2023-2024學(xué)年福建省泉州市高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省泉州市高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)模擬試題考試范圍：人教A版必修第一冊；考試；一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．2．在平面直角坐標系中，設(shè)都是銳角，若的始邊都與軸的非負半軸重合，終邊分別與圓交于點，且滿足，則當(dāng)最大時，的值為（

）A． B． C． D．3．已知在平行四邊形中，，，，，則（

）A． B．C． D．4．在平面直角坐標系中，P為雙曲線右支上的一個動點，若點P到直線的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．25．已知正項等差數(shù)列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．8．針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.正確選項全對得5分，正確選項不全得2分，有錯誤選項得0分）9．大數(shù)據(jù)時代為媒體帶來了前所未有的豐富數(shù)據(jù)資源和先進的數(shù)據(jù)科學(xué)技術(shù)，在AI算法的驅(qū)動下，無論是圖文編輯、視頻編輯，還是素材制作，所有的優(yōu)質(zhì)內(nèi)容創(chuàng)作都變得更加容易.已知某數(shù)據(jù)庫有視頻a個，圖片b張（且）.從中隨機選出一個視頻和一張圖片，記“視頻甲和圖片乙入選”為事件A，“視頻甲入選”為事件B，“圖片乙入選”為事件C，則下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．10．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且.給出下列四個命題，其中正確的命題是（

）A． B．C．與的夾角為 D．三棱錐的體積為11．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．12．18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布，那么當(dāng)n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布（且）.當(dāng)時，對任意實數(shù)x，記，則（

）A．B．當(dāng)時，C．隨機變量，當(dāng)減小，增大時，概率保持不變D．隨機變量，當(dāng)，都增大時，概率單調(diào)增大三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖，直徑的半圓，為圓心，點在半圓弧上，為的中點，與相交于點，則.14．為豐富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指數(shù)，某街道舉辦以社區(qū)為代表隊的老年門球比賽，比賽分老年男組和老年女組，男女組分別進行淘汰賽．經(jīng)過多輪淘汰后，西苑社區(qū)的老年男子“龍馬”隊和老年女子“風(fēng)采”隊都進入了決賽．按照以往的比賽經(jīng)驗，在決賽中“龍馬”隊獲勝的概率為，“風(fēng)采”隊獲勝的概率為，“龍馬”隊和“風(fēng)采”隊兩隊中只有一支隊伍獲勝的概率為（“龍馬”隊和“風(fēng)采”隊的比賽互不影響），則西苑社區(qū)的“龍馬”隊和“風(fēng)采”隊同時獲得冠軍的概率為．15．已知過原點的直線與雙曲線交于M，N兩點，點M在第一象限且與點Q關(guān)于x軸對稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點P，若，則雙曲線的離心率為．16．函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．已知點，是函數(shù)圖象上的任意兩點，，且當(dāng)時，的最小值為.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．在中，，．

