【數(shù)學(xué)】函數(shù)的極值與最大（小）值第2課時課件-2023-2024學(xué)年高二上人教A版2019選擇性必修第二冊

5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2.2函數(shù)的最大(小)值1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系；2.會求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值；3.能利用函數(shù)的最大（?。┲底C明不等式.回顧：求函數(shù)極值的一般方法是什么？解方程f′(x)=0，當(dāng)f′(x0)=0時：（1）如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；（2）如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值.知識點1：函數(shù)的最值概念講解函數(shù)的最大(小)值通過類比極值的概念可得，如果

x0是某個區(qū)間上函數(shù)y=f(x)

的最大(小)值點，那么f(x0)不小(大)于函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間上的所有函數(shù)值.問題1：函數(shù)y=f(x)，x∈[a，b]的圖象如圖所示.通過觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)：f(x1)，f(x3)，f(x5)是函數(shù)y=f(x)的極小值，f(x2)，f(x4)，f(x5)是函數(shù)y=f(x)的極大值.請找出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小值、最大值？從圖可以看出，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(a).思考：通過上述結(jié)論，說說函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別？Oabxyx1y=f(x)x2x3x4x5x6歸納小結(jié)函數(shù)y=f(x)的極值與最值的區(qū)別：（1）極值是通過比較極值點附近的函數(shù)值得出，最值是通過比較整個定義域（區(qū)間）內(nèi)的函數(shù)值得出；（2）極值可以有很多個，但函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個.問題2：在下圖中，觀察[a，b]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在[a，b]上有最小值，最大值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？Oabxyx1y=g(x)x2x3x4x5Oabxyy=f

(x)最小值是f(a)最大值是f(b)最大值是g(x3)最小值是g(x4)小結(jié)：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

典例剖析O3xy

412由圖可以看出，只要把函數(shù)y=f(x)的所有極值連同端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值.歸納小結(jié)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟如下：（1）求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

(a，b)上的極值；（2）將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.思考：求最值時，為什么給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間？練一練1.求函數(shù)f(x)=6x2–12x–2在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值.解：令f′(x)=12x–12=0，解得x=1，又在[0，2]上，當(dāng)x=1，f(x)有極小值，且極小值為f(1)=–8；由于f(0)=–2，f(2)=–2，

函數(shù)f(x)=6x2–12x–2在區(qū)間[0，2]的最大值為–2，最小值為–8.

知識點2：利用函數(shù)的最值證明不等式

x(0，1)1(1，+∞)s′(x)–0+s(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增所以，當(dāng)x=1時，s(x)取得最小值，s(x)≥s(1)=0，

歸納小結(jié)已知x∈(a，b)，證明不等式u(x)≥v(x)的一般步驟：（1）移項，構(gòu)造函數(shù)f(x)=u(x)

–

v(x)，將不等式轉(zhuǎn)化為證明f(x)≥0；（2）求出

f′(x)；（3）求出f(x)的最小值，只要最小值大于或等于0，即證明不等式成立.練一練2.證明不等式：x–1≥lnx，x∈(0，+∞).

x(0，1)1(1，+∞)f′(x)–0+f(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增所以，當(dāng)x=1時，f(x)取得最小值，f(x)≥f(1)=0，即x–1–lnx

≥