小學(xué)奧數(shù) 方程組解法綜合

u—尊學(xué)目附

i.學(xué)會(huì)用帶入消元和加減消元法解方程組

2.熟練掌握解方程組的方法并用到以后做題

知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明:

方程的歷史

同學(xué)們，你們知道古代的方程到底是什么樣子的嗎？公元263年，數(shù)學(xué)家劉徽所著《九章算術(shù)》-

書里有一個(gè)例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，

實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”劉徽列出

的“方程”如圖所示。

左行中行書右行

上禾II

中禾HIII

下禾-

三1

實(shí)三1111三HIT

(3)(2)ci)

方程的英語(yǔ)是equation,就是“等式”的意思。清朝初年，中國(guó)的數(shù)學(xué)家把equation譯成“相等式”，到

清朝咸豐九年才譯成“方程”。從這時(shí)候起，“方程”這個(gè)詞就表示“含有未知數(shù)的等式”，而劉徽所說(shuō)的“方程”

就叫做“方程組''了。

二、學(xué)習(xí)方程的目的

使用方程有助于解決數(shù)學(xué)難題，作為代數(shù)學(xué)最基本內(nèi)容，方程的學(xué)習(xí)和使用不但能為未來(lái)初中階段數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，同時(shí)能夠?qū)⒊橄蠼虒W(xué)直觀表達(dá)出來(lái)，能夠幫助學(xué)生更好的理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

三'解二元一次方程組的一般方法

解二元一次方程的關(guān)鍵的步驟：是消元，即將二元一次方程或多元一次方程化為一元一次方程。

消元方法：代人消元法和加減消元法

代入消元法：

1.取一個(gè)方程，將它寫成用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，記作方程①；

2.將①代入另一個(gè)方程，得一元一次方程；

3.解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

4.將這個(gè)未知數(shù)的值代入①，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解.

加減消元法：

1.變形、調(diào)整兩條方程，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等（類似于通分）;

2.將兩條方程相加或相減消元；

3.解一元一次方程；

4.代入法求另一未知數(shù).

加減消元實(shí)際上就是將帶系數(shù)的方程整體代入.

削瞰例題精講

模塊一、二元一次方程組

【例1】解方程（乂）,為正整數(shù)）

[x-y=l

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】2星【題型】解答

【解析】（x+y）+（x-y）=5T

2元=6

x=3

卜=3

（y=2

方法二：解代人消元法，由x+y=5得到x=5-y,代入方程x-y=1中，得到（5-y）—y=1,整理得y=2,

fx=3

所以x=3,所以方程的解為J

[y=2

【答案】[X=3

1y=2

【例2】解方程（",n為正整數(shù)）

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】2星【題型】解答

【解析】方法一：加減消元法

化u的系數(shù)相同，加減消元法計(jì)算得2（9"+2VO—（3〃+4P）=2X20—10

去括號(hào)和并同類項(xiàng)得18〃—3〃=20

15〃=30

u=2

u=2

v=1

方法二：代入消元法由9w+2v=20得到v=l0-4/,代入方程3"+41，=10中得到

“、[w=2

3〃+4104/)5=,整理得〃=2,v=l,所以方程解為｛,

[V=1

u=2

【答案】

v=1

|jt-5y=0

【例3】解方程組'.我（為丁為正整數(shù)）

[3x+2y=17

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】2星【題型】解答

【解析】加減消元，若想消掉y,應(yīng)將y的系數(shù)統(tǒng)一，因?yàn)閇2,5]=10,所以第一個(gè)方程應(yīng)該擴(kuò)大2倍，第

二個(gè)式子應(yīng)該擴(kuò)大5倍，又因?yàn)閥的系數(shù)符號(hào)不同，所以應(yīng)該用加消元，計(jì)算結(jié)果如下：

2（x-5y）+5（3r+2y）=2xN5<1,17x=85得x=5,所以5-5y=0,解得y=l。

x=5

【答案】

j=l

|3x-y=7

【例4】解方程組＜°c(X，)’為正整數(shù))

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】2星【題型】解答

【解析】將第一個(gè)式子擴(kuò)大2倍和二式相減得2(3x-y)+(5尤+2y)=2x5+12,去括號(hào)整理1￡=22解得

["x=2

x=2,所以方程的解為，

[y=l

[例5]解方程組]一(%)，為正整數(shù))

[O.lx+0.06y=0.085x800

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】3星【題型】解答

【解析】對(duì)第一個(gè)方程去括號(hào)整理，根據(jù)等式的性質(zhì)將第二個(gè)式子擴(kuò)倍變成正式進(jìn)行整理得：

f2x-15y=550

Io'oc"八八，若想消掉)'，將方程二擴(kuò)大3倍，又因?yàn)檠镜南禂?shù)符號(hào)不同，所以應(yīng)該用加

[5x+3y=8.5x400

消元，計(jì)算結(jié)果如下:(2x-15y)+5(5x+3y)=550+5x8.5x400,去括號(hào)整理得27元=1755(),解

|x=650

得尤=650,所以方程的解為《”

[y=50

(_6504x+3y—2=0

=

【例6】【答案】f八解下面關(guān)于x、y的二元一次方程組：4

[y=50y-1=--x

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】3星【題型】解答

f4r+3v-2=0

【解析】整理這個(gè)方程組里的兩個(gè)方程，可以得到：\?可以看出，兩個(gè)方程是不可能同時(shí)

