因式分解全章教案和練習(xí)題

因式分解全章教案

一，概念理解：多項(xiàng)式的因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整

式的積.分解因式要進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止.

二，因式分解的方法：

(1)提公因式法

如多項(xiàng)式a，”+hm+cm=m{a+h+c),

其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，

也可以是一個(gè)多項(xiàng)式

例題講解：(1)2ab'+4abc(2)-m?n3-3n2m:!

(3)2x(x+y)2+6x?(x+y)2

學(xué)生練習(xí)：

1、3x2+6=

2、7x-21x=_

3、8a:,b2-12ab2c+ab=

4、-24X3-12X2+28X=_

5、-5ab2+20ab-15ab3=

6、am-am-l=()(a-l)

7、若多項(xiàng)式-6ab+18abx+24aby的一個(gè)因式是-6ab,那么另一個(gè)

因式是()

8、多項(xiàng)式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是()

9、-4.2X3.14-3.5X3.14+17.7X3.1410、30.5X

768.3-768.3X20.5

拓展與探究

1、已知n為非零的自然數(shù),先將2n+4-2n分解因式,再說明2n+4-2

n能否被30整除.

2^若a=-2,a+b+c=-2.8,求a?(-b-c)-3.2a(c+b)的值。

3、說明817—279—9”能被45整除。

(2)運(yùn)用公式法。

(l)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+bJ=(a+b)3；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(適度講解)

⑸a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a:i+bi+c'!-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

n1

(7)aE=(a-b)(科+bb+a^+…+ab'"+be)其中n為正整數(shù)；

(8)a"-bn=(a+b)(a",-a2b+a"3b2—-+ab,"2-bnl),其中n為偶數(shù);

(9)an+bn=(a+b)(a^'-a^b+a^b2--abn-2+bn"),其中n為奇數(shù).

例題講解：1、1-JX''3a2-6a+3=

(a—b)(3a+/?)"+(a+3b)-(b—a)

2^若x''+mx+25是一個(gè)完全平方式，則m的值是()

3、一塊邊長為a的正方形廣場，擴(kuò)建后的正方形邊長比原來長2

米，間擴(kuò)建后的廣場面積增加了多少？

學(xué)生練習(xí)：1X—42、七X2—x+；3、9m?—

6m+2n—nJ

4、多項(xiàng)式a-,+4ab+2b[a2—4ab+16b',a?+a+j,9a~-12ab+4b~中,

能用完全平方公式分解因式的有幾個(gè)？

5、已知正方形的面積是9/+6節(jié)+舊(x>0,y>0)，利用分解因式，

寫出表示該正方形的邊長的代數(shù)式

6、一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是(/+2)(2-/),那么這個(gè)多項(xiàng)式是(

)

7、在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)

而將其分解為2(x-l)(x-9),而乙同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而將其分解為

2(x-2\x-4),試將此多項(xiàng)式進(jìn)行正確的因式分解。

8、已知a+0=2,ab=2,求L/b+a%?+L"的值。

22

9、大正方形的周長比小正方形的周長長96厘米，它們的面積相差

960平方厘米。求這兩個(gè)正方形的邊長。

(3)十字相乘法

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式/+px+q,尋找滿足ab=q,

a+b=p的a,b,如有，則/+px+q=(x+a)(x+對(duì)于一般的二次三項(xiàng)

式ax2+bx+c(aW0),尋找滿足

a!a2=a,CiC2=c,aiC2+a2Ci=b的3.1>a，2fCi,C2,女口有"，則

2

ax+bx+c=+)(a2x+c2).

例題講解：a"—a—6X2-4X-21

x2-3xy+2j22x~—7x+3

學(xué)生練習(xí):1、6X2-7X-52、5x2+6xy-Sy2

3、4m2+8m?+3/724、5x5-15x3y-

5若x?+mx+n能分解成(x+2)(x5),則

m=,n=

6、若二次三項(xiàng)式2x2+x+5m在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解,則

m=

7、若x?+kx—6有一個(gè)因式是(x—2),則k的值是;

8、關(guān)于X的二次三項(xiàng)式x2-4x+c能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次的

積式，那么c可取下面四個(gè)值中的()

(A)-8(B)-7(C)-6(D)-

(4)換元法

例題講解：1、設(shè)(x+y)(x+2+y)—15=0,則x+y的值是

()

2、分解因式x'+14x'y+49y之.

學(xué)生練習(xí):1、(x+y)(x+y-l)-12

2、(a+-4(a+匕)+3

3、(X2+4X+6)+(X2+6X+6)+X2

4(x-l)(x+2)(x-3)(x+4)+24

(5)拆項(xiàng)法和添項(xiàng)法

例題講解：分解因式：x'-9x+8

x2+2ax—3a2

(6)雙十字相乘法

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次

六項(xiàng)式(ax'bxy+cy^+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解

因式.