(1)若的面積為，求AB的長；(2)如圖，點P為外一點，滿足，，求的大?。?9．已知復(fù)數(shù)和，對任意非零復(fù)數(shù)有．(1)求用表示的關(guān)系式．(2)將作為點的坐標，作為點的坐標，當(dāng)點在圓（是常數(shù)，）上移動時，試求點的軌跡方程，并指出軌跡是怎樣的曲線．(3)判斷能否找到實數(shù)，使點的軌跡恰為圓？20．在平面直角坐標系中，點A是圓上一動點，點B是圓上一動點，當(dāng)三點共線時，過點B作x軸的垂線，垂足為H，過點A作的垂線，垂足為P.(1)請判斷動點的軌跡，并求出其軌跡方程；(2)記（1）中軌跡為曲線C，在曲線C的上半部分取兩點M，N，若，且.①當(dāng)時，求四邊形的面積；②求四邊形的面積最大時點M的坐標.21．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第位員工再從第個暗盒里面取出1個球并放入第個暗盒里.第位員工從第個暗盒中取出1個球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設(shè)第位員工獲得獎金為元.(1)求的概率；(2)求的數(shù)學(xué)期望，并指出第幾位員工獲得獎金額的數(shù)學(xué)期望最大.1．B【分析】利用函數(shù)奇偶性和余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】解法一：因為，，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除A，D；當(dāng)時，，，，故，排除C，故選B．解法二：當(dāng)時，，排除A，C；又當(dāng)時，，，，則，排除D，故選：B．2．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，由，有，利用兩角差的正弦公式化簡得，由兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式求的最大值，再由倍角公式求的值.【詳解】由，有，即，則有，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，是銳角，所以當(dāng)最大時，，則.故選：B.3．D【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運算即得.【詳解】因為，，，，四邊形為平行四邊形，則，故選：D.4．C【分析】轉(zhuǎn)化為求漸近線與直線之間的距離可得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，且與平行，因為點P到直線的距離大于m恒成立，所以m的最大值為直線與直線的距離，即為.故選：C.5．B【分析】由題意和兩角和的正切公式可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以．又，所以，解得，故．故選：B6．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】由，不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點為，且若，則恒成立，不符合題意，可排除A項；所以，此時易知單調(diào)遞增，要滿足題意則需.故選：D7．C【分析】利用二項式定理，求指定項的系數(shù)，各項系數(shù)和，奇次項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和.【詳解】由，對于A中，令，可得，所以A錯誤；對于B中，，由二項展開式的通項得，所以B錯誤；對于C中，與的系數(shù)之和相等，令即，所以C正確；對于D中，令，則，令，則，解得，，可得，所以D錯誤.故選：C.8．C【分析】由已知數(shù)據(jù)計算，根據(jù)獨立性檢驗的結(jié)論，列不等式求的取值范圍，得最小值.【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C9．BC【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】顯然事件相互獨立，且，于是，A錯誤，B正確；事件包含“視頻甲未入選，圖片乙入選”、“視頻甲入選，圖片乙未入選”、“視頻甲?圖片乙都未入選”三種情況，因此，則，所以C正確；依題意，，，而且，因此，即，D錯誤.故選：BC10．AB【分析】A選項，利用空間向量數(shù)量積公式得到A正確；B選項，變形得到；C選項，求出及，利用向量夾角余弦公式求出答案；D選項，推出三棱錐體積為，D錯誤.【詳解】A選項，因為兩兩垂直，所以，故，A正確；B選項，，B正確；C選項，，，由勾股定理得，所以與的夾角余弦為，故與的夾角為，C錯誤；D選項，，因為，所以三棱錐的體積為，由于，D錯誤.故選：AB11．AB【分析】利用數(shù)列的性質(zhì)，逐個選項分析即可.【詳解】，或，，，同號，且，，即數(shù)列前項大于，從第項開始小于1，對于A，，且易知，故，A正確，對于B，易知，故，，B正確，對于C，由題意知是遞減數(shù)列，且，，故是數(shù)列中的最大項，故C錯誤，對于D，，故D錯誤，故選:AB12．AC【分析】根據(jù)結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性，可判斷A;由定義即可判斷B;根據(jù)正態(tài)分布的準則可判斷C,D.