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24.2解一元二次方程(1)
一、選擇題
1.用配方法解方程X2-4x-7=0時(shí),原方程應(yīng)變形為()
A.(x-2)2=11B.(x+2)2=11C.(x-4)2=23
D.(x+4)2=23
2.將代數(shù)式x?+6x-3化為(x+p)2+q的形式,正確的是()
A.(x+3)2+6B.(x-3)2+6C.(x+3)2-12
D.(x-3)2-12
3.用配方法解方程x2-4x+l=0時(shí),配方后所得的方程是()
A.(x-2)2=3B.(x+2)2=3C.(x-2)2=1
D.(x-2)2=-1
4.用配方法解方程2x2-4x+1=0時(shí),配方后所得的方程為()
A.(x-2)2=3B.2(x-2)MC.2(x-1)2=1
D.2(x-1產(chǎn)總
5.已知M=-^-a-1,N=a2--^a(a為任意實(shí)數(shù)),則M、N的大小關(guān)系為()
A.M<NB.M=NC.M>N
D.不能確定
6.將代數(shù)式x2-10x+5配方后,發(fā)現(xiàn)它的最小值為()
A.-30B.-20C.-5
D.0
7.用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可變形為()
A.(x+2)2=9B.(x-2)2=9C.(x+2)2=1D.(x-
2)2=1
8.一元二次方程x2-6x-5=0配方可變形為()
A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14
D.(x+3)2=4
9.用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0時(shí),原方程可變形為()
A.(x+2)2=1B.(x+2)2=7C.(x+2)2=13
D.(x+2)2=19
10.對(duì)于代數(shù)式-x2+4x-5,通過(guò)配方能說(shuō)明它的值一定是()
A.非正數(shù)B.非負(fù)數(shù)C.正數(shù)
D.負(fù)數(shù)
二、填空題
11.將二次三項(xiàng)式x?+4x+5化成(x+p)2+q的形式應(yīng)為.
12.若X?-4x+5=(x-2)2+m,則m=.
13.若a為實(shí)數(shù),則代數(shù)式{27-]2a+2a2的最小值為一.
14.用配方法解方程3X2-6X+1=0,則方程可變形為(x-)2=.
15.已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,則(m-n)20|6=.
16.設(shè)x,y為實(shí)數(shù),代數(shù)式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為.
17.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b2=l,則a?+b2的最小值是.
18.將x2+6x+4進(jìn)行配方變形后,可得該多項(xiàng)式的最小值為—.
19.將一元二次方程X?-6x+5=0化成(x-a)2=b的形式,則ab=.
20.若代數(shù)式X?-6x+b可化為(x-a)2-3,則b-a=.
三、解答題
21.解方程:
(1)x2+4x-1=0.
(2)x2-2x=4.
22.“a^O”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用,有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式,例如:
x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,(x+2)2>0,(x+2)2+1>1,/.x2+4x+5>l.試?yán)?/p>
“配方法”解決下列問(wèn)題:
(1)填空:因?yàn)閄2-4X+6=(x)2+;所以當(dāng)x=時(shí),代數(shù)式x2-4x+6有最
(填“大”或“小”)值,這個(gè)最值為一.
(2)比較代數(shù)式x2-1與2x-3的大小.
23.閱讀材料:若m?-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.
解:Vm2-2mn+2n2-8n+16=0,(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0
(m-n)2+(n-4)2=0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,n=4,m=4.
根據(jù)你的觀察,探究下面的問(wèn)題:
(1)已知a2+6ab+10b2+2b+l=0,求a-b的值;
(2)已知AABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù),且滿足2a2+b?-4a-6b+l1=0,^AABC
的周長(zhǎng);
(3)已知x+y=2,xy-z2-4z=5,求xyz的值.
24.先閱讀理解下面的例題,再按要求解答下列問(wèn)題:
例題:求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4
,?(y+2)2>0
(y+2)2+4>4
.*.y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代數(shù)式m2+m+4的最小值;
(2)求代數(shù)式4-x2+2x的最大值;
(3)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)15m)的空地上建一個(gè)長(zhǎng)方形花園ABCD,花
園一邊靠墻,另三邊用總長(zhǎng)為20m的柵欄圍成.如圖,設(shè)AB=x(m),請(qǐng)問(wèn):當(dāng)x取何
值時(shí),花園的面積最大?最大面積是多少?
