高考人教數(shù)學(xué)（理）一輪課件第十章第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例1．相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：①正相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從______到______的區(qū)域內(nèi)；②負(fù)相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從______到______的區(qū)域內(nèi)．(2)線性相關(guān)關(guān)系：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在________附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做________．左下角

右上角

左上角

右下角

一條直線

回歸直線

距離的平方和

斜率

截距

正相關(guān)

負(fù)相關(guān)

③r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性____；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為：越強(qiáng)

y1y2合計(jì)x1ab______x2cdc＋d合計(jì)a＋c______a＋b＋c＋da＋b

b＋d

1．兩種關(guān)系——函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系(1)區(qū)別：①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．(2)聯(lián)系：對(duì)線性相關(guān)關(guān)系求回歸方程后，可以通過(guò)確定的函數(shù)關(guān)系對(duì)兩個(gè)變量間的取值進(jìn)行估計(jì)．3．回歸分析的意義回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．在線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化，在統(tǒng)計(jì)中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量K2來(lái)確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)研究表明：當(dāng)K2≤2.706時(shí)，認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)顯示X與Y有關(guān)系；當(dāng)K2＞3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)X與Y有關(guān)；當(dāng)K2＞6.635時(shí)，有99%的把握說(shuō)X與Y有關(guān)；當(dāng)K2＞10.828時(shí)，有99.9%的把握說(shuō)X與Y有關(guān)．1．(基礎(chǔ)知識(shí)：回歸分析的相關(guān)指數(shù))兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

)A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25AC3．(基礎(chǔ)知識(shí)：獨(dú)立性檢驗(yàn))為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：答案：5%

答案：68

答案：④

類(lèi)型1相關(guān)關(guān)系的判斷[例1]

(1)(2021·云南昆明診斷)某商家今年上半年各月的人均銷(xiāo)售額(單位：千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：月份123456人均銷(xiāo)售額658347利潤(rùn)率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A．利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C．利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額成正比例函數(shù)關(guān)系D．利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額成反比例函數(shù)關(guān)系解析：利潤(rùn)率隨人均銷(xiāo)售額增大而增大是相關(guān)關(guān)系，而不是函數(shù)關(guān)系．答案：A(2)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(

)A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3解析：易知題中圖①與圖③是正相關(guān)，圖②與圖④是負(fù)相關(guān)，且圖①與圖②中的樣本點(diǎn)集中分布在一條直線附近，則r2<r4<0<r3<r1.答案：A(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由．(3)分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．類(lèi)型3非線性回歸分析[例3]為方便市民出行，倡導(dǎo)低碳出行．某市公交公司推出利用支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，在推廣期內(nèi)采用隨機(jī)優(yōu)惠鼓勵(lì)市民掃碼支付乘車(chē)．該公司某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)推廣期第一周內(nèi)使用掃碼支付的情況，其中x(單位：天)表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y(單位：十人次)表示當(dāng)天使用掃碼支付的人次，整理后得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)表1和散點(diǎn)圖．方法總結(jié)1．利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡(jiǎn)便的方法：(1)在散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．(2)如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．D

解析：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；

SO2PM2.5

[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？

SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75](75，115](2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：

SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010方法總結(jié)

1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類(lèi)似于反證法，要確認(rèn)“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立．即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立．在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很?。绻捎^測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值k很大，則在一定程度上說(shuō)明不合理．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表．(2)計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，查表確定臨界值k0.(3)如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P(K2≥k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]某次模擬考試中，某校共有100名學(xué)生參加考試，其中語(yǔ)文考試成績(jī)低于130分的占95%，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示：(1)如果成績(jī)不低于130分的為特別優(yōu)秀，這100名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約各多少人？(2)如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人．①?gòu)?1)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這兩人兩科成績(jī)都特別優(yōu)秀的概率；②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀．語(yǔ)文特別優(yōu)秀語(yǔ)文不特別優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀合計(jì)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)該校共有100名學(xué)生參加考試，其中語(yǔ)文考試成績(jī)低于130分的占95%，語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為P1＝1－0.95＝0.05，語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的同學(xué)有100×0.05＝5(人)；數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的頻率為P2＝0.002×20＝0.04，數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的同學(xué)有100×0.04＝4(人).1．(2020·高考全國(guó)卷Ⅰ)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類(lèi)型的是(

)A．y＝a＋bx

B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx解析：由散點(diǎn)圖可以看出，點(diǎn)大致分布在對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象附近．D2．(2020·高考全國(guó)卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？解析：(1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率的估計(jì)值如下表：空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09（1）現(xiàn)對(duì)該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車(chē)與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有85%