中考數(shù)學(xué)全程演練第34課時(shí) 銳角三角函數(shù)

第十一單元解直角三角形第34課時(shí)銳角三角函數(shù)(60分)一、選擇題(每題3分，共21分)1．[2014·杭州]在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，則AC＝ (D)A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°圖34－12．[2015·山西]如圖34－1，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是 (D)圖34－1A．2 B.eq\f(2\r(5),5) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(1,2)【解析】如答圖，連結(jié)AC，由勾股定理，得AC＝eq\r(2)，AB＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(10)，AB2＋AC2＝BC2，AC⊥AB.第2題答圖則tan∠B＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).第2題答圖圖34－23．[2015·麗水]如圖34－2，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示cosα的值，錯(cuò)誤的是 (C)圖34－2A.eq\f(BD,BC) B.eq\f(BC,AB)C.eq\f(AD,AC) D.eq\f(CD,AC)4．[2014·汕尾]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(3,5)，則cosB的值是(B)A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)圖34－35．[2014·湖州]如圖34－3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq\f(1,2)，則BC的長(zhǎng)是 (A)圖34－3A．2 B．3 C．4 D．8圖34－46．[2015·揚(yáng)州]如圖34－4，若銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外(與點(diǎn)C在AB同側(cè))，則下列三個(gè)結(jié)論：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正確的結(jié)論為 (D)圖34－4A．①② B．②③ C．①②③ D．①③7．[2015·日照]如圖34－5，在直角△BAD中，延長(zhǎng)斜邊BD到點(diǎn)C，使DC＝eq\f(1,2)BD，連結(jié)AC，若tanB＝eq\f(5,3)，則tan∠CAD的值為 (D)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),5) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,5)圖34－5【解析】過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E.第7題答圖∵∠BAD＝90°，DE∥AB，第7題答圖∴∠ADE＝90°，∵tanB＝eq\f(5,3)，設(shè)AD＝5k，AB＝3k，∵DE∥AB，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(CD,BC)，DE＝eq\f(1,3)AB＝k，∴tan∠CAD＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(k,5k)＝eq\f(1,5).

二、填空題(每題4分，共20分)圖34－68．[2015·成都模擬]如圖34－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則sinB的值為__eq\f(\r(3),2)__．圖34－6【解析】∵AB＝2BC，∴AC＝eq\r(（2BC）2－BC2)＝eq\r(3)BC，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3)BC,2BC)＝eq\f(\r(3),2).9．[2015·杭州模擬]已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(3),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝0，則∠C的度數(shù)是__90°__．【解析】∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(3),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝0，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C的度數(shù)是90°.10．如圖34－7，在⊙O中，過直徑AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)C作⊙O的一條切線，切點(diǎn)為D，若AC＝7，AB＝4，則sinC的值為__eq\f(2,5)__．圖34－7圖34－811．[2014·黃石]如圖34－8，圓O的直徑CD＝10cm，且AB⊥CD，垂足為P，AB＝8cm，則sin∠OAP＝__eq\f(3,5)__.圖34－8圖34－912．[2015·廣州]如圖34－9，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E，連結(jié)BE，若BE＝9，BC＝12，則cosC＝__eq\f(2,3)__．圖34－9【解析】在Rt△EDC中，只要求出EC和DC即可求出cosC的值．DE是BC的垂直平分線，所以BE＝EC＝9，BD＝DC＝6.三、解答題(共19分)13．(9分)如圖34－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝eq\f(2,5)，求BC的長(zhǎng)和tanB的值．圖34－10解：∵sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,5)，又∵AB＝10，∴BC＝4.又∵AC＝eq\r(AB2－BC2)＝2eq\r(21)，∴tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(21),2).14．(10分)計(jì)算：(1)[2015·永州]cos30°－eq\f(\r(12),4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)；(2)[2015·綿陽]eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－eq\f(1,cos45°)＋eq\r(3,－8).解：(1)原式＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(2\r(3),4)＋22＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)＋4＝4；(2)原式＝－(1－eq\r(2))＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))－eq\f(1,\f(\r(2),2))＋eq\r(3,（－2）3)＝eq\r(2)－1＋eq\f(1,\f(1,4))－eq\f(2,\r(2))＋(－2)＝eq\r(2)－1＋4－eq\r(2)－2＝1.(28分)15．(8分)[2014·重慶]如圖34－11，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求sinC的值．圖34－11解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∵tan∠BAD＝eq\f(3,4)，AD＝12，∴BD＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13，∴sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).16．(10分)[2015·酒泉]如圖34－12①，將直尺擺放在三角板上，使直尺與三角板的邊分別交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，已知∠CGD＝42°.圖34－12(1)求∠CEF的度數(shù)；(2)將直尺向下平移，使直尺的邊緣通過三角板的頂點(diǎn)B，交AC邊于點(diǎn)H，如圖②所示，點(diǎn)H，B在直尺上的度數(shù)分別為4，13.4，求BC的長(zhǎng)(結(jié)果保留兩位小數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)解：(1)∵∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴∠CDG＝90°－42°＝48°，∵DG∥EF，∴∠CEF＝∠CDG＝48°；(2)∵點(diǎn)H，B的讀數(shù)分別為4，13.4，∴HB＝13.4－4＝9.4，∴BC＝HB·cos42°≈9.4×0.74≈6.96.∴BC的長(zhǎng)為6.96.圖34－1317．(10分)[2014·長(zhǎng)沙]如圖34－13，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE與AD相交于點(diǎn)O.圖34－13(1)求證：△AOE≌COD；(2)若∠OCD＝30°，AB＝eq\r(3)，求△AOC的面積．解：(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得：AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠D＝90°，∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°，又∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COD(AAS)；(2)∵∠OCD＝30°，AB＝eq\r(3)＝CD，∴OD＝CD·tan∠OCD＝eq\r(3)·tan30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝1，OC＝2，由折疊知∠BCA＝∠ACO，∵AD∥BC，∴∠OAC＝∠BCA，∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝2，∴S△AOC＝eq\f(1,2)·OA·CD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).(12分)18．(12分)[2014·遂寧]如圖34－14，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：圖34－14(1)sin2A1＋sin2B1＝__1__；sin2A2＋sin2B2＝__1__；sin2A3＋sin2B3＝__1__；(2)觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝__1__；④(3)如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c；利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；④(4)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝eq\f(5,13)，求si