人教版八年級數(shù)學上冊 專題13.1-13.2 軸對稱及畫軸對稱圖講練（解析版）

專題13.1-13.2軸對稱及畫軸對稱圖典例體系一、知識點1、軸對稱（1）.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就稱這個圖形是軸對稱圖形；這條直線叫做它的對稱軸；也稱這個圖形關于這條直線對稱；兩個圖形關于這條直線對稱：一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這（2）.兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點；軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區(qū)別：軸對稱圖形是指一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合；而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合；（3）.軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的聯(lián)系：把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱；把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形。（4）.垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；（5）.軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；對稱的兩個圖形是全等的；（6）.垂直平分線性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；（7）.垂直平分線的尺規(guī)作圖2、作軸對稱圖形（1）.作軸對稱圖形：分別作出原圖形中某些點關于對稱軸的對應點，再連接這些對應點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（注意取特殊點）（2）.點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為：（x,-y）;點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為：（-x,y）;二、考點點撥與訓練考點1：軸對稱圖形的識別典例：（2020·江蘇新沂初三一模）剪紙藝術是我國古老的民間藝術之一，作為一種鏤空藝術，它能給人以視覺上的透空感覺和藝術享受．下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：A選項能夠關于一條直線對稱，是軸對稱圖形，故A正確；B選項不是軸對稱圖形，故B錯誤；C選項不是軸對稱圖形，故C錯誤；D選項不是軸對稱圖形，故D錯誤；故選：A.方法或規(guī)律點撥本題考查了軸對稱圖形，理解其概念是判斷軸對稱圖形的關鍵.鞏固練習1．（2020·福建寧德初一期末）下列圖案分別表示“?！薄暗摗薄皦邸薄跋病?，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：第一個圖形不是軸對稱圖形，

第二、三、四個圖形是軸對稱圖形，

故選：A．2．（2020·山東濟南初一期末）漢字書法博大精深，下列漢字“行”的不同書寫字體中，是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】解：A.是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．3．（2020·河南郟縣初一期末）以下是小明收集的四個軸對稱圖案，他收集錯的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，故本選項正確；

D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤．

故選C．4．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，四個圖標分別是劍橋大學、北京大學、浙江大學和北京理工大學的校徽的重要組成部分，其中是軸對稱圖形的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：B．5．（2020·河南羅山初二期末）下列全國志愿者服務標識的設計圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、B、D中的圖形不是軸對稱圖形，

C中的圖形是軸對稱圖形，

故選：C．6．（2020·全國初二課時練習）我們理應對我們所得的一切心懷感恩，這是我們強大的基礎.少年強則國強，中國強則中國少年更強，中國強就是因為少年強.為了慶祝祖國生日小強做了以下幾幅剪紙作品，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，故此選項正確；

C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選B．考點2：與線段垂直平分線相關的尺規(guī)作圖典例：（2020·廣東禪城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．（1）尺規(guī)作圖：在AB邊上找一點D使得DB＝DC（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求∠ADC．【答案】（1）見解析；（2）20°【解析】（1）解：如圖所示：D點為所求；（2）證明：∵∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACB＝60°．又DB＝DC，∠B＝40°，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝20°．方法或規(guī)律點撥本題考查了線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質等知識，掌握線段垂直平分線的畫法是解題關鍵．鞏固練習1．（2020·山東嵐山初二期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠DAC的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解析】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，∴∠B=30°由作圖可知：MN垂直平分線段AB，可得DA=DB，則∠DAB=∠B=30°，故∠DAC=80°-30°=50°，故選：B．2．（2022·河南伊川初二期末）如圖，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N作直線MN，交BC于點D，連結AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．65° B．60°C．55° D．45°【答案】A【解析】由題意可得：MN是AC的垂直平分線，則AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故選A．3．（2020·重慶南岸初二期末）如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC邊上確定一點P，使得PA+PC=BC，則下列四種不同的作圖方法中，正確的是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】解：用尺規(guī)在BC上確定一點P，使PA+PB=BC，如圖所示：

