彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義課件

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義1.

概述定義：彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁。如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁，等等。通過(guò)這種梁，將作用在它上面的荷載，分布到較大面積的地基上，既使承載能力較低的地基，能承受較大的荷載，又能使梁的變形減小，提高剛度降低內(nèi)力。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是平放的，也可以是豎放的，地基介質(zhì)可以是巖石、粘土等固體材料，也可以是水、油之類的液體介質(zhì)。彈性地基梁是超靜定梁，其計(jì)算有專門的一套計(jì)算理論。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義1.

荷載種類和組合彈性地基梁與普通梁的區(qū)別：彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義2.

彈性地基梁的計(jì)算模型計(jì)算模型分類：.由于地基梁擱置在地基上，梁上作用有荷載，地基梁在荷載作用下與地基一起產(chǎn)生沉陷，因而梁底與地基表面存在相互作用反力

，

的大小與地基沉降y有密切關(guān)系，很顯然，沉降越大，反力

也越大，因此在彈性地基梁的計(jì)算理論中關(guān)鍵問(wèn)題是如何確定地基反力與地基沉降之間的關(guān)系，或者說(shuō)如何選取彈性地基的計(jì)算模型問(wèn)題。局部彈性地基模型2.半無(wú)限體彈性地基模型

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義局部彈性地基模型1867年前后，溫克爾（E.Winkler）對(duì)地基提出如下假設(shè)：地基表面任一點(diǎn)的沉降與該點(diǎn)單位面積上所受的壓力成正比。即

式中,y為地基的沉陷，m；k為地基系數(shù)，，其物理意義為：使地基產(chǎn)生單位沉陷所需的壓強(qiáng)；p為單位面積上的壓力強(qiáng)度，。這個(gè)假設(shè)實(shí)際上是把地基模擬為剛性支座上一系列獨(dú)立的彈簧。當(dāng)?shù)鼗砻嫔夏骋稽c(diǎn)受壓力p時(shí)，由于彈簧是彼此獨(dú)立的，故只在該點(diǎn)局部產(chǎn)生沉陷y，而在其他地方不產(chǎn)生任何沉陷。因此，這種地基模型稱作局部彈性地基模型。

（3.1）

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義優(yōu)點(diǎn)：可以考慮梁本身的實(shí)際彈性變形，消除了反力直線分布假設(shè)中的缺點(diǎn)。局部彈性地基模型缺點(diǎn)：沒(méi)有反映地基的變形連續(xù)性，當(dāng)?shù)鼗砻嬖谀骋稽c(diǎn)承受壓力時(shí)，實(shí)際上不僅在該點(diǎn)局部產(chǎn)生沉陷，而且也在鄰近區(qū)域產(chǎn)生沉陷。由于沒(méi)有考慮地基的連續(xù)性，故溫克爾假設(shè)不能全面地反映地基梁的實(shí)際情況，特別對(duì)于密實(shí)厚土層地基和整體巖石地基，將會(huì)引起較大的誤差。但是，如果地基的上部為較薄的土層，下部為堅(jiān)硬巖石，則地基情況與圖中的彈簧模型比較相近，這時(shí)將得出比較滿意的結(jié)果。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義2.半無(wú)限體彈性地基模型

優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：本章所討論的彈性地基梁計(jì)算理論采用局部彈性地基模型。

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義3.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解基本假設(shè)：彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義1.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式左圖所示為局部彈性地基梁上的長(zhǎng)為l、寬度b為單位寬度1的等截面直梁，在荷載及Q作用下，梁和地基的沉陷為，梁與地基之間的反力為。在局部彈性地基梁的計(jì)算中，通常以沉陷函數(shù)作為基本未知量，地基梁在外荷載、Q作用下產(chǎn)生變形，最終處于平衡狀態(tài)，選取坐標(biāo)系xoy，外荷載，地基反力，梁截面內(nèi)力及變形正負(fù)號(hào)規(guī)定如右圖所示。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義1.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式為建立應(yīng)滿足的撓曲微分方程，在梁中截取一微段，考察該段的平衡有：得：

