)rbσ0.3330.3330.33316.000%1.90011.000%0.1000.075-0.175

0.975%0.000很小0.4330.4080.15816.975%1.900約11.000%第二節(jié)

多因素定價(jià)模型的推導(dǎo)

因素模型的5個(gè)假設(shè)條件假設(shè)1：市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)、無摩擦、無限可分假設(shè)2：存在K個(gè)共同因素影響整個(gè)證券市場(chǎng)假設(shè)3：所有投資者對(duì)同種證券的收益具有的預(yù)