4．（2020·山東中區(qū)濟南外國語學校初一期末）如圖，長方形ABCD中∠DAC＝68°，請依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求出∠α等于()A．34° B．44° C．56° D．68°【答案】C【解析】如圖，由尺規(guī)作圖的痕跡得：AE是的角平分線，直線是AC的垂直平分線，，，，由對頂角相等得：，故選：C．5．（2020·浙江婺城初三三模）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，連接，交于點，連接，若的周長為，，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在△ABC中，以點A和點B為圓心，大于二分之一AB的長為半徑畫弧，兩弧相交與點M,N，則直線MN為AB的垂直平分線，則DA=DB,△ADC的周長由線段AC,AD,DC組成，△ABC的周長由線段AB,BC,CA組成而DA=DB,因此△ABC的周長為10+7=17.故選C.6．（2020·全國初二課時練習）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分別以頂點A、B為圓心，大于AB長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點M、N，作直線MN交邊CB于點D．若AD＝5，CD＝3，則BC長是（）A．7 B．8 C．12 D．13【答案】B【解析】解：∵頂點A、B為圓心，大于AB長為半徑作圓弧∴MN為AB的垂直平分線∴AD=BD=5∵BC=BD+CD∴BC=AD+CD=5+3=8故選B．7．（2022·云南初三二模）如圖，分別以線段的端點和為圓心大于的長為半徑作弧，連接兩弧交點，得直線，在直線上取一點，使得，延長至，的度數(shù)為__________．【答案】50°【解析】∵由作法可知直線是線段AB的垂直平分線，

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=25°，

∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．

故答案為：50°．8．（2020·四川成華初一期末）如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N；作直線MN分別交BC、AC于點D、點E，若，的周長為13cm，則的周長為________.【答案】19cm【解析】解：由尺規(guī)作圖可知，是線段的垂直平分線，，，的周長為13，，則的周長，故答案為：．9．（2020·陜西陳倉初一期末）如圖，在的邊上求作點，做得與的面積相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】解：如圖所示：

所以，D點為所求．10．（2020·福建寧德初一期末）如圖，已知△ABC，點P為BC上一點．（1）尺規(guī)作圖：作直線EF，使得點A與點P關于直線EF對稱，直線EF交直線AC于E，交直線AB于F；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接PE，AP，AP交EF于點O，若AP平分∠BAC，請在（1）的基礎上說明PE=AF．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】解：（1）如圖，直線EF即為所作圖形；（2）∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，由（1）可知：EF垂直平分AP，∴EF⊥AP，AE=PE，在△AOF和△AOE中，∠OAF=∠OAE，AO=AO，∠AOF=∠AOE=90°，∴△AOF≌△AOE（ASA），∴AF=AE，∴AF=PE.11．（2020·深圳市龍崗區(qū)智民實驗學校初一期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圓規(guī)分別以A、C為圓心，大于AC的一半的長度為半徑畫弧，產(chǎn)生如圖所示的兩個交點M、N，作直線MN，交AC于點D，交BC于點E．（1）根據(jù)作法判斷直線DE為線段AC的線；（2）連接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度數(shù)．【答案】（1）垂直平分；（2）∠BAE=18°【解析】（1）由作法得ED為線段AC的垂直平分線，故答案為：垂直平分；

（2）∵ED為線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，

∴∠EAC=∠C=36°，

∴∠BAE=90°-∠EAC-∠C=90°-36°-36°=18°．

故答案為：18°．考點3：線段垂直平分線的性質典例：（2020·全國初二課時練習）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，分別交BC于點D、E，已知△ADE的周長5cm．（1）求BC的長；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為13cm，求OA的長．【答案】（1）5；（2）4【解析】解：（1）∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周長5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（2）∵△OBC的周長為13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．方法或規(guī)律點撥本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．鞏固練習1．（2020·甘肅蘭州初二期末）如圖，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，垂足為E，交BC邊于D點，若AC＝5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm【答案】C【解析】解：∵AB的垂直平分線DE交BC于點D，