得：化簡(jiǎn)得：

將上式對(duì)于x求導(dǎo)得：略去二階微量得：（3.2）

（3.3）

（3.4）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義如果梁的撓度已知，則梁任意截面的轉(zhuǎn)角Q，彎矩M，剪力Q可按材料力學(xué)中的公式來(lái)計(jì)算，即:1.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式此即為彈性地基梁的撓曲微分方程式彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義令，若地基梁寬度為b，則有2.對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解上面推導(dǎo)得彈性地基梁的撓曲微分方程式是一個(gè)四階常系數(shù)線性非齊次微分方程，令式中，即得對(duì)應(yīng)齊次微分方程：由微分方程理論知，上述方程的通解由四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解組合而成。為尋找四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，令并代入上式有：或由復(fù)數(shù)開方根公式得：是與梁和地基的彈性性質(zhì)相關(guān)的一個(gè)綜合參數(shù)，反映了地基梁與地基的相對(duì)剛度，對(duì)地基梁的受力特性和變形有重要影響，通常把稱為特征系數(shù)，稱為換算長(zhǎng)度。（3.7）（3.8）（3.9）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義2.對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解由上式（3.8），分別令時(shí)k=1,2,3時(shí)，即可得四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，將其進(jìn)行組合并引入四個(gè)積分常數(shù)，即得齊次微分方程式（3.7）的通解；利用雙曲函數(shù)關(guān)系：

且令

則有

式中B1、B2、B3、及B4均為待定積分常數(shù)式（3.10）和式（3.11）均為微分方程（3.7）的通解，在不同的問(wèn)題中，有各自不同的方便之處。（3.10）（3.11）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義（一）初參數(shù)法3.初參數(shù)解由式（3.11），再據(jù)式（3.5）有（3.12）

式（3.12）中積分常數(shù)B1、B2、B3、B4的確定是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，梁在任一截面都有四個(gè)參數(shù)量，即撓度y、轉(zhuǎn)角、彎矩M、剪力Q、而初始截面（x=o）的四個(gè)參數(shù)、、、就叫做初參數(shù)。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義用初參數(shù)法計(jì)算了彈性地基梁的基本思路是，把四個(gè)積分常數(shù)改用四個(gè)初參數(shù)來(lái)表示，這樣做的好處是:使積分常數(shù)具有明確的物理意義;根據(jù)初參數(shù)的物理意義來(lái)尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。3.初參數(shù)解（二）用初參數(shù)表示積分常數(shù)如圖3.4所示，梁左端的四個(gè)邊界條件（初參數(shù)）為

（3.13）將上式代入式（3.12），解出積分常數(shù)得：彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義（3.14）

3.初參數(shù)解再將式（3.14）代入式（3.12），并注意，則有（3.15）

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義3.初參數(shù)解其中、、、稱為雙曲線三角函數(shù)，它們之間有如下微分關(guān)系：彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義式（3.15）即為用初參數(shù)表示的齊次微分方程的;，該式的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是式中每一項(xiàng)都具有明確的物理意義;如式（3.15）中的第一式中，表示當(dāng)原點(diǎn)有單位撓度（其他三個(gè)初參數(shù)均為零）時(shí)梁的撓度方程，

表示原點(diǎn)有單位轉(zhuǎn)角時(shí)梁的撓度方程，等等；另一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是，在四個(gè)待定常數(shù)、、、中有兩個(gè)參數(shù)可由原點(diǎn)端的兩個(gè)邊界條件直接求出，另兩個(gè)待定初參數(shù)由另一端的邊界條件來(lái)確定。這樣就使確定參數(shù)的工作得到了簡(jiǎn)化。表3.1列出了實(shí)際工程中常遇到的支座形式反荷載作用下梁端參數(shù)的值。3.初參數(shù)解彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義3.初參數(shù)解彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義式（3.7）等價(jià)于地基梁僅在初參數(shù)作用下的撓曲微分方程，式（3.6）等價(jià)于地基梁既有初參數(shù)作用，又有外荷載作用的撓曲微分方程，其特解項(xiàng)就是僅在外荷載作用下引起的梁撓度的附加項(xiàng)。下面根據(jù)梁上作用的各種形式荷載分別加以討論。4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解（一）集中荷載作用的特解項(xiàng)1、集中力作用的特解項(xiàng)。

