小升初奧數(shù)思維訓(xùn)練第20講：排列組合（拓展訓(xùn)練）（含答案解析）

第20講排列組合

1.如下圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3

條路可走.那么，從甲地到丙地共有多少種走法？

【答案】11種

【解析】

【分析】分析題意，從甲地到丙地，先看是用加法原理還是乘法原理，判斷好方法，然后簡(jiǎn)

單計(jì)算就可以了。從甲地到丙地共有兩大類(lèi)不同的走法，用加法原理。

第一類(lèi)，由甲地途經(jīng)乙地到丙地，這時(shí)，要分兩步走，第一步從甲地到乙地，有4種走

法；第二步從乙地到丙地共2種走法，所以要用乘法原理，這時(shí)共有4X2種不同的走法。

第二類(lèi)，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法。

由加法原理知，由甲地到丙地共有：4X2+3=11（種）不同的走法。

【詳解】4X2+3

=8+3

=11（種）

答：從甲地到丙地有11種不同的走法。

【點(diǎn)睛】考察了加法原理和乘法原理的實(shí)際應(yīng)用。

2.一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相

同.問(wèn)：①?gòu)膬蓚€(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

②從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

【答案】①11種②24種

【解析】

【分析】先弄清楚用加法原理還是乘法原理，先看有幾大類(lèi)，再看分幾步.本題應(yīng)注意加法

原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干個(gè)步驟，一

步接一步地去做才能完成這件事；加法原理中，做完一件事可以有幾類(lèi)方法，每一類(lèi)方法中

的一種做法都可以完成這件事.往往有許多事情是有幾大類(lèi)方法來(lái)做的，而每一類(lèi)方法又要

由幾步來(lái)完成，這就要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個(gè)原理.

①?gòu)膬蓚€(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，則這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋中取，要么從第二個(gè)口袋

中取，共有兩大類(lèi)方法.所以是加法原理的問(wèn)題.

②要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，則可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再?gòu)牡诙€(gè)口袋中

取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問(wèn)題.

【詳解】①?gòu)膬蓚€(gè)口袋中任取一個(gè)小球共有3+8=11（種），不同的取法.

②從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球共有3X8=24（種）不同的取法.

答：從兩個(gè)口袋任取一球有11種不同的取法，從兩個(gè)口袋各取一球有24種不同的取法.

3.下圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列

只能出現(xiàn)一個(gè)棋子。問(wèn)：共有多少種不同的放法？

【答案】576種

【解析】

【分析】由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi)。故可看成是分四步完成這件事。要用乘法

原理。

第一步放棋子A,A可以放在16個(gè)方格中的任意一個(gè)中，故有16種不同的放法；第二步

放棋子B,由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放B,故還剩

下9個(gè)方格可以放B,B有9種放法；第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格，還剩

下四個(gè)方格可以放C,C有4種放法；最后一步放D,再去掉C所在的行和列的方格，只

剩下一個(gè)方格可以放D,D有1種放法，本題要由乘法原理解決。

【詳解】16X9X4X1=576（種）

答：共有576種不同的方法。

【點(diǎn)睛】熟練掌握乘法原理是解決本題的關(guān)鍵。

4.如下圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方.問(wèn)有多少

種不同的走法？

【答案】22種

【解析】

【分析】注意到，從A到B要一直向右、向上，那么，經(jīng)過(guò)右圖中C、D、E、F四點(diǎn)中的某

一點(diǎn)的路線一定不再經(jīng)過(guò)其他的點(diǎn).也就是說(shuō)從A到B點(diǎn)的路線共分為四類(lèi)，它們是分別經(jīng)

過(guò)C、D、E、F的路線.

第一類(lèi)，經(jīng)過(guò)C的路線，分為兩步，從A到C再?gòu)腃到B,從A到C有2條路可走，從C

到B也有兩條路可走，由乘法原理，從A經(jīng)C到B共有2X2=4條不同的路線.

