高等數(shù)學(xué)上冊課件全集第1章極限與連續(xù)

《高等數(shù)學(xué)》上冊課件全集第1章極限與連續(xù)CATALOGUE目錄極限的概念與性質(zhì)連續(xù)性的概念與性質(zhì)無窮小量與無窮大量函數(shù)的極限連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)01極限的概念與性質(zhì)極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)的變化趨勢的數(shù)學(xué)工具。數(shù)列的極限是指當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某一常數(shù)。極限的定義包括數(shù)列的極限和函數(shù)的極限。函數(shù)的極限是指當(dāng)自變量在某一點(diǎn)附近無限趨近時(shí)，函數(shù)值無限趨近于某一常數(shù)。極限的定義唯一性一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限是唯一的。有界性一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在時(shí)，該點(diǎn)的函數(shù)值是有界的。局部保號性一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在時(shí)，該點(diǎn)的函數(shù)值保持一定的符號性質(zhì)。局部有界性一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在時(shí)，該點(diǎn)的函數(shù)值是局部有界的。極限的性質(zhì)對于簡單的數(shù)列或函數(shù)，可以直接代入求得極限。直接代入法通過比較兩個(gè)簡單函數(shù)的極限，利用夾逼定理求得原函數(shù)的極限。夾逼法對于某些復(fù)雜的函數(shù)，可以利用洛必達(dá)法則求得其極限。洛必達(dá)法則利用等價(jià)無窮小替換簡化復(fù)雜的函數(shù)，從而求得其極限。等價(jià)無窮小替換極限的計(jì)算方法02連續(xù)性的概念與性質(zhì)如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。即，如果對于任意給定的正數(shù)$epsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$|x-a|<delta$時(shí)，有$|f(x)-f(a)|<epsilon$，則稱函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$a$處連續(xù)。連續(xù)性的定義在函數(shù)圖像上，連續(xù)性意味著函數(shù)圖像在某一點(diǎn)是連續(xù)的，沒有間斷點(diǎn)。連續(xù)性的幾何意義連續(xù)性的定義連續(xù)性的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上必有最大值和最小值。性質(zhì)2若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(-infty,a)$上連續(xù)，且當(dāng)$xrightarrowa$時(shí)，$f(x)rightarrow+infty$，則存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|x-a|<delta$時(shí)，有$f(x)>M$，其中$M$是任意給定的正數(shù)。應(yīng)用1求極限。利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以更容易地求出函數(shù)的極限。應(yīng)用2判斷函數(shù)的增減性。通過判斷連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以確定函數(shù)的增減性。應(yīng)用3求解定積分。利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以更容易地求解定積分。連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用03無窮小量與無窮大量無窮小量是指在某個(gè)變化過程中，其絕對值可以任意小的量。定義無窮小量在極限運(yùn)算中具有重要地位，是研究函數(shù)極限的基礎(chǔ)。性質(zhì)在求函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、積分等運(yùn)算中，無窮小量是必不可少的工具。應(yīng)用無窮小量的定義與性質(zhì)無窮大量是指在某個(gè)變化過程中，其絕對值可以任意大的量。定義無窮大量與無窮小量是相對的概念，兩者在極限運(yùn)算中具有相反的性質(zhì)。性質(zhì)在研究函數(shù)的極限行為、級數(shù)收斂等數(shù)學(xué)問題中，無窮大量有重要作用。應(yīng)用無窮大量的定義與性質(zhì)123無窮小量與無窮大量在極限運(yùn)算中具有密切的聯(lián)系，它們在某些條件下可以相互轉(zhuǎn)化。關(guān)系在一定條件下，無窮小量可以轉(zhuǎn)化為無窮大量，反之亦然。這種轉(zhuǎn)化關(guān)系在解決一些數(shù)學(xué)問題中非常有用。轉(zhuǎn)化通過研究無窮小量與無窮大量的關(guān)系，可以深入理解函數(shù)的極限行為，進(jìn)一步掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念和原理。應(yīng)用無窮小量與無窮大量的關(guān)系04函數(shù)的極限函數(shù)極限的數(shù)列定義如果對于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在一個(gè)正整數(shù)$N$，使得當(dāng)$n>N$時(shí)，有$|f(x_{n})-L|<varepsilon$，則稱函數(shù)$f(x)$在$x=a$處的極限為$L$。函數(shù)極限的直觀定義如果當(dāng)$x$趨近于$a$時(shí)，函數(shù)$f(x)$的取值逐漸接近某個(gè)確定的常數(shù)$L$，則稱函數(shù)$f(x)$在$x=a$處的極限為$L$。函數(shù)極限的定義唯一性如果函數(shù)$f(x)$在$x=a$處的極限存在，則該極限值是唯一的。有界性如果函數(shù)$f(x)$在$x=a$處的極限存在，則存在一個(gè)正數(shù)$M$，使得當(dāng)$x$趨近于$a$時(shí)，有$|f(x)|<M$。局部有界性如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$a$處的極限存在，則存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|x-a|<delta$時(shí)，有$|f(x)|<M$。函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則如果$lim_{xtoa}f(x)=Aquadtext{和}quadlim_{xtoa}g(x)=B$，則$lim_{xtoa}[f(x)±g(x)]=A±Bquadtext{和}quadlim_{xtoa}[f(x)g(x)]=AB$.四則運(yùn)算法則如果$lim_{utoa}u=bquadtext{且}quadlim_{utob}f(u)=c$,則$lim_{utoa}f(u)=c$.復(fù)合運(yùn)算法則05連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它表明如果函數(shù)在區(qū)間兩端取值異號，則該區(qū)間內(nèi)必存在至少一個(gè)零點(diǎn)?？偨Y(jié)詞零點(diǎn)定理可以用來證明函數(shù)的零點(diǎn)存在性，是數(shù)學(xué)分析中解決初值問題的重要工具。在連續(xù)函數(shù)中，如果函數(shù)在區(qū)間兩端取值異號，則該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。詳細(xì)描述零點(diǎn)定理總結(jié)詞中值定理是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)基本定理，它表明如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間上可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的平均變化率。詳細(xì)描述中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，它提供了函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的平均變化率之間的關(guān)系。這個(gè)定理在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題中有著廣泛的應(yīng)用。中值定理VS積分中值定理是微積分中的一個(gè)基本定理，它表明如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上非負(fù)且可積，則該函數(shù)在此區(qū)間上