如圖3.5為一彈性地基梁，O端作用有初參數(shù)、、、，A點(diǎn)有集中力p。設(shè)y1為OA段的撓度表達(dá)式，y2為AB段的撓度表達(dá)式，由梁上無(wú)分布荷載作用，故OA和AB段的撓曲微分方程分別為彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解其中式（3.16a）的解可用梁端初參數(shù)來(lái)表示，即（3.17）

式（3.16b）的解可用初參數(shù)作用下的解y1與集中力pi單獨(dú)作用下引起的附加項(xiàng)疊加，即

將式（3.18）代入式（3.16b），并注意式（3.16a）有（3.19）

比較式（3.16a）和式（3.16b）知，式（3.19）解的形式與式

（3.17）相同，不同之處是將x換為，四個(gè)初參數(shù)應(yīng)解釋為處的突變撓度，轉(zhuǎn)角，彎矩，剪力，故有（3.20）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解由A點(diǎn)的變形連續(xù)條件和受力情況有代入式（3.20）,并據(jù)式（3.5）得（3.21）

當(dāng)時(shí)，取特解項(xiàng)為零。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解2、集中力偶mi作用的特解項(xiàng)。

由pi作用下特解項(xiàng)的推導(dǎo)結(jié)果可知，撓度附加項(xiàng)形式與初參數(shù)Q。作用下的撓度相同，只是坐標(biāo)起點(diǎn)與符號(hào)不同。同理，在集中力偶mi作用下?lián)隙雀郊禹?xiàng)與初參數(shù)M。作用下?lián)隙纫簿哂邢嗤男问剑鐖D3.6所示，Mo=Mi，故有當(dāng)時(shí)，取特解項(xiàng)為零。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解（二）分布荷載作用下的特解項(xiàng)分布荷載可分解成多個(gè)集中力，按集中力求特解項(xiàng)，為此，在x截面左邊，離端點(diǎn)的距離為u處取微段du，微段上荷載為qdu，此微荷載在它右邊的截面x處引起的撓度特解項(xiàng)為（如圖3.7）而x截面以左所有荷載引起的特解項(xiàng)為（3-23）下面討論分布荷載的幾種特殊情況。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解1、均布荷載如圖3.7，荷載均布于ab段，對(duì)于oa段顯然沒(méi)有附加項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，積分限是，由式（3.23）及式（3.5）有（3.24）當(dāng)時(shí)，積分限是（xa、xb），由式（3.23）及式(3.5)有（3.25）

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解當(dāng)荷載滿跨均布時(shí)，積分限是（o、x），故有（3.26）

2、三角形分布荷載如圖3.8所示，三角形荷載分布于ab段，有

(3.27)彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義當(dāng)時(shí)，積分限為,由式（3.27）及式

（3.5）得4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解

（3.28）當(dāng)時(shí)，積分限是，同理得（3.29）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義當(dāng)三角形荷載布滿全跨時(shí)，積分限是（o、x）有

（3.30）3、梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng)。如圖3.9所示的地基梁在梯形荷載作用下的特解項(xiàng)只須把式(3.26)與式（3.30）兩式疊加即可。4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解（三）彈性地基梁在、、、、、、、共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń馊鐖D3.10所示的彈性地基梁，同時(shí)作用有集中力、力偶、均布載、三角載時(shí)，綜合各種荷載的影響，就可得出撓度的一般公式，進(jìn)行微分運(yùn)算后，還可得出轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力的一般公式，即彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基梁撓曲微分方程的特解