∴AD=BD，

∵AC=5cm，△ADC的周長為17cm，

∴AD+DC+AC=17cm，

∴AD+DC=BD+DC=BC=12cm．

故選：C．2．（2020·山東章丘初一期末）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】∵DE是邊AB的垂直平分線，∴AE＝BE．∴△BCE的周長＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．又∵BC＝8，∴AC＝10（cm）．故選：C．3．（2020·浙江溫嶺初三一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點E是AC上的點，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝_____．【答案】1：3【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴S△ADE＝S△BDE，∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△BDE≌△BCE（AAS），∴S△BDE＝S△BCE，∴S△AED：S△ABC＝1：3，故答案為：1：3．4．（2020·安徽碭山初二期末）如圖，在△ABC中，AC＝5cm，AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是8cm，則線段BC的長為________cm.【答案】3【解析】∵MN是線段AB的垂直平分線，∴AN=BN，∵△BCN的周長是8cm，∴BN+NC+BC=8（cm），∴AN+NC+BC=8（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=8（cm），又∵AC=5cm，∴BC=8﹣5=3（cm）．故答案為3．5．（2020·全國初二課時練習）如圖，△ABC中，∠BAC＝108°，E，G分別為AB，AC中點，且DE⊥AB，F(xiàn)G⊥AC，則∠DAF＝_________°．【答案】36【解析】∵∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∵DE、FG分別垂直平分線段AB、AC，∴DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠DAE＋∠FAC＝72°，∴∠DAF＝∠BAC?（∠DAE＋∠FAC）＝36°，故答案為：36．6．（2020·山東商河初二期末）如圖，已知∠BAC=60°,∠B=80°,DE垂直平分AC交BC于點D,交AC于點E.(1)求∠BAD的度數(shù)；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周長.【答案】（1）20°；（2）22.【解析】解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.∴∠DAC=∠C=40°,∴∠BAD=60°-40°=20°.（2）∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，∴△ABD的周長為22.考點4：線段垂直平分線的判定典例：（2020·山東文登初一期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【答案】（1）65°（2）證明見解析【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC∴點A在線段CE的垂直平分線上，點D在線段CE的垂直平分線上，∴直線AD是線段CE的垂直平分線.方法或規(guī)律點撥本題考查了直角三角形兩銳角互余、三角形全等的判定與性質、線段垂直平分線的判定等，熟練掌握相關的性質定理與判定定理是解題的關鍵.鞏固練習1．（2020·陜西渭濱初一期末）如圖，點A,B,C表示某公司三個車間的位置，現(xiàn)在要建一個倉庫，要求它到三個車間的距離相等，則倉庫應建在（）A．△ABC三邊的中線的交點上 B．△ABC三內角平分線的交點上C．△ABC三內高線的交點上 D．△ABC三邊垂直平分線的交點上【答案】D【解析】解：在三角形內，要找一點到三角形各頂點距離相等，只能是三邊垂直平分線的交點上；A．中線的交點為三角形的重心，到頂點的距離是到對邊中點的2倍，不符合題意；B．角平分線的交點為三角形的內心，到各邊距離相等，不符合題意；C．高的交點為垂心，而到各頂點相等的只能是垂直平分線的交點，不符合題意；D．△ABC三邊垂直平分線的交點上，符合題意．故選D．2．（2020·湖北宜昌）如圖，點E，F(xiàn)，G，Q，H在一條直線上，且，我們知道按如圖所作的直線為線段的垂直平分線．下列說法正確的是（）．A．是線段的垂直平分線 B．是線段的垂直平分線C．是線段的垂直平分線 D．是的垂直平分線【答案】A【解析】∵為線段的垂直平分線,∴FO=GO,又∵EF=GH,∴EO=HO,∴是線段的垂直平分線,故A正確由上可知EO≠Q(mào)O,FO≠OH,故B、C錯誤∵是直線并無垂直平分線，故D錯誤故選：A．3．（2020·河北遷西初三二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D①AD是∠BAC的平分線；②CD是△ADC的高；③點D在AB的垂直平分線上；④∠ADC=61°．其中正確的有（）.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：根據(jù)作法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；∵∠C=90°，∴CD是△ADC的高，故②正確；∵∠C=90°，∠B=32°，∴∠CAB=58°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD=∠DAB=29°，∴AD≠BD，∴點D不在AB的垂直平分線上，故③錯誤；∵∠CAD=29°，∠C=90°，∴∠CDA=61°，故④正確；共有3個正確，故選：C．4．（2022·湖北十堰初二期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結論：①AC-BE=AE；②點E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】∵∴∵BE平分∴∴∴∴，則①正確∵∴點E在線段BC的垂直平分線上，則②正確∵∴∵∴∴，則③正確∵∴，則④錯誤綜上，正確的個數(shù)為3個故選：B．5．（2020·北京平谷初三一模）已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作弧DE，交射線OB于點F，連接CF；（2）以點F為圓心，CF長為半徑作弧，交弧DE于點G；（3）連接FG，CG．作射線OG．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，則∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【答案】D【解析】解：由作圖可得，OC＝OE，F(xiàn)C＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A選項正確；若CG＝OC＝OG，則△OCG是等邊三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB＝∠COG＝30°，故B選項正確；∵OC＝OE，F(xiàn)C＝FG，∴OF垂直平分CG，故C選項正確；∴CG＝2MG＜2FG，故D選項錯誤；故選：D．6．（2020·咸陽百靈學校初二月考）如圖，△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過點C，則（）A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能確定【答案】D【解析】因為只知道直線l經(jīng)過點C，所以無法判定直線l與AB的關系．故選：D．7．（2020·山東鄆城初二期末）已知，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高。求證：AD垂直平分EF?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥孔C明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD，又∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2，DE=DF，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，∴點A在EF的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上），∵DE=DF，∴點D在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF.8．（2020·全國初二課時練習）如圖，點D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，DE＝DF.求證：AD垂直平分EF.【答案】見解析【解析】在Rt△AED和Rt△AFD中，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