例如：分解因式2x〈7xy-22yJ5x+35y-3.我們將上式按x降幕

排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為：

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)

因式分解的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一：用因式分解法求某些代數(shù)式的值和進(jìn)行簡單多項(xiàng)式

的除法

例題講解：

1、不論a為何值，代數(shù)式一a2+4a—5值()

(A)大于或等于0(B)0(C)大于0(D)

小于0

2、若,一2|+/一26+1=0,貝布=,b=o

4、如果2a+3b=l,那么3-4a-6b=。

5>a、b、c是AABC的三邊,+b2+c2=ab+ac+bc,那么△ABC

的形狀是()

A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等

邊三角形

6、計(jì)算：[(a-&)2+2(a-/?)+1]4-(a-/>+1)

學(xué)生練習(xí)：1、已知10+工=3,則的值是

a〃一

2、(10a2b2+15加)+(24+3b)

3、已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和為251,求這三個(gè)奇數(shù)

4、已知多項(xiàng)式已+ax2+bx+c能被J+3x-4整除。(1)求4&+(:；

(2)求2a-2/7-c；(3)若a,b,c為整數(shù)，且c

2a>1,試確定a,b,c的值。

5、計(jì)算(4x4+8x，+5/-x-l)+(2x+l)

6、已知a、匕、c是△ABC的三邊的長，且滿足

a2+2/+一2仇a+c)=0,試判斷此三角形的形狀。

知識(shí)點(diǎn)二：用因式分解解簡單的方程

例題講解：1、x3-x=0

2、求方程》?-孫-5x+5y-l=0的整數(shù)解

學(xué)生練習(xí)：1、方程(X-1)2=(》-1)的解是？

2、(x-3)(x+1)=5

3、9(x-2)2=4(x+1)2

因式分解練習(xí)題

一、填空題：

1.4a3+8a2+24a=4a()；

2.(a—3)(3—2a)=(3—a)(3—2a)；

3.a3b_ab3=ab(a_b)()j

4?(1-a)mn+a-1=()(mn-1)；

5.0.0009X4=()2；

6?x2-()+白=3—)2;

-----lo----

7.()a2-6a+1=()21

8.8X3-()=(2X-)(+6x+9)；

9.x2-y2-z2+2yz=x2-()=()()；

10.2ax—10ay+5by—bx=2a()—b()=()()；

11.x2+3x~10=(x)(x);

12.若m2—3m+2=(m+a)(m+b),則a=,b=_____；

11

13.x3--y3=(x--y)()；

oZ

14.a2—be+ab—ac=(a2+ab)—()=()()；

15.當(dāng)_____時(shí)，x2+2(m—3)x+25是完全平方式.

二、選擇題：

1.下列各式的因式分解結(jié)果中，正確的是

[1

A.a2b+7ab—b=b(a2+7a)

B.3x2y—3xy—6y=3y(x—2)(x+1)

C.8xyz—6x2y2=2xyz(4—3xy)

D.-2a2+4ab—6ac=-2a(a+2b—3c)

2.多項(xiàng)式m(n—2)—n)2(2—n)分解因式等于

[]

A.(n—2)(m+m2)B.(n—2)(m—m2)

C.m(n-2)(m+1)D.m(n—2)(m—1)

3.在下列等式中，屬于因式分解的是

]

A.a(x—y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn

B.a2—2ab+b2+l=(a—b)2+l

C.-4a2+9b2=(—2a+3b)(2a+3b)

D.X2-7X-8=X(X-7)-8

4.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是

[1

A.a2+b2B.—a2+b2

C.—a2—b2D.—(—a2)+b2

5.若9x2+mxy+l6y2是一一個(gè)完全平方式，那么m的值是

[]

A.-12B.±24

C.12D.±12

6.把多項(xiàng)式an+4—an+1分解得

[J

A.an(a4—a)B.an-1(a3—1)

C.an+1(a—1)(a2—a+1)D.an+1(a—1)(a2+a+1)

7.若a2+a=—1,則a4+2a3—3a2—4a+3的值為

[1

A.8B.7

C.10D.12

8.已知x2+y2+2x-6y+10=0,那么x,y的值分別為

[]

A.x=l,y=3B.x=l,y=—3

C.x=-1,y=3D.x=l,y=-3

9.把(m2+3m)4—8(m2+3m)2+16分解因式得

A.(m+l)4(m+2)2B.(m-1)2(m—2)2(m2+3m—2)

C.(m+4)2(m—1)2D.(m+1)2(m+2)2(m2+3m—2)2

10.把x2-7x—60分解因式，得

[]

A.(x—10)(x+6)B.(x+5)(x-12)

C.(x+3)(x—20)D.(x—5)(x+12)

11.把3x2—2xy—8y2分解因式，得

[1

A.(3x+4)(x—2)B.(3x—4)(x+2)

