隨機(jī)過(guò)程答案

2012-2013學(xué)年第一學(xué)期統(tǒng)計(jì)10本

《隨機(jī)過(guò)程》期中考試一.填空題設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P二(P.)，n步轉(zhuǎn)移矩陣P=(p(n)),二者之間的關(guān)系為ijijP(n)=Pn狀態(tài)i常返的充要條件為另p(n)=8。iin=01.3.在馬氏鏈{x,n>0}中，記p(n)=P{xm豐j,1<m<n一1,X=j|X=i},n>1.ij n 0p=

ij藝P(n)，若P<1,稱狀態(tài)p=

ijijn=1.判斷題1.S1.S是一個(gè)可數(shù)集，｛X:n>0n｝是取值于S的一列隨機(jī)變量，=i,X=i...,X=i)=Pn0 0 n-1 n-1=i=i,X=i...,X=i)=Pn0 0 n-1 n-1=i|X=in+l n+1 i0 n+1 n+1 n+1 n，貝畀X:n>0｝是一個(gè)馬氏鏈。n任意狀態(tài)都與它最終到達(dá)的狀態(tài)是互通的，但不與它自己是互通的。X一維與二維簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)時(shí)常返的，則三維或更高維的簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)也是常返的。X若狀態(tài)i知狀態(tài)j，則i與j具有相同的周期。 V一個(gè)有限馬爾科夫鏈中不可能所有的狀態(tài)都是暫態(tài)。 V三.簡(jiǎn)答題什么是隨機(jī)過(guò)程，隨機(jī)序列答：設(shè)T為［0,+g)或(-a，+g)，依賴于t(tgT)的一族隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)｛g｝通稱為隨機(jī)過(guò)程，t稱為時(shí)間。當(dāng)T為整數(shù)集或正整數(shù)集時(shí)，則一般t稱為隨機(jī)序列。2?什么是時(shí)齊的獨(dú)立增量過(guò)程

答：稱隨機(jī)過(guò)程{g:t>0}為獨(dú)立增量過(guò)程，如果對(duì)于Vn,VO<t<t< <t,起TOC\o"1-5"\h\zt 0 1 n始隨機(jī)變量及其后的增量g-g是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量組；如果g-g的分布s+ts s+ts不依賴于s,則此獨(dú)立增量過(guò)程又稱為時(shí)齊的獨(dú)立增量過(guò)程。 …3?由4個(gè)狀態(tài)組成的馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P=OOO.5O.5OO，確定哪些狀態(tài)是暫_00103?由4個(gè)狀態(tài)組成的馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P=OOO.5O.5OO，確定哪些狀態(tài)是暫_0010態(tài)，哪些狀態(tài)是常返態(tài)O.5O.5OO.5O.5O4?考慮由狀態(tài)0,1,2,3,4組成的馬爾科夫鏈，而P=0 00.50 00.500000.50，確定常返0.500.250.25000.55.設(shè)有四個(gè)狀態(tài)1={0,1,2,3}的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=121214012121400000114401對(duì)狀態(tài)進(jìn)行分類；對(duì)狀態(tài)空間I進(jìn)行分解。解：1)p二1,而p，p，p均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個(gè)閉集，它是吸收態(tài)，記C={3}；33 30 31 32 10，1兩個(gè)狀態(tài)互通，且它們不能到達(dá)其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個(gè)閉集，記C={0,1},且它2們都是正常返非周期狀態(tài)；由于狀態(tài)2可達(dá)C,C中的狀態(tài)，而C,C中的狀態(tài)不可能1212達(dá)到它，故狀態(tài)2為非常返態(tài)，記D={2}。2)狀態(tài)空間I可分解為：E=DuCuC12四.計(jì)算題1.說(shuō)是有一位賭徒，他去賭博帶有賭資100元，而對(duì)手有200元賭資，他們的規(guī)則是每次下注五元，每次贏五元或輸五元的概率相等，P（￡=5）=P（￡=-5）=1/2.當(dāng)賭徒破產(chǎn)或完勝時(shí)停止賭博。問(wèn)：（1）該賭徒完勝和破產(chǎn)的概率分別是什么（2） 賭博結(jié)束時(shí)，該賭徒平均能贏多少錢(qián)（3） 這場(chǎng)賭博平均要用多長(zhǎng)時(shí)間解：（1）由題可得，m==300.則完勝時(shí)：TOC\o"1-5"\h\zP（S=m）=P（St=300）=m/M=100/300=1/3,mT 100破產(chǎn)時(shí)：P（S=m）=P（s=0）=1—（s=300）=1-1/3=2/3mT 100T T（2）:ES=ES=0*P（S=0）+M*P（S=M）=m=100（元）mT100T mT mT設(shè)子代分布為二項(xiàng)分布B（2,l/2）.考察相應(yīng)的分支過(guò)程{X:n>0}及其滅絕時(shí)間t，n求滅絕概率P解：由子代分布為二項(xiàng)分布B（2，1/2），可得：Pk=Ckpkqzn=P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知f（p）=￡ppi=p=1/4+1/2p+1/4p2ii=0解得：p=1設(shè)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:0.30.7 0P=0 0.20.80.7 0 0.3（1）.求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P（2）及當(dāng)初始分布為P{x=1}=1,P{x=2}=P{x=3}=0時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。0002）求馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布。（I）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣0.09035（I）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣0.090350,56^0.560.040.40,420.490,09；汨初始分布為尸{X"二1}二1,P{Xi!=2\=P{Xti=3)=0時(shí).0,56)0,56)0,090.35(I00)0.560.04vQ,42U.49