又∵DE=DF，∴AD是EF的垂直平分線，即AD垂直平分EF．9．（2020·北京朝陽初二期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關于直線AC對稱，AE與CD垂直交BC的延長線于點E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側，EF⊥AF．（1）依題意補全圖形．（2）①在AE上找一點P，使點P到點B，點C的距離和最短；②求證：點D到AF，EF的距離相等．【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②詳見解析．【解析】（1）補全圖形，如圖1所示（2）①如圖2，連接BD，P為BD與AE的交點∵等邊△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等價于PB+PD最短故B,D之間直線最短，點P即為所求．②證明：連接DE，DF．如圖3所示∵△ABC，△ADC是等邊三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴點D到AF，EF的距離相等．考點5：圖形折疊問題（軸對稱圖形性質）典例1：（2020·湖北陽新初二期末）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，求∠MAN的度數(shù)是多少？【答案】20°．【解析】如圖，作A關于BC和CD的對稱點A'，A″，連接A'A″，交BC于M，交CD于N，則A'A″即為△AMN的周長最小值．∵∠DAB=100°，∴∠AA'M+∠A″=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°．∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠AA'M+∠A″)=2×80°=160°，∴∠MAN=180°﹣160°=20°．故當△AMN周長最小時，∠MAN的度數(shù)是20°．方法或規(guī)律點撥本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關鍵．典例2：（2020·四川龍泉驛?初一期末）如圖a是長方形紙帶，∠DEF＝15°，將紙帶沿EF折疊成圖b，則∠AEG的度數(shù)_____度，再沿BF折疊成圖c．則圖中的∠CFE的度數(shù)是_____度．【答案】150135【解析】解：如圖，延長AE到H，由于紙條是長方形，∴EH∥GF，∴∠1＝∠EFG，根據(jù)翻折不變性得∠1＝∠2＝15°，∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°，又∵∠DEF＝15°，∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°．在梯形FCDG中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°，根據(jù)翻折不變性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°．故答案為：150；135．方法或規(guī)律點撥此題主要考查了平行線的性質和圖形的折疊，關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補，折疊前后角的度數(shù)不變．鞏固練習1．（2020·山東高唐初二期中）如圖，將長方形紙片ABCD沿BD折疊，得到△，與AB交于點E，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．35° D．55°【答案】B【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD=∠1=35°，∵∠C=90°，∴∠CBD=90°－35°=55°，根據(jù)折疊圖形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，∴∠2=55°－35°=20°，故選B．2．（2020·山東高唐初二期中）如圖，將長方形紙片ABCD沿BD折疊，得到△，與AB交于點E，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．35° D．55°【答案】B【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD=∠1=35°，∵∠C=90°，∴∠CBD=90°－35°=55°，根據(jù)折疊圖形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，∴∠2=55°－35°=20°，故選B．3．（2020·湖南淥口初一期末）如圖,直線MN是四邊形AMBN的對稱軸,與對角線交與點Q,點P是直線MN上任意一點,下列判斷錯誤的是()A．AQ=BQ B．AP=BP C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠NMB【答案】D【解析】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，

