高教概率論與數(shù)理統(tǒng)計

高教概率論與數(shù)理統(tǒng)計匯報人：AA2024-01-19目錄contents概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念與方法假設檢驗與方差分析回歸分析初步01概率論基本概念123所有可能結果的集合，常用大寫字母S表示。樣本空間樣本空間的子集，即某些可能結果的組合。事件常用大寫字母A、B、C等表示。事件只包含一個樣本點的事件，其發(fā)生概率為該樣本點出現(xiàn)的概率。基本事件樣本空間與事件描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。非負性、規(guī)范性（所有可能事件的概率之和為1）、可加性（互斥事件的概率之和等于它們并事件的概率）。概率定義及性質概率性質概率定義條件概率與獨立性條件概率在某一事件B發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。事件的獨立性如果事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨立。如果事件B1、B2、...、Bn構成一個完備事件組，且都有正概率，則對任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的基礎上，可以推導出貝葉斯公式，用于計算某一原因在已知結果下的發(fā)生概率，即后驗概率。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機變量及其分布隨機變量定義隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每個樣本點映射到一個實數(shù)。隨機變量分類根據(jù)取值的不同，隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量取值為有限個或可列個，而連續(xù)型隨機變量取值充滿某個區(qū)間。隨機變量概念及分類分布律定義離散型隨機變量的分布律描述了每個可能取值的概率。對于離散型隨機變量X，其分布律可以用概率函數(shù)P(X=x)來表示，其中x為X的所有可能取值。常見離散型分布常見的離散型分布包括二項分布、泊松分布、幾何分布等。這些分布各自具有不同的特點和適用場景。離散型隨機變量分布律連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)描述了隨機變量在某個區(qū)間內取值的概率分布情況。對于連續(xù)型隨機變量X，其概率密度函數(shù)f(x)滿足P(a<X≤b)=∫abf(x)dx，其中a和b為任意實數(shù)。概率密度函數(shù)定義常見的連續(xù)型分布包括正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。這些分布各自具有不同的特點和適用場景。常見連續(xù)型分布VS隨機變量函數(shù)是指通過已知隨機變量的函數(shù)關系得到的新的隨機變量。例如，若X是一個隨機變量，則Y=g(X)也是一個隨機變量，其中g是一個實函數(shù)。隨機變量函數(shù)的分布求法求隨機變量函數(shù)的分布通常需要先確定原隨機變量的分布，然后根據(jù)函數(shù)關系進行變換。對于離散型隨機變量，可以通過列舉法或母函數(shù)法求解；對于連續(xù)型隨機變量，可以通過概率密度函數(shù)的變換求解。隨機變量函數(shù)的定義隨機變量函數(shù)的分布03多維隨機變量及其分布對于離散型二維隨機變量，聯(lián)合分布律描述了每一個可能取值的概率，常用二維表格表示。對于連續(xù)型二維隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)描述了隨機變量取值的概率分布情況，具有非負性和規(guī)范性。聯(lián)合分布律聯(lián)合密度函數(shù)二維隨機變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)邊緣分布律離散型二維隨機變量的邊緣分布律是指固定一個變量的取值，另一個變量的概率分布情況。邊緣密度函數(shù)連續(xù)型二維隨機變量的邊緣密度函數(shù)是指對聯(lián)合密度函數(shù)進行積分，得到一個變量的概率分布情況。邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律在離散型二維隨機變量中，條件分布律描述了在已知一個變量取值的條件下，另一個變量的概率分布情況。要點一要點二條件密度函數(shù)在連續(xù)型二維隨機變量中，條件密度函數(shù)描述了在已知一個變量取值的條件下，另一個變量的概率分布情況。條件分布律/密度函數(shù)多維隨機變量函數(shù)的分布04數(shù)理統(tǒng)計基本概念與方法03樣本容量樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。01總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述。02樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質?？傮w與樣本概念統(tǒng)計量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量的性質包括無偏性、有效性和一致性等，用于評價統(tǒng)計量的優(yōu)劣。統(tǒng)計量及其性質當樣本容量足夠大時，樣本均值趨近于總體均值。大數(shù)定律當樣本容量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么。中心極限定理用于小樣本情況下總體均值的推斷，其分布形態(tài)與自由度有關。t分布抽樣分布定理用樣本統(tǒng)計量的某個值來估計總體參數(shù)的方法，如最大似然估計、矩估計等。點估計根據(jù)樣本統(tǒng)計量的分布性質，構造出總體參數(shù)的一個置信區(qū)間，用于估計總體參數(shù)的可能取值范圍。區(qū)間估計參數(shù)估計方法05假設檢驗與方差分析假設檢驗的基本原理根據(jù)小概率原理，通過構造適當?shù)慕y(tǒng)計量，對總體分布或總體參數(shù)提出假設，然后利用樣本信息判斷假設是否成立。假設檢驗的步驟提出假設、構造統(tǒng)計量、確定拒絕域、計算p值、作出判斷。假設檢驗基本原理和步驟當總體方差已知時，使用z檢驗；當總體方差未知時，使用t檢驗。單個正態(tài)總體均值的假設檢驗使用卡方檢驗，通過比較樣本方差與理論方差之間的差異來判斷總體方差是否等于某個特定值。單個正態(tài)總體方差的假設檢驗單個正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗兩個正態(tài)總體均值的比較當兩個總體方差已知且相等時，使用z檢驗；當兩個總體方差未知但相等時，使用t檢驗；當兩個總體方差不等時，使用Welcht檢驗。兩個正態(tài)總體方差的比較使用F檢驗，通過比較兩個樣本方差之間的比值來判斷兩個總體方差是否相等。兩個正態(tài)總體均值和方差的比較方差分析原理及應用方差分析的基本原理將總變異分解為組間變異和組內變異兩部分，通過比較組間變異與組內變異的相對大小來判斷不同因素對結果變量的影響程度。方差分析的應用可用于多個總體均值是否相等的檢驗、多個因素的主效應和交互效應分析、回歸分析中的模型診斷等。06回歸分析初步回歸模型建立根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，通過最小二乘法建立一元線性回歸模型，即確定回歸系數(shù)。參數(shù)估計利用樣本數(shù)據(jù)對回歸系數(shù)進行估計，得到回歸方程的斜率和截距。擬合優(yōu)度評價通過計算決定系數(shù)R^2評價模型的擬合優(yōu)度，R^2越接近1，說明模型擬合效果越好。一元線性回歸模型建立及參數(shù)估計030201回歸方程顯著性檢驗通過F檢驗或t檢驗判斷回歸方程是否顯著，即檢驗自變量對因變量是否有顯著影響。預測區(qū)間估計利用回歸方程對自變量進行預測，并給出預測值的置信區(qū)間，以評估預測結果的可靠性。殘差分析通過對殘差進行圖形化展示和統(tǒng)計分析，檢驗模型的假設條件是否滿足，如線性關系、誤差項獨立性等?；貧w方程顯著性檢驗及預測區(qū)間估計多元線性回歸模型簡介在多元線性回歸中，自變量之間可能存在高度相關關系，導