【詳解】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，故A正確；對于B,當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準則，在正態(tài)分布中代表標準差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯誤，故選：AC13．【分析】連接，根據(jù)條件先求解出的值，然后再根據(jù)圓的幾何性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角公式得到與的等量關(guān)系，由此可求結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，所以，又因為，所以，所以（負值舍去），因為為直徑，所以，所以，故答案為.14．##【分析】根據(jù)獨立事件、互斥事件的概率公式得到關(guān)于的方程，解出的值，再求同時獲得冠軍的概率即可.【詳解】由題意得兩隊中只有一隊獲勝包含“龍馬”隊獲勝“風(fēng)采”隊未獲勝和“龍馬”隊未獲勝“風(fēng)采”隊獲勝兩種情況，則，解得，所以兩隊同時獲得冠軍的概率為，故15．##【分析】先設(shè)出相關(guān)點的坐標，利用求得點坐標，推理證明（二階結(jié)論），再利用和整體代入即得的齊次式，計算即得離心率.【詳解】如圖，設(shè)，則，,根據(jù)可得:,故，因點均為雙曲線上的點，則由①因為，所以②，又③，將②，③兩式代入①式得：．故雙曲線的離心率．故答案為.關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)以及關(guān)于雙曲線的二階結(jié)論是否熟悉.關(guān)鍵在于能否建立四條直線的斜率之間的數(shù)量關(guān)系，通過代入消去未知量，得出的齊次式.16．0【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得幾何意義，先求導(dǎo)，所以在點處的切線斜率為，再根據(jù)直線的垂直關(guān)系，即可得解.【詳解】由題可得，，所以在點處的切線斜率為，又切線與直線垂直，所以，解得．故17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)求，由題求周期，然后可得，即可得解析式；（2）先求的范圍，然后分離參數(shù)，利用基本不等式可得.【詳解】（1）由題知，，即，又，所以，因為時，的最小值為，所以，即，所以，（2）當(dāng)時，，所以，所以，令，則當(dāng)時，恒成立，等價于時，恒成立，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理結(jié)合已知條件求的大小，再由三角形面積公式求AC，求AB；（2）設(shè)，在與中分別用正弦定理建立CP與的關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦公式與二倍角公式化簡整理，根據(jù)角的范圍求的大小.【詳解】（1）由，得．在中，由余弦定理得，又，所以，易知，所以整理得，所以．由，解得，所以，所以．（2）由（1）可知，設(shè)，因為，所以在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即．消去CP，得，即，所以，即．因為，所以，則，所以，即.19．(1)；(2)點的軌跡方程為，是以為圓心，為半徑的圓；(3)找不到實數(shù)使的軌跡恰為.【分析】（1）由題意可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)相等即可求解；（2）將代入，再化簡即可求點的軌跡方程；（3）若的軌跡與重合，則它們的圓心也要重合，可得，與的條件矛盾.【詳解】（1）因為，所以，即，所以.（2）將代入，得即整理得①因為，所以，即，所以．①式化簡為同除得配方有即為的軌跡方程．所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．（3）若的軌跡與重合，則它們的圓心也要重合．于是，有，與的條件矛盾，所以找不到實數(shù)使的軌跡恰為．20．(1)軌跡為橢圓（去除左、右端點），；(2)①；②.【分析】（1）利用三角換元分類討論計算即可；（2）①利用橢圓的對稱性轉(zhuǎn)化線段關(guān)系，直線的方程與點坐標，利用韋達定理計算參數(shù)再根據(jù)弦長公式及點到直線的距離公式計算即可；②結(jié)合①的結(jié)論轉(zhuǎn)化四邊形面積為三角形面積，利用弦長公式及點到直線的距離公式及對勾函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】（1）

動點的軌跡為橢圓（去除左、右端點）.易知不能在橫軸上，由題意當(dāng)在原點同側(cè)，可設(shè)，，則，當(dāng)在原點異側(cè)，可設(shè)，，則，整理可得動點的軌跡方程為；（2）

在曲線C的上半部分取兩點M，N，且，延長交橢圓C于點G.設(shè)則，顯然，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，所以，①由，根據(jù)橢圓的對稱性可得，進一步得.所以，解之得（負值舍去），則直線GM的方程為，即.設(shè)點Q到直線的距離為d，則由距離公式得.又由弦長公式得，將代入上式得.設(shè)四邊形的面積為S，易知，則四邊形的面積為.②由①可知四邊形的面積等價于的面積.依據(jù)題意，點Q到直線的距離為，結(jié)合①可知：，令，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，即，即時取得最大值，此時直線GM的方程為，與橢圓聯(lián)立可得，則.故四邊形的面積