第二類(lèi)，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的路線，分為兩步，從A到D有4條路，從D到B有4條路，由乘法原

理，從A經(jīng)D到B共有4X4=16種不同的走法.

第三類(lèi)，經(jīng)過(guò)E點(diǎn)的路線，分為兩步，從A到E再?gòu)腅到B,觀察發(fā)現(xiàn).各有一條路.所

以，從A經(jīng)E到B共有1種走法.

第四類(lèi)，經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的路線，從A經(jīng)F到B只有一種走法.最后由加法原理即可求解.

【詳解】如圖,

從A經(jīng)C至B共有2X2=4種走法;

從A經(jīng)D到B共有4X4=16種走法；

從A經(jīng)E到B共有1種走法；

從A經(jīng)F到B共有1種走法.

所以，從A到B共有：4+16+1+1=22種不同的走法.

答：有22種不同的走法.

5.某班要在42名同學(xué)中選出3名同學(xué)去參加夏令營(yíng)，問(wèn)共有多少種選法？如果在42人中

選3人站成一排，有多少種站法？

【答案】11480種；68880種

【解析】

【分析】首先根據(jù)不同情況分，看清楚是用排列還是組合，然后再根據(jù)排列組合公式進(jìn)行求

解。要在42人中選3人去參加夏令營(yíng)，那么，所有的選法只與選出的同學(xué)有關(guān)，而與三名

同學(xué)被選出的順序無(wú)關(guān)?所以，共有C：?種不同的選法。要在42人中選出3人站成一排，那

么，所有的站法不僅與選出的同學(xué)有關(guān)，而且與三名同學(xué)被選出的順序有關(guān)。所以，共有耳

種不同的站法。

P342x41x40

【詳解】由組合數(shù)公式，共有。；2=需==丁?=11480種不同選法。

鳥(niǎo)3x2x1

由排列數(shù)公式，共有成=42X41X40=68880種不同的站法。

答：有11480種不同的選法，有68880種不同的站法。

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是根據(jù)不同的情況確定是進(jìn)行排列還是組合，選出正確的情況。

6.從8人的數(shù)學(xué)興趣小組中選2人

(1)分別擔(dān)任正副組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

(2)一起參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法?

【答案】56種28種

【解析】

【分析】注意分清排列問(wèn)題和組合問(wèn)題.（1）選出正副組長(zhǎng)，有正副之分，也就是從8人中

選2人后，要進(jìn)一步確認(rèn)正副組長(zhǎng)，因此是個(gè)排列問(wèn)題；（2）選人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽沒(méi)有順序,

因此是個(gè)組合問(wèn)題.

【詳解】（1）利用排列公式，共有&=8X7=56種選法；

（2）利用組合公式，共有—=28種選法.

2x1

答：分別擔(dān)任正副組長(zhǎng)，有56種不同的選法；一起參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有28種不同的選

法.

7.在一個(gè)圓周上有10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫(huà)出多少不同的（1）直線段

（2）三角形（3）四邊形？

【答案】線段：45條三角形：120個(gè)四邊形：210個(gè)

【解析】

【分析】首先觀察是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，那就要看你取的點(diǎn)是否與順序有關(guān)？

很明顯，你要畫(huà)的三個(gè)圖形都與取出點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，所以三個(gè)問(wèn)題都應(yīng)該是組合問(wèn)題。由

于10個(gè)點(diǎn)都在圓周上，因此任意三點(diǎn)都不共線，故只要在10個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，就可畫(huà)出

一條線段；在10個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，就可畫(huà)出一個(gè)三角形；在10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)就可

畫(huà)出一個(gè)四邊形。

inQ

【詳解】（1）Gj=」=x=45,可畫(huà)出45條線段；

2x1

10x9x8

（2）4=--------=120,可畫(huà)120個(gè)三角形；

3x2x1

（3）=10x9x8x7=210,畫(huà)210個(gè)四邊形。

4x3x2xl

答：可以畫(huà)出45條線段，120個(gè)三角形，210個(gè)四邊形

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是在掌握線段、三角形、四邊形的特征的基礎(chǔ)上，合理的運(yùn)用排列組

合，選出合適的情況。

8.七個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人必須排在一起，有多少種不同的排法?