[4x+3y-3=0

成立的，所以這是題目本身的問(wèn)題，無(wú)解

【答案】無(wú)解

x—4y—1

【例7】解方程組■(x,y為正整數(shù))

--------=2

x-4y-1

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】3星【題型】解答

【解析】本題需要同學(xué)能夠利用整體思想進(jìn)行解題，將1-4與y-l看出相應(yīng)的未知數(shù)，因?yàn)槊恳豁?xiàng)的分

母不同，所以先將分母系數(shù)化成同樣的，所以第二個(gè)式子等號(hào)兩邊同時(shí)乘以2整理得：

349291

(T+----:)+2(-----^)=3+2x:去括號(hào)整理后得到----=7,根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)計(jì)算得

x-4y—\x—4y-1x-4

x=7

x=7,所以方程的解為：

j=3

模塊二、多元一次方程

3x-4z=7

【例8】解方程組2x+3y-z=9(%y,z為正整數(shù))

5x-9y-7z=8

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】3星【題型】解答

【解析】觀察x,y,z的系數(shù)發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)式子與第三個(gè)式子中y的系數(shù)是3倍關(guān)系，所以將第二個(gè)式子擴(kuò)

大3倍與第三個(gè)式子相減得到：3(2x+3y-z)+(5x-9y-7z)=3x9+8,去括號(hào)整理得

I3X-4Z=7

llx-10z=35,與第一個(gè)式子整理得，，⑺”，若想消掉z,,因?yàn)閇4,10]=20,所以第一

[llx-10z=35

個(gè)方程應(yīng)該擴(kuò)大5倍，第二個(gè)式子應(yīng)該擴(kuò)大2倍，又因?yàn)閦的系數(shù)符號(hào)相同，所以應(yīng)該用減消元，

計(jì)算結(jié)果如下：2(llx-10z)-5(3x-4z)=2x35-5x7,去括號(hào)整理得7x=35,x=5,所以方程

x=5

解為＜y=7

z=2

2x+y+z=7

【鞏固】解方程組x+2y+z=8(%,)"為正整數(shù))

x+y+2z=9

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】3星【題型】解答

【解析】將一式與二式相減得(x+2y+z)-(2x+y+z)=8-7去括號(hào)整理后得＞一1=1；將二式擴(kuò)大2倍與

三式相減得2(x+2y+z)-(x+y+2z)=2x8-9,去括號(hào)整理后得3y+x=7；最后將兩式相加計(jì)

x=1

算結(jié)果如下：(y-x)+(3)+x)=l+7,整理得4y=8,y=4所以方程的解為：，y=2

z=3

x-y+z=1

y-z+u=2

[例9]解方程組z-〃+v=5（為正整數(shù)）

u-v+x=2

v-x+y=7

【考點(diǎn)】二元一次方程組【難度】3星【題型】解答

【解析】將5個(gè)式子相加得x+y+z+〃+u=17,將1式與2式相加得x+〃=3,將2式與3式相加得

x+〃=3x=0

y+v=7y=6

y+u=7,同理連續(xù)相加得到，z+x=7,整理后解為，z=7

〃+>=9w=3

v+z=8v=1

【答案】

船簿目假

1.學(xué)會(huì)用帶入消元和加減消元法解方程組

2.熟練掌握解方程組的方法并用到以后做題

知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明:

四、方程的歷史

同學(xué)們，你們知道古代的方程到底是什么樣子的嗎？公元263年，數(shù)學(xué)家劉徽所著《九章算術(shù)》一

書里有一個(gè)例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，

實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”劉徽列出

的“方程”如圖所示。

左行中行右行

上禾

中禾

下禾

實(shí)

(3)(2)(1)

方程的英語(yǔ)是equation,就是“等式”的意思。清朝初年，中國(guó)的數(shù)學(xué)家把equation譯成“相等式”，到

清朝成豐九年才譯成“方程從這時(shí)候起，“方程”這個(gè)詞就表示“含有未知數(shù)的等式”，而劉徽所說(shuō)的“方程”

就叫做“方程組”了。

五、學(xué)習(xí)方程的目的

使用方程有助于解決數(shù)學(xué)難題，作為代數(shù)學(xué)最基本內(nèi)容，方程的學(xué)習(xí)和使用不但能為未來(lái)初中階段數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，同時(shí)能夠?qū)⒊橄髷?shù)學(xué)直觀表達(dá)出來(lái)，能夠幫助學(xué)生更好的理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

六'解二元一次方程組的一般方法

解二元一次方程的關(guān)鍵的步驟：是消元，即將二元一次方程或多元一次方程化為一元一次方程。

消元方法：代人消元法和加減消元法

代入消元法：

1.取一個(gè)方程，將它寫成用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，記作方程①；

2.將①代入另一個(gè)方程，得一元一次方程；

3.解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

4.將這個(gè)未知數(shù)的值代人①，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解.

加減消元法：

1.變形、調(diào)整兩條方程，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等（類似于通分）；

2.將兩條方程相加或相減消元；

3.解一元一次方程；

4.代入法求另一未知數(shù).

加減消元實(shí)際上就是將帶系數(shù)的方程整體代入.

模塊一、二元一次方程組

%+-V=5(x,y為正整數(shù))

【例10】解方程

x-y=[

【例⑴解方程先;u3為正整數(shù)）

x-5y=0

【例12】解方程組（x，y為正整數(shù)）