∴點A與點B對應，

∴AP=BP，AQ=BQ，

∵點P是直線MN上的點，

∴∠MAP=∠MBP，

∴A，B，C正確，D錯誤，

故選：D．4．（2020·河南羅山初二期末）如圖,先將正方形紙片對折,折痕為MN,再把B點折疊在折痕MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為H,沿AH和DH剪下,這樣剪得的△ADH中(

)A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD【答案】B【解析】解：由圖形的對稱性可知:AB=AH,CD=DH,∵正方形ABCD,∴AB=CD=AD,∴AH=DH=AD．

故選B．5．（2020·山東兗州初一期末）如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時人射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球從P點出發(fā)第1次碰到長方形邊上的點記為A點，第2次碰到長方形邊上的點記為B點，……第2020次碰到長方形邊上的點為圖中的()A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】D【解析】解：如圖所示，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點P，∵2020÷6=336…4，

∴當點P第2020次碰到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的第4次反彈，

∴第2020次碰到矩形的邊時的點為圖中的點D；故選：D．6．（2020·江蘇錫山初一期末）如圖，矩形紙片ABCD沿著BE折疊，使C、D兩點分別落在C1、D1處，若∠ABC1＝45°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．22.5° B．21.5° C．22° D．21°【答案】A【解析】設∠ABE=，

根據(jù)折疊前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=，

∵∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABE=90°，

即，

解得．

故選：A．7．（2020·全國初二課時練習）如圖，△ABC中，D點在BC上，將D點分別以AB，AC為對稱軸，畫出對稱點E，F(xiàn)，并連接AE，AF．圖中∠EAF的度數(shù)為（）A．113° B．124° C．129° D．134°【答案】D【解析】連接AD，∵D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°?62°?51°＝67°，∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，故選D．8．（2020·陜西陳倉初一期末）如圖，是一個三角形紙片，其中，，沿折疊紙片，使點落在點處，則_____．【答案】【解析】解：由折疊可知∠A=∠DBE=36°，∴∠BEC=∠A+∠DBE=72°，故答案為：72°．9．（2020·四川龍泉驛初一期末）如圖有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝4cm，BC＝8cm，把紙片的部分折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則△ACD的周長為_____．【答案】12cm．【解析】解：由折疊的性質可知，AD＝BD，∴△ACD的周長＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm），故答案為：12cm．10．（2020·四川內江初一期末）四邊形ABCD中，，，點M、N分別在AB、BC上，將沿MN翻折，得．若，，則_____°；【答案】95【解析】解：∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，∵將△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．故答案為：95．11．（2020·山東鄆城初一期末）如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為________．【答案】12cm【解析】∵將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合，∴AD＝BD．∵AC＝5cm，△ADC的周長為17cm，∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．故答案為12cm．12．（2020·湖南淥口初一期末）如圖，點P關于OA、OB軸對稱的對稱點分別為C、D，連結CD，交OA于M，交OB于N．（1）若CD的長為18厘米，求△PMN的周長；（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．【答案】（1）18cm；（2）．【解析】解：（1）∵點P關于OA，OB的軸對稱點分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，∴PM=CM，ND=NP，∵=PN+PM+MN，而CD=CM+MN+ND=18cm，∴=PN+PM+MN=CM+MN+ND=18cm；（2）∵點P關于OA、OB軸對稱的對稱點分別為C、D，∴∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN=28°，∴∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN=131°-21°-28°=82°．考點6：軸對稱與圖形坐標典例：（2020·山東嵐山初二期末）如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．（1）畫出△ABC及關于y軸對稱的△A1B1C1；（2）寫出點A的對應點A1的坐標是，點B的對應點B1的坐標是，點C的對應點C1的坐標是；（3）請直接寫出第四象限內以AB為邊且與△ABC全等的三角形的第三個頂點（不與C重合）的坐標___________．【答案】（1）見解析；（2）（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；（3）（3，-1）【解析】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（2）A1（-3，3），B1（3，-3），C1（-1，-3），故答案為：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；（3）如圖，△△，且點在第四象限內，∴（3，-1）；故答案為：（3，-1）．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了運用軸對稱變換進行作圖、坐標確定位置的運用以及全等三角形的性質，熟練掌握網(wǎng)格結構并準確找出對應點的位置是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022·河南伊川初二期末）點關于x軸的對稱點的坐標是（）A．（3,2） B．（-3,2） C．（-3,-2） D．（3,-2）【答案】D【解析】解：關于x軸對稱的點，橫坐標