R
24.2解一元二次方程(2)
基礎(chǔ)導(dǎo)練
1.一元二次方程/一2x-l=0的根的情況為()
A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根
2.若關(guān)于X的一元二次方程/一2%+閉=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)陽(yáng)的取值范圍是()
A.m<\B.m>-1C.m>lD.m<-l
3.若關(guān)于x的一元二次方程一一3%+力=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是
能力提升
4.如果關(guān)于X的方程,-2x—4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則k的取值范.圍為.
5.用公式法解下列方程.
(1)2x(x+4)=1;(2)(x-2)(3x-5)=l;(3)0.3y2+=0.8.
6.求證:關(guān)于x的方程為2+(24+1)%+4—1=0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
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答案
9
l.B2.C3.%4一4.左<一1
4
5.解:(1)將方程化為一般形式2,+8x-1=0,
a=2,b=8,c=—l,
???Z?2-4ac=82-4x2x(-l)=72>0,
.-8+V72-4+3V2
??x=-------=--------,
2x22
._T+3&_T-3&
.?演=一=$=「一.
(2.)將方程化為一般形式3x?-llx+9=0,
,a=3,6=-ILc=9,
A62-4ac=(-ll)2-4x3x9=13>0,
._-(-ll)±Vi3_11±V13
??x=----------=-------,
2x36
.11+V1311-V13
..玉=---,x2=——.
(3)將方程化為一般形式0.3j?+y—0.8=0,
a=0.3>b=l,c=—0.8.
???淋_4或=心_4x0.3x(-0.8)=1.96>0,
.-1+VL96-10+14
??y=-------=,
2x0.36
..2
??M=4J2=--
6.證明::A=〃—4ac=(2Jt+l)2—4xlx?—1)=4左2+5>0恒成立,
...方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
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答案
一、1.A【解析】方程X2-4X-7=0,變形得:x2-4x=7,配方得:x2-4x+4=ll,即(x-2)
2=11,
故選A.
2.C【解析】x2+6x-3=x2+6x+9-12=(x+3)2-12,故選C.
3.A【解析】方程x?-4x+l=0,變形得:x2-4x=-1,配方得:x2-4x+4=-1+4,即(x-2)
2=3,
故選A.
4.C【解析】x2-2x=-g,x2-2x+l=-g+1,所以(x-1)2==.故選C.
222
5.A【解析】VM=-^a-1,N=a2-1a(a為任意實(shí)數(shù)),;.N-M=a2-a+l=(a-《)2+g,
9924
.\N>M,即M<N.故選A.
6.B【解析】x2-10x+5=x2-10x+25-20=(x-5)2-20,當(dāng)x=5時(shí),代數(shù)式的最小值為-20,
故選B.
7.A【解析】x2+4x-5=0,x2+4x=5,x2+4x+22=5+22,(x+2)2=9,故選A.
8.A【解析】x2-6x-5=0,x2-6x=5,x2-6x+9=5+9,(x-3)2=14,故選A.
9.B【解析】x2+4x=3,x2+4x+4=7,(x+2)2=7.故選B.
10.D【解析】-X2+4X-5=-(X2-4X)-5=-(x-2)2-l.V-(x-2)2<0,
???-(x-2)2-l<0,故選D.
二、11.(x+2)2+1【解析】x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+l.
12.1【解析】已知等式變形得:x2-4x+5=x2-4x+4+l=(x-2)2+l=(x-2)2+m,
則m=l.
13?3【解析】?.,也7-12a+2a2力2(02-6a+9)+9,也(a-3)2+9^3,
代數(shù)式也7-⑵+2a2的最小值為3.
14.1;-I【解析】方程整理得:x2-2x=-
01o
配方得:X2-2x+l=-1,即(x-1)2=著,
15,1【解析】由(x+m)2=3,得:x2+2mx+m2-3=0,A2m=4,m2-3=n,;.m=2,n=l,
(m-n)2016=l.
16,3【解析】原式=(x2+2x+1)+(4x2-8xy+4y2)=4(x-y)2+(x+1)2+3,
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V4(x-y)2和(x+l)2的最小值是0,即原式=O+O+3=3,.??5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為3.
17.—【解析】■+1)2=1,/.b2=l-a,a2+b2=a2+1-a=(a--),...當(dāng)@=!時(shí),a2+b2
42442
有最小值g.
4
18.-5【解析】??,x2+6x+4=(x+3)2-5,?,?當(dāng)x=-3時(shí),多項(xiàng)式x?+6x+4取得最小值-5.
