新冀教版九年級上冊初中數學24.2解一元二次方程

24.2解一元二次方程（1）

一、選擇題

1.用配方法解方程X2-4x-7=0時,原方程應變形為()

A.(x-2)2=11B.(x+2)2=11C.(x-4)2=23

D.(x+4)2=23

2.將代數式x?+6x-3化為(x+p)2+q的形式，正確的是()

A.(x+3)2+6B.(x-3)2+6C.(x+3)2-12

D.(x-3)2-12

3.用配方法解方程x2-4x+l=0時，配方后所得的方程是()

A.(x-2)2=3B.(x+2)2=3C.(x-2)2=1

D.(x-2)2=-1

4.用配方法解方程2x2-4x+1=0時，配方后所得的方程為()

A.(x-2)2=3B.2(x-2)MC.2(x-1)2=1

D.2(x-1產總

5.已知M=-^-a-1,N=a2--^a(a為任意實數)，則M、N的大小關系為()

A.M<NB.M=NC.M>N

D.不能確定

6.將代數式x2-10x+5配方后，發(fā)現(xiàn)它的最小值為()

A.-30B.-20C.-5

D.0

7.用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可變形為()

A.(x+2)2=9B.(x-2)2=9C.(x+2)2=1D.(x-

2)2=1

8.一元二次方程x2-6x-5=0配方可變形為()

A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14

D.(x+3)2=4

9.用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0時，原方程可變形為（)

A.(x+2)2=1B.(x+2)2=7C.(x+2)2=13

D.(x+2)2=19

10.對于代數式-x2+4x-5,通過配方能說明它的值一定是()

A.非正數B.非負數C.正數

D.負數

二、填空題

11.將二次三項式x?+4x+5化成(x+p)2+q的形式應為.

12.若X?-4x+5=(x-2)2+m,則m=.

13.若a為實數，則代數式｛27-]2a+2a2的最小值為一.

14.用配方法解方程3X2-6X+1=0,則方程可變形為(x-)2=.

15.已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,則(m-n)20|6=.

16.設x,y為實數，代數式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為.

17.若實數a,b滿足a+b2=l,則a?+b2的最小值是.

18.將x2+6x+4進行配方變形后，可得該多項式的最小值為—.

19.將一元二次方程X?-6x+5=0化成(x-a)2=b的形式，則ab=.

20.若代數式X?-6x+b可化為(x-a)2-3,則b-a=.

三、解答題

21.解方程:

(1)x2+4x-1=0.

(2)x2-2x=4.

22.“a^O”這個結論在數學中非常有用，有時我們需要將代數式配成完全平方式，例如：

x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,(x+2)2>0,(x+2)2+1>1,/.x2+4x+5>l.試利用

“配方法”解決下列問題：

(1)填空：因為X2-4X+6=(x)2+；所以當x=時，代數式x2-4x+6有最

(填“大”或“小”)值，這個最值為一.

(2)比較代數式x2-1與2x-3的大小.

23.閱讀材料：若m?-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.

解：Vm2-2mn+2n2-8n+16=0,(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(m-n)2+(n-4)2=0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,n=4,m=4.

根據你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知a2+6ab+10b2+2b+l=0,求a-b的值；

(2)已知AABC的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足2a2+b?-4a-6b+l1=0,^AABC

的周長；

(3)已知x+y=2,xy-z2-4z=5,求xyz的值.

24.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：

例題：求代數式y(tǒng)2+4y+8的最小值.

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4

,?(y+2)2>0

(y+2)2+4>4

.*.y2+4y+8的最小值是4.

(1)求代數式m2+m+4的最小值；

(2)求代數式4-x2+2x的最大值；

(3)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上建一個長方形花園ABCD,花

園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成.如圖，設AB=x(m),請問：當x取何

值時，花園的面積最大？最大面積是多少？

R

24.2解一元二次方程(2)

基礎導練

1.一元二次方程/一2x-l=0的根的情況為()

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根.

C.只有一個實數根D.沒有實數根

2.若關于X的一元二次方程/一2%+閉=0沒有實數根，則實數陽的取值范圍是()

A.m<\B.m>-1C.m>lD.m<-l

3.若關于x的一元二次方程一一3%+力=0有實數根，則實數小的取值范圍是

能力提升

4.如果關于X的方程，-2x—4=0沒有實數根，則k的取值范.圍為.