【答案】720種

【解析】

【分析】首先看是排列還是組合？這道題明顯是排列問(wèn)題，然后你再看所要排列的各個(gè)元素

之間的關(guān)系，利用排列公式就可以了.

甲乙丙三人必須排在一起，可以用分類(lèi)的方法，考慮三人在七個(gè)位置中的不同情況，如：

甲乙丙

此時(shí)甲乙丙占了頭三個(gè)位置，然后再排其他四個(gè)人，最后再考慮甲乙丙三人的順序，這種

方法比較復(fù)雜，我們可以換一種方法來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題，由于甲乙丙要排在一起，因此我們

可以先將這三個(gè)人看作一個(gè)元素，將這個(gè)元素與其他四個(gè)元素進(jìn)行排序，最后將這三個(gè)元

素排序，用這種方法大大簡(jiǎn)化了思維過(guò)程.

第一步：甲、乙、丙看作一個(gè)元素與其他四個(gè)元素排列，即五個(gè)元素進(jìn)行排序：耳；第二

步：甲乙丙三個(gè)元素排序：P：.

【詳解】代義G=5X4X3X2X1X3X2X1=72O

答，有720種不同的排法.

9.(1)把八本書(shū)排在上下兩格書(shū)架上，每格四本，有多少種不同的排法？

(2)把八本書(shū)放在書(shū)架上，上格一本，中格三本，下格四本，有多少種排法？

【答案】(1)40320種(2)40320種

【解析】

【分析】書(shū)放在上層和下層是否相同？弄清楚是排列還是組合.很明顯，書(shū)放在上層和下層

不相同，應(yīng)該用乘法原理，但每層書(shū)的擺放要用排列原理，(1)八本書(shū)中先選四本排在第一

格，有種排法，再將剩下4本書(shū)排在第二格，有白種排法；

(2)八本書(shū)選一本放在上格有片種排法，再?gòu)氖Ｏ碌?本中選三本放中格，有?種排

法，最后四本書(shū)放下格，有4種方法.

【詳解】(1)不同的排法數(shù)是4XG4=8X7X6X5X4X3X2Xl=40320種；

(2)不同的排法是用義0X片=8X7X6X5X4X3X2X1=40320種.

答：把八本書(shū)排在上下兩格書(shū)架上，每格四本，有40320種不同的排法；

把八本書(shū)放在書(shū)架上，上格一本，中格三本，下格四本，有40320種不同的排法.

10.學(xué)校乒乓球隊(duì)有10名男生，8名女生，現(xiàn)要選8人參加區(qū)里比賽，在下列的條件下，

分別有多少種排法？

(1)恰有3名女生入選；

(2)至少有2名女生入選；

(3)最多有3名女生入選；

(4)某2名女生，某2名男生必須入選.

【答案】(1)14112種(2)42753種(3)20997種(4)1001種

【解析】

【分析】此題是個(gè)典型的組合問(wèn)題，元素之間沒(méi)有順序，第⑵、⑶小題中涉及至少至多的問(wèn)

題，一般可分類(lèi)來(lái)解決，而至少有2名女生入選的情況有：2名，3名，4名，5名……8名

女生入選，情況較多，因此考慮從全部選法中除去沒(méi)有女生的選法和恰有1名女生的選法,

這種方法稱(chēng)為間接法.

深度提示：(1)先選3名女生：C；,再?gòu)?0名男生中選5人：C1；

(2)從全部選法中除去沒(méi)有女生的選法和恰有1名女生的選法.

全部選法數(shù)

恰有1名女生入選