19.12【解析】X?-6x+5=0,x2-6x=-5,x2-6x+9=-5+9,(x-3)2=4,所以a=3,b=4,
ab=12.
20.3【解析】根據(jù)題意得:x2-6x+b=(x2-6x+9)+b-9=(x-3)2+b-9=(x-a)2-3,
可得a=3,b-9=-3,解得:a=3,b=6,則b-a=3.
三、21.解:(1)Vx2+4x-1=0,AX2+4X=1
/.x2+4x+4=l+4
(x+2)2=5
x=-2土加
?'?xi=-2+J^,X2=-2-
(2)配方x?-2x+1=4+1
(x-1)2=5
**?x—1
.*.xi=l+^/5,X2=l-V5-
22.解:(1)x2-4x+6=(x-2)2+2,
所以當(dāng)x=2時(shí),代數(shù)式x2-4x+6有最小值,這個(gè)最值為2,
故答案為:-2;2;2;??;2.
(2)x2-1-(2x-3)
=x2-2x+2;
=(x-1)2+1>0,
則x2-l>2x-3.
23.解:(1)Va2+6ab+10b2+2b+l=0,
???a24-6ab+9b2+b2+2b+l=0,
(a+3b)2+(b+1)2=0,
a+3b=0,b+l=0,
解得b=-1,a=3,
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則a-b=4;
(2)V2a2+b2-4a-6b+ll=0,
A2a2-4a++2+b2-6b+9=0,
:.2(a-1)2+(b-3)2=0,
貝lja-1=0,b-3=0,
解得,a=l,b=3,
由三角形三邊關(guān)系可知,三角形三邊分別為1、3、3,
「?△ABC的周長(zhǎng)為1+3+3=7;
(2)Vx+y=2,
y=2-x,
則x(2-x)-z2-4z=5,
x2-2x+1+z2+4z+4=0,
(x-1)2+(z+2)2=0,
則x-1=0,z+2=0,
解得x=l,y=l,z=-2,
24.解:(1)m2+m+4=(m+—)2+^-,
24
(m+—)2>0,
2
..(m+—1)、~2+_——J5>——15,
24~4
則m2+m+4的最小值是號(hào).
4
(2)4-x2+2x=-(x-1)2+5,
:-(x-1)2<0,
-(x-1)2+5<5,
則4-x2+2x的最大值為5.
(3)由題意,得花園的面積是x(20-2x)=-2x2+20x,
:-2x2+20x=-2(x-5)2+50=-2(x-5)2<0,
-2(x-5)450s50,
-2x2+20x的最大值是50,此時(shí)x=5,
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則當(dāng)x=5m時(shí),花園的面積最大,最大面積是50m2.
24.2解一元二次方程⑶
一、選擇題
I.如果/一%-1=&+1)°.那么工的值為()
A.2或一1B.0或1
C.2D.-1
2.方程f+x—12的解是()
A.X]=—2,念=6B.X]=—6,念=2
C.X[=-3,及=4D.x\=-4,及=3
3.現(xiàn)定義運(yùn)算對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,都有a^b—a2~3a+b,如:3^5=3?—3x3+5,若
'☆2=6,則實(shí)數(shù)x的值是()
A.-4或一1B.4或一1
C.4或一2D.-4或2
二、填空題
4.一元二次方程x(尤-6)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較大的根是一.
5.方程X?—3x+2=0的根是.
6.方程壯一9、+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為—.
三、解答題
7.解方程:x2-10x+9=0.
8.用因式分解法解方程/—px-6=0,將左邊分解后有一個(gè)因式為x—3,求p的值.
9.閱讀下列因式分解的方法解方程.
一般地,(x+a)(x+%)=/+(a+b)x+ab,
...必+(。+匕)犬+出>=(x+a)(x+b).這就是說(shuō),對(duì)于二次三項(xiàng)式x2-\-px+q,若能找到兩個(gè)數(shù)a,b,
ct~\~b='p,
使則就有x2+px+q^xi+(a+b)x+ab^(x+a)(x+b).
a-h=q,
這種因式分解方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng),湊一次項(xiàng)",即”,h的乘積等于常數(shù)項(xiàng),a,h的和為一次
項(xiàng)系數(shù).利用這種因式分解的方法解下列一元二次方程.
⑴/一3工-4=0;(2)x2+4x-5=0.
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答案
1.C解析:Vx2—x—
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