5.用公式法解下列方程.

(1)2x(x+4)=1；(2)(x-2)(3x-5)=l；(3)0.3y2+=0.8.

6.求證：關于x的方程為2+(24+1)%+4—1=0,有兩個不相等的實數根.

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答案

9

l.B2.C3.%4一4.左<一1

4

5.解：(1)將方程化為一般形式2,+8x-1=0，

a=2,b=8,c=—l,

???Z?2-4ac=82-4x2x(-l)=72>0,

.-8+V72-4+3V2

??x=-------=--------，

2x22

._T+3&_T-3&

.?演=一=$=「一.

(2.)將方程化為一般形式3x?-llx+9=0,

，a=3，6=-ILc=9,

A62-4ac=(-ll)2-4x3x9=13>0,

._-(-ll)±Vi3_11±V13

??x=----------=-------,

2x36

.11+V1311-V13

..玉=---，x2=——.

(3)將方程化為一般形式0.3j?+y—0.8=0,

a=0.3>b=l，c=—0.8.

???淋_4或=心_4x0.3x(-0.8)=1.96>0,

.-1+VL96-10+14

??y=-------=,

2x0.36

..2

??M=4J2=--

6.證明：：A=〃—4ac=(2Jt+l)2—4xlx?—1)=4左2+5>0恒成立,

...方程有兩個不相等的實數根.

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答案

一、1.A【解析】方程X2-4X-7=0,變形得：x2-4x=7,配方得：x2-4x+4=ll,即(x-2)

2=11,

故選A.

2.C【解析】x2+6x-3=x2+6x+9-12=(x+3)2-12,故選C.

3.A【解析】方程x?-4x+l=0,變形得：x2-4x=-1,配方得：x2-4x+4=-1+4,即(x-2)

2=3,

故選A.

4.C【解析】x2-2x=-g,x2-2x+l=-g+1,所以(x-1)2==.故選C.

222

5.A【解析】VM=-^a-1,N=a2-1a(a為任意實數)，；.N-M=a2-a+l=(a-《)2+g,

9924

.\N>M,即M<N.故選A.

6.B【解析】x2-10x+5=x2-10x+25-20=(x-5)2-20,當x=5時，代數式的最小值為-20,

故選B.

7.A【解析】x2+4x-5=0,x2+4x=5,x2+4x+22=5+22,(x+2)2=9,故選A.

8.A【解析】x2-6x-5=0,x2-6x=5,x2-6x+9=5+9,(x-3)2=14,故選A.

9.B【解析】x2+4x=3,x2+4x+4=7,(x+2)2=7.故選B.

10.D【解析】-X2+4X-5=-(X2-4X)-5=-(x-2)2-l.V-(x-2)2<0,

???-(x-2)2-l<0,故選D.

二、11.(x+2)2+1【解析】x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+l.

12.1【解析】已知等式變形得：x2-4x+5=x2-4x+4+l=(x-2)2+l=(x-2)2+m,

則m=l.

13?3【解析】?.,也7-12a+2a2力2(02-6a+9)+9，也(a-3)2+9^3,

代數式也7-⑵+2a2的最小值為3.

14.1；-I【解析】方程整理得：x2-2x=-

01o

配方得：X2-2x+l=-1,即(x-1)2=著，

15,1【解析】由(x+m)2=3,得：x2+2mx+m2-3=0,A2m=4,m2-3=n,；.m=2,n=l,

(m-n)2016=l.

16,3【解析】原式=(x2+2x+1)+(4x2-8xy+4y2)=4(x-y)2+(x+1)2+3,

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V4(x-y)2和(x+l)2的最小值是0,即原式=O+O+3=3,.??5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為3.

17.—【解析】■+1)2=1,/.b2=l-a,a2+b2=a2+1-a=(a--),...當@=!時，a2+b2

42442

有最小值g.

4

18.-5【解析】??,x2+6x+4=(x+3)2-5,?,?當x=-3時，多項式x?+6x+4取得最小值-5.