式（3.31）中，當(dāng)，時(shí)，pi、mi兩項(xiàng)取值為零。（3.31）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義4.彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁短梁（又稱有限長(zhǎng)梁）（圖3.11（a）），當(dāng)彈性地基梁的換算長(zhǎng)度時(shí)，屬于短梁，它是彈性地基梁的一般情況。長(zhǎng)梁：無(wú)限長(zhǎng)梁（圖3.11（b））、半無(wú)限長(zhǎng)梁（圖3.11（c））。當(dāng)換算長(zhǎng)度時(shí)，屬于長(zhǎng)梁；若荷載作用點(diǎn)距梁兩端的換算長(zhǎng)度均時(shí)，可忽略該荷載對(duì)梁端的影響，這類梁稱為無(wú)限長(zhǎng)梁；若荷載作用點(diǎn)僅距梁一端的換算長(zhǎng)度時(shí)，可忽略該荷載對(duì)這一端的影響，而對(duì)另一端的影響不能忽略，這類梁稱為半無(wú)限長(zhǎng)梁，無(wú)限長(zhǎng)梁可化為兩上半無(wú)限長(zhǎng)梁。剛性梁（3.11（b）），當(dāng)換算長(zhǎng)度時(shí)，屬于剛性梁。這時(shí)，可認(rèn)為梁是絕對(duì)剛性的，即EI→∞或2→0。上節(jié)的結(jié)果，能直接用于計(jì)算各種幾何尺寸及彈性特征值的彈性地基等截面直梁。在工程實(shí)踐中，經(jīng)計(jì)算比較及分析表明，可根據(jù)不同的換算長(zhǎng)度，將地基梁進(jìn)行分類，然后采用不同的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化。通常將彈性地基梁分為三種類型。彈性地基梁的分類彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義長(zhǎng)梁、短梁和剛性梁的劃分標(biāo)準(zhǔn)主要依據(jù)梁的實(shí)際長(zhǎng)度與梁和地基的相對(duì)剛度之乘積，劃分的目的是為了簡(jiǎn)化計(jì)算。事實(shí)上，長(zhǎng)梁和剛性梁均可按上一節(jié)介紹的公式進(jìn)行計(jì)算，但長(zhǎng)梁、剛性梁與短梁相比有其自身的一些特點(diǎn)，較短梁相比，計(jì)算可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義1.長(zhǎng)梁的計(jì)算

（一）無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力Pi的計(jì)算如圖3.12所示，梁上作用有集中力Pi，由于力作用點(diǎn)至兩端點(diǎn)均滿足，故把梁看作無(wú)限長(zhǎng)梁。又因梁上分布荷載，為便于分析，現(xiàn)采用梁撓曲方程齊次解式的形式，即

由條件；又由對(duì)稱條件知：考慮地基反力與外載Pi的平衡條件：式（3.10）可寫為（3.32）彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義最后可得無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力：1.長(zhǎng)梁的計(jì)算

（3.33）其中對(duì)于梁的左半部分，只需將式（3.33）中Q和

改變符號(hào)即可。彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義（二）無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mi作用下的計(jì)算

如圖3.13(a)所示無(wú)限長(zhǎng)梁，作用集中力偶，盡管mi作用點(diǎn)并不一定在梁的對(duì)稱截面上，但只要mi作用點(diǎn)到兩端滿足，則mi作用點(diǎn)，就可看作是梁的對(duì)稱點(diǎn)，因而可把梁分為兩根半無(wú)限長(zhǎng)梁（圖3.13(b)、（c）)。梁對(duì)稱截面上的反對(duì)稱條件為彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義代入式（3.10）得A1=A2=A3=0及，最后得無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分的變形及內(nèi)力為：

（3.34）對(duì)于左半部分，只需將上式中y與M變號(hào)即可。（二）無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mi作用下的計(jì)算

彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義（三）半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算如圖（3.14）所示的半無(wú)限長(zhǎng)梁，梁端作用有初參數(shù)，因，故可借助撓曲方程齊次解的結(jié)果，為了方便分析，采用式（3.11）的形式：由代入上式得故有B1=-B3，B2=-B4彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義再由得最后得

（3.35）如梁端作用有初參數(shù)、，則可得、與、之間的關(guān)系為（三）半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義（四）半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載作用下的計(jì)算如圖3.15所示的半無(wú)限長(zhǎng)梁，作用分布荷載q、△q，撓曲方程為式（3.7）。容易驗(yàn)證，是式（3.7）的一個(gè)特解，故在梯形分布荷載作用下半無(wú)限長(zhǎng)梁任一截面的變形與內(nèi)力為：彈性地基梁計(jì)算理論及算例講義2.剛性梁的計(jì)算