0,56^0.4-(0,090350.09;故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移厲處F狀態(tài)2的概率為03気（2）因?yàn)轳R爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)「所以平穩(wěn)分布存在.得如下方程組玄二02眄+曲；+0.7^加=0.丁齊十“2乳+0職，若=Our,+0.8jt2+0+3碼場(chǎng)+孤2十卉■*=I解?上述方祝組得T穩(wěn).分布為設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間1={1,2,3,4,5}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為:'0.30.40.300、0.60.4000P=010000000.30.7<0000.10丿求狀態(tài)的分類，各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)平均返回時(shí)間。解：（1）狀態(tài)分類C]={1,2,3}；C2={4,5}（2）由常返閉集的定義可知，常返集有兩個(gè)，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。

兀=0.3兀+0.6兀112A對(duì)的常返閉集而言解方程組<兀=0.4兀+0.4兀+兀A對(duì)的常返閉集而言解方程組<2 1 2 3兀=0.3k31兀+兀+兀=1123TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"30 35 9解上述方程組的平穩(wěn)分布為兀=,兀=,兀=石7174274374174—二35,行17_1_174—二35,行17_1_74~9~\o"CurrentDocument"各狀態(tài)的平均返回時(shí)間為t= = ,t=1兀30 2兀12兀=0.3兀+兀B對(duì)的常返閉集而言解方程組B對(duì)的常返閉集而言解方程組<兀=0.7兀21兀+兀=112解上述方程組的平穩(wěn)分布為兀=10,兀=17117217TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 17 1各狀態(tài)的平均返回時(shí)間為t= = ,t=-1k 102k125.若P=—,P——,P——,它的滅絕概率為兀，且P'= ,P= ,P'=,它的滅絕概率0 21 4 2 4 0 0 41 4 2 2為兀'.求：0（1）k的值；（2）兀'的值；（3）假定它們的初始時(shí)由n個(gè)個(gè)體組成，分別求出兩者的總體00滅絕的概率。3解：（1）由于卩=—1,所以兀=1；40（2）k'滿足0111K'= +K'+K'20440401解得這個(gè)二次方程的最小的正解是K'=。02（3）因?yàn)榭傮w滅絕當(dāng)且僅當(dāng)初始代的每個(gè)成員的家庭都滅絕，要求的概率是Kn。則0<1Kn=1， K'n=—0012丿小張的賓館剛開(kāi)張不久，入住的家庭數(shù)是均值為九的隨機(jī)變量，再假定一個(gè)家庭在賓館停留的天數(shù)是參數(shù)為P（0<P<1）的幾何隨機(jī)變量，（于是在前一個(gè)晚上留在賓館的一個(gè)家

庭，獨(dú)立于已經(jīng)在賓館呆了多久，將在第二天以概率P退房)，再假定所有的家庭是彼此獨(dú)立的，在這些條件下容易看出，如果以X記在第n天開(kāi)始入住賓館的家庭數(shù)，那么｛X，nnn>0｝是馬爾科夫鏈。求：此馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率。解:為了求P，我們假定在一天開(kāi)始是賓館中有i個(gè)家庭，因?yàn)檫@i個(gè)家庭將以概率q=l-qi,j再呆一天，由此推出這i個(gè)家庭中再留一天的家庭數(shù)R是二項(xiàng)(i,q)隨機(jī)變量。所以，i以N記這天新入住的家庭數(shù)，我們看到P二P(R+N二j)i,j i對(duì)于R取條件，并且利用N是均值為九的泊松隨機(jī)變量，我們得到iP=￡P(guān)(R+N=iIR=k) qkpi-ki,j i i(k丿k=0qkpi-k=》P(N=j-kIR=k)qkpi-kik=0P(N=j-k) qkpi-k九j-k(j-k)!qkpi九j-k(j-k)!qkpi-kk=0k=0設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過(guò)去的天氣無(wú)關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為Q,而今天無(wú)雨明天有雨的概率為0；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0,無(wú)雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)Q=0.7,卩=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=p00p0i=r0.70.31，于是Lpi0p11」0.40.6ro.6i0.391r0.57490.425i1P(2)=PP=0.520.48，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P(4)=P(2)P(2)=0.4332，從L0.5668而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為P(4)=0.5749。00一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3三個(gè)點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)，1和3是兩個(gè)反射壁，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于2時(shí)，下一時(shí)刻處于1,2,3是等可能的。寫(xiě)出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性，若有，求出極限分布。解：步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=10113310十3十33P(2)=P2=解：步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=10113310十3十33P(2)=P2=十-7+999十十+333由p(2)>o知，此鏈有遍歷性；設(shè)極限分布兀=G，兀,兀),ij123兀=+兀1 3 2方程組4兀=十兀3 32兀+兀+兀123兀=十534兀=-35=1 兀=十350.5 0.4 0.19.設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為I={0丄2},—步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=0.30.40.30.2 0.30.5求其相應(yīng)的極限分布。解：設(shè)其極限分布W=(%，W1,巴)，由宀得到方程組0.5w+0.3w+0.2w=w01200.4w+0.4w+0.3w=w401210.1w+0.3w+0.5w=w0122w+w+w=1012解方程組得到：21 23= ,w= ,w\o"CurrentDocument"62 1 62 23110.設(shè)馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P,求該馬氏鏈的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的的平均返回時(shí)間0.7 0.10.2P=0.1 0.80.111.設(shè)有時(shí)齊次的馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣為P,討論其馬氏性，并求其平穩(wěn)分布。P=解馬氏鏈的狀態(tài)空間為1={1,2}，均為吸收態(tài)，狀態(tài)空間可分解為兩個(gè)閉集之和,1={1}+{2},故其是不