19.12【解析】X?-6x+5=0,x2-6x=-5,x2-6x+9=-5+9,(x-3)2=4,所以a=3,b=4,

ab=12.

20.3【解析】根據題意得：x2-6x+b=(x2-6x+9)+b-9=(x-3)2+b-9=(x-a)2-3,

可得a=3,b-9=-3,解得：a=3,b=6,則b-a=3.

三、21.解:(1)Vx2+4x-1=0,AX2+4X=1

/.x2+4x+4=l+4

(x+2)2=5

x=-2土加

?'?xi=-2+J^,X2=-2-

(2)配方x?-2x+1=4+1

(x-1)2=5

**?x—1

.*.xi=l+^/5，X2=l-V5-

22.解：(1)x2-4x+6=(x-2)2+2,

所以當x=2時，代數式x2-4x+6有最小值，這個最值為2,

故答案為：-2；2；2；小；2.

(2)x2-1-(2x-3)

=x2-2x+2；

=(x-1)2+1>0,

則x2-l>2x-3.

23.解：(1)Va2+6ab+10b2+2b+l=0,

???a24-6ab+9b2+b2+2b+l=0,

(a+3b)2+(b+1)2=0,

a+3b=0,b+l=0,

解得b=-1,a=3,

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則a-b=4；

(2)V2a2+b2-4a-6b+ll=0,

A2a2-4a++2+b2-6b+9=0,

：.2(a-1)2+(b-3)2=0,

貝lja-1=0,b-3=0,

解得，a=l,b=3,

由三角形三邊關系可知，三角形三邊分別為1、3、3,

「?△ABC的周長為1+3+3=7；

(2)Vx+y=2,

y=2-x,

則x(2-x)-z2-4z=5,

x2-2x+1+z2+4z+4=0,

(x-1)2+(z+2)2=0,

則x-1=0,z+2=0,

解得x=l,y=l,z=-2,

24.解：(1)m2+m+4=(m+—)2+^-,

24

(m+—)2>0,

2

..(m+—1)、~2+_——J5>——15，

24~4

則m2+m+4的最小值是號.

4

(2)4-x2+2x=-(x-1)2+5,

：-(x-1)2<0,

-(x-1)2+5<5,

則4-x2+2x的最大值為5.

(3)由題意，得花園的面積是x(20-2x)=-2x2+20x,

:-2x2+20x=-2(x-5)2+50=-2(x-5)2<0,

-2(x-5)450s50,

-2x2+20x的最大值是50,此時x=5,

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則當x=5m時，花園的面積最大，最大面積是50m2.

24.2解一元二次方程⑶

一、選擇題

I.如果/一%-1=&+1)°.那么工的值為()

A.2或一1B.0或1

C.2D.-1

2.方程f+x—12的解是()

A.X]=—2,念=6B.X]=—6,念=2

C.X[=-3,及=4D.x\=-4,及=3

3.現(xiàn)定義運算對于任意實數a,b,都有a^b—a2~3a+b,如：3^5=3?—3x3+5,若

'☆2=6,則實數x的值是()

A.-4或一1B.4或一1

C.4或一2D.-4或2

二、填空題

4.一元二次方程x(尤-6)=0的兩個實數根中較大的根是一.

5.方程X?—3x+2=0的根是.

6.方程壯一9、+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為—.

三、解答題

7.解方程：x2-10x+9=0.

8.用因式分解法解方程/—px-6=0,將左邊分解后有一個因式為x—3,求p的值.

9.閱讀下列因式分解的方法解方程.

一般地，(x+a)(x+%)=/+(a+b)x+ab,

...必+(。+匕)犬+出＞=(x+a)(x+b).這就是說，對于二次三項式x2-\-px+q,若能找到兩個數a,b,

ct~\~b='p,

使則就有x2+px+q^xi+(a+b)x+ab^(x+a)(x+b).

a-h=q,

這種因式分解方法的特征是“拆常數項，湊一次項"，即”，h的乘積等于常數項，a,h的和為一次

項系數.利用這種因式分解的方法解下列一元二次方程.

⑴/一3工-4=0；(2)x2+4x-5=0.

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答案

1.C解析：Vx2—x—