概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計匯報人：AA2024-01-19目錄contents概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念和方法方差分析與回歸分析初步隨機(jī)過程初步知識01概率論基本概念123所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。樣本空間樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示。事件只包含一個樣本點的事件，是構(gòu)成樣本空間的最小單元?；臼录颖究臻g與事件概率定義及性質(zhì)概率定義描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（所有可能事件的概率之和為1）、可列可加性（互不相容事件的概率之和等于這些事件和的概率）。條件概率在某一事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。獨立性如果兩個事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則稱事件A和B是相互獨立的。條件概率與獨立性全概率公式如果事件B1、B2、...、Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意一個事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以推導(dǎo)出貝葉斯公式，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]，用于求解某一事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。全概率公式與貝葉斯公式02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量定義及分類隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。隨機(jī)變量定義根據(jù)隨機(jī)變量可能取值的性質(zhì)，可以將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩類。隨機(jī)變量分類離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個可能值的概率。分布律定義二項分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機(jī)變量分布非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。分布律性質(zhì)離散型隨機(jī)變量分布律密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個描述隨機(jī)變量在某個確定取值點附近的可能性的函數(shù)。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。密度函數(shù)性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可積性。連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)030201函數(shù)分布定義：隨機(jī)變量函數(shù)的分布是指由隨機(jī)變量的函數(shù)所確定的新的隨機(jī)變量的分布。離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布：通過分布律的變換得到。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布：通過密度函數(shù)的變換得到，需要注意變換后的密度函數(shù)可能發(fā)生變化。010203隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。定義聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$具有單調(diào)不減、右連續(xù)、$F(-infty,y)=0$、$F(x,-infty)=0$、$F(infty,infty)=1$等性質(zhì)。性質(zhì)二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=F(x,infty)$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=F(infty,y)$。要點一要點二條件分布在給定$X=x$的條件下，$Y$的條件分布函數(shù)定義為$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$，同理可以定義在給定$Y=y$的條件下，$X$的條件分布函數(shù)。邊緣分布與條件分布VS如果對于所有的$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨立的。性質(zhì)相互獨立的隨機(jī)變量具有很多良好的性質(zhì)，如和的分布、積的分布等都可以方便地計算出來。定義相互獨立隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)$X$是一維隨機(jī)變量，$g(X)$是$X$的函數(shù)，則$g(X)$也是一維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)可以通過$X$的分布函數(shù)和函數(shù)$g(x)$來確定。多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，$Z=g(X,Y)$是$(X,Y)$的函數(shù)，則$Z$也是一維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)可以通過$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)和函數(shù)$g(x,y)$來確定。多維隨機(jī)變量函數(shù)分布04數(shù)理統(tǒng)計基本概念和方法總體研究對象的全體個體組成的集合，具有共同的性質(zhì)和特征。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。統(tǒng)計量根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等?？傮w、樣本和統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量的概率分布，描述了樣本統(tǒng)計量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布具有一些重要的性質(zhì)，如無偏性、有效性和一致性等，這些性質(zhì)保證了樣本統(tǒng)計量能夠準(zhǔn)確地反映總體的特征。抽樣分布性質(zhì)抽樣分布及性質(zhì)用樣本統(tǒng)計量的某個值來直接估計總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計總體均值。點估計根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個置信區(qū)間，用于估計總體參數(shù)的可能取值范圍，同時給出該估計的可靠程度。區(qū)間估計參數(shù)估計方法原理先對總體參數(shù)提出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷該假設(shè)是否成立。如果樣本信息與假設(shè)相矛盾，則拒絕該假設(shè)。步驟提出假設(shè)、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域、計算檢驗統(tǒng)計量的值并作出決策。假設(shè)檢驗原理及步驟05方差分析與回歸分析初步方差分析定義方差分析是一種通過比較不同組別間均值差異，從而推斷總體是否存在顯著差異的統(tǒng)計方法。方差分析原理方差分析基于總體方差可以分解為組內(nèi)方差和組間方差的原理，通過比較組內(nèi)和組間方差的大小來判斷總體是否存在顯著差異。方差分析應(yīng)用方差分析在科研、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如比較不同藥物療效、評估不同投資策略風(fēng)險等。方差分析原理及應(yīng)用回歸分析原理回歸分析基于最小二乘法等數(shù)學(xué)原理，通過最小化預(yù)測值與實際值之間的誤差平方和來求解模型參數(shù)?；貧w分析應(yīng)用回歸分析在金融、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如股票價格預(yù)測、疾病風(fēng)險評估等。回歸分析定義回歸分析是一種研究自變量與因變量之間關(guān)系，通過建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測因變量取值的統(tǒng)計方法?；貧w分析原理及應(yīng)用03線性回歸模型優(yōu)化針對模型存在的問題，可以通過增加自變量、變換自變量形式、引入交互項等方式對線性回歸模型進(jìn)行優(yōu)化。01線性回歸模型建立線性回歸模型建立包括確定自變量和因變量、選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ托问?、估計模型參?shù)等步驟。02線性回歸模型檢驗線性回歸模型檢驗包括模型的擬合優(yōu)度檢驗、參數(shù)的顯著性檢驗、模型的預(yù)測能力評估等。線性回歸模型建立與檢驗非線性回歸模型類型常見的非線性回歸模型包括指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型等。非線性回歸模型建立與檢驗非線性回歸模型的建立與檢驗過程與線性回歸模型類似，但需要根據(jù)具體模型形式選擇合適的估計方法和檢驗統(tǒng)計量。非線性回歸模型定義非線性回歸模型是指因變量與自變量之間不存在線性關(guān)系的回歸模型。非線性回歸模型簡介06隨機(jī)過程初步知識隨機(jī)過程定義及分類隨機(jī)過程定義隨機(jī)過程是一族依賴于參數(shù)（通常是時間）的隨機(jī)變量，可用來描述隨機(jī)現(xiàn)象或系統(tǒng)隨時間的演變。隨機(jī)過程分類根據(jù)隨機(jī)過程的特性和性質(zhì)，可將其分為平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、鞅過程等。馬爾可夫鏈定義馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N時間和狀態(tài)都是離散的隨機(jī)過程，具有“無后效性”，即未來狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與過去狀態(tài)無關(guān)。馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率表示從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的概率，通常用一個轉(zhuǎn)移概率矩陣來描述。馬爾可夫鏈基本概念平穩(wěn)過程定義平穩(wěn)過程是一類特殊的隨機(jī)過程，其統(tǒng)計特性不隨時間推移而改變。嚴(yán)格平穩(wěn)要求任意有限維分布與時間起點無關(guān)；寬平穩(wěn)要求均值和協(xié)方差函數(shù)與時間無關(guān)。遍歷性定理遍歷性定理是平穩(wěn)過程的一個重要性質(zhì)，它表明在一定條件下，時間平均可以代替空間平均，從而可以通過觀測一個樣本函數(shù)來推斷整個隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。平穩(wěn)過程與遍歷性定理生物學(xué)生物學(xué)中的許多現(xiàn)象也可以看作隨機(jī)過程，如基因突變、種群演化等。利用隨機(jī)過程理論，可以研究生物系統(tǒng)的動態(tài)行為和演化規(guī)律。金融領(lǐng)域隨