C.(3x+4y)(x—2y)D.(3x—4y)(x+2y)

12.把a(bǔ)2+8ab—33b2分解因式，得

[J

A.(a+11)(a—3)B.(a—11b)(a—3b)

C.(a+llb)(a-3b)D.(a-llb)(a+3b)

13.把x4—3x2+2分解因式，得

]

A.(x2-2)(x2-1)B.(x2—2)(x+1)(x

—1)

C.(x2+2)(x2+l)D.(x2+2)(x+1)(x

-1)

14.多項(xiàng)式x2—ax—bx+ab可分解因式為

[1

A.—(x+a)(x+b)B.(x—a)(x+b)

C.(x—a)(x—b)D.(x+a)(x+b)

15.一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，其x2項(xiàng)的系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)是一12,且能

分解因式，這樣的二次三項(xiàng)式是

[1

A.x2—llx—12或x2+llx—12

B.x2—x—12或x2+x—12

C.x2—4x—12或x2+4x—12

D.以上都可以

16.下列各式x3—x2—x+1,x2+y—xy—x,x2—2x—y2+l,(x2+3x)2—

(2x+l)2中，不含有(x—l)因式的有

[]

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

17.把9—x2+12xy—36y2分解因式為

[]

A.(x—6y+3)(x—6x—3)

B.—(x—6y+3)(x—6y—3)

C.—(x—6y+3)(x+6y—3)

D.—(x—6y+3)(x—6y+3)

18,下列因式分解錯(cuò)誤的是

[1

A.a2—bc+ac—ab=(a—b)(a+c)

B.ab—5a+3b—15=(b—5)(a+3)

C.x2+3xy—2x—6y=(x+3y)(x—2)

D.x2-6xy-l+9y2=(x+3y+l)(x+3y-l)

19.已知a2x2±2x+b2是完全平方式，且a,b都不為零，則a與b的關(guān)系

為

1

A.互為倒數(shù)或互為負(fù)倒數(shù)B.互為相反數(shù)

C.相等的數(shù)D.任意有理數(shù)

20.對(duì)X4+4進(jìn)行因式分解，所得的正確結(jié)論是

]

A.不能分解因式B.有因式x2+2x+2

C.(xy+2)(xy—8)D.(xy—2)(xy—8)

21.把a(bǔ)4+2a2b2+b4-a2b2分解因式為

J

A.(a2+b2+ab)2B.(a2+b2+ab)(a2+b2—ab)

C.(a2—b2+ab)(a2—b2—ab)D.(a2+b2—ab)2

22.-(3x-l)(x+2y)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式的分解結(jié)果

]

A.3x2+6xy—x—2yB.3x2—6xy+x—2y

C.x+2y+3x2+6xyD.x+2y—3x2-6xy

23.64a8—b2因式分解為

[J

A.(64a4—b)(a4+b)B.(16a2—b)(4a2+b)

C.(8a4—b)(8a4+b)D.(8a2—b)(8a4+b)

24.9(x—y)2+12(x2—y2)+4(x+y)2因式分解為

A.(5x—y)2B.(5x+y)2

C.(3x-2y)(3x+2y)D.(5x—2y)2

25.(2y—3x)2—2(3x—2y)+l因式分解為

[J

A.(3x—2y—1)2B.(3x+2y+l)2

C.(3x—2y+1)2D.(2y_3x-1)2

26.把(a+b)2—4(a2—b2)+4(a—b)2分解因式為

[1

A.(3a—b)2B.(3b+a)2

C.(3b—a)2D.(3a+b)2

27.把a(bǔ)2(b+c)2—2ab(a—c)(b+c)+b2(a—c)2分解因式為

[1

A.c(a+b)2B.c(a—b)2

C.c2(a+b)2D.c2(a—b)

28.若4xy—4x2—y2—k有一個(gè)因式為(l-2x+y),則k的值為

[1

A.0B.1

C.-1D.4

29.分解因式3a2x—4b2y—3b2x+4a2y,正確的是

[J

A.—(a2+b2)(3x+4y)B.(a—b)(a+b)(3x+4y)

C.(a2+b2)(3x—4y)D.(a—b)(a+b)(3x

—4y)

30.分解因式2a2+4ab+2b2—8C2,正確的是

A.2(a+b—2c)B.2(a+b+c)(a+b

—c)

C.(2a+b+4c)(2a+b—4c)D.2(a+b+2c)(a+b—2c)

三、因式分解：

1.m2(p—q)—p+q；

2.a(ab+bc+ac)—abc；

3.x4—2y4—2x3y+xy3；

4.abc(a2+b2+c2)—a3bc+2ab2c2；

5.a2(b—c)+b2(c—a)+c2(a—b)；

6.(x2—2x)2+2x(x—2)+1；

7.(x—y)2+12(y—x)z+36z2；

8.x2—4ax+